劉燦, 王輝, 林德福, 崔曉曦, 徐晗暉

(1.北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院, 北京 100081; 2.中國兵器工業(yè)導(dǎo)航與控制技術(shù)研究所, 北京 100089;3.北京理工大學(xué) 設(shè)計(jì)與藝術(shù)學(xué)院, 北京 100081)

0 引言

純方位目標(biāo)跟蹤算法是目標(biāo)跟蹤研究中的熱點(diǎn),其主要應(yīng)用于無源目標(biāo)定位系統(tǒng)。相對(duì)于有源目標(biāo)定位系統(tǒng),無源目標(biāo)定位系統(tǒng)本身不向外發(fā)射電磁信號(hào),而是獲取目標(biāo)的輻射源來進(jìn)行跟蹤定位,具有隱蔽性高、生存能力強(qiáng)的特點(diǎn)[1],在雷達(dá)被動(dòng)定位、航海聲吶探測(cè)、無線傳感器網(wǎng)絡(luò)等軍民領(lǐng)域中均有著重要的應(yīng)用。

純方位目標(biāo)跟蹤問題的跟蹤誤差主要來自于模型的非線性和測(cè)量噪聲的非高斯性[2],針對(duì)模型的非線性的主要挑戰(zhàn)是純方位角度測(cè)量和目標(biāo)動(dòng)力學(xué)之間的非線性關(guān)系。目前已有多種算法應(yīng)用于純方位目標(biāo)跟蹤中,早期的研究工作使用擴(kuò)展的卡爾曼濾波器(EKF)[3],EKF采用1階泰勒展開近似非線性量測(cè)方程和目標(biāo)動(dòng)力學(xué)方程,得到近似的線性測(cè)量方程和目標(biāo)動(dòng)力學(xué)方程。文獻(xiàn)[4-5]通過在修正的極坐標(biāo)中建立純方位角目標(biāo)跟蹤問題,提高了EKF的穩(wěn)定性,從而得到了修正的極坐標(biāo)下的EKF(MPEKF)。除了測(cè)量方程與目標(biāo)動(dòng)力學(xué)的非線性影響,初始狀態(tài)值的誤差對(duì)于EKF的收斂也是至關(guān)重要的,較大的初始狀態(tài)誤差會(huì)引起發(fā)散問題[6]。此外還有更復(fù)雜的卡爾曼濾波算法應(yīng)用于純方位目標(biāo)跟蹤研究,如無跡卡爾曼濾波器(UKF)[7],其是一種基于確定性樣點(diǎn)計(jì)算的濾波,不依賴于近似非線性狀態(tài)和量測(cè)模型。Arasaratnam等[8]提出容積卡爾曼濾波(CKF),其基于3階球面徑向容積準(zhǔn)則,并使用一組容積點(diǎn)來逼近具有附加高斯噪聲的非線性系統(tǒng)的狀態(tài)均值和協(xié)方差。文獻(xiàn)[9]針對(duì)混合噪聲提出一種應(yīng)用于被動(dòng)定位算法的自適應(yīng)容積卡爾曼濾波(ACKF)算法。而粒子濾波器(PF)是一種基于蒙特卡洛積分的最優(yōu)非線性濾波器[10],文獻(xiàn)[11-12]將其應(yīng)用于純方位目標(biāo)跟蹤,但粒子濾波器的一個(gè)主要缺點(diǎn)是計(jì)算復(fù)雜度高,計(jì)算時(shí)間長,使得其在純方位目標(biāo)跟蹤應(yīng)用中的實(shí)用性有限。MILLER等[13]針對(duì)純方位目標(biāo)跟蹤,用構(gòu)成線性的偽線性方程代替非線性角度測(cè)量來得到線性化的遞歸貝葉斯估計(jì)的偽線性估計(jì)器(PLKF)。Nguyen[14]進(jìn)一步發(fā)展了一種瞬時(shí)誤差偏置補(bǔ)償卡爾曼濾波(BC-PLEKF),通過偏置補(bǔ)償測(cè)量方程的非線性,以此提高濾波器的性能。

而在非高斯噪聲條件下,影響目標(biāo)的跟蹤精度的主要因素是測(cè)量噪聲的非高斯性而不是模型的非線性[2]。在一些工程應(yīng)用中,若使用不可靠傳感器的異常測(cè)量值跟蹤敏捷目標(biāo),系統(tǒng)會(huì)存在非高斯的重尾分布過程噪聲和測(cè)量噪聲[15-16]。在實(shí)際的應(yīng)用場(chǎng)景中,地雜波、海雜波和偶發(fā)電磁干擾,使得雷達(dá)接收到的回波幅度突變,遠(yuǎn)高于正常值,在參數(shù)估計(jì)中形成異常值[17]。此外,目標(biāo)朝向雷達(dá)的變化可能導(dǎo)致不規(guī)則的電磁波反射亦會(huì)在角度跟蹤中產(chǎn)生異常值,此時(shí)測(cè)量噪聲不服從高斯分布,往往呈現(xiàn)為重尾分布[18]。而目標(biāo)飛行器的強(qiáng)機(jī)動(dòng)以及受到的氣流影響,會(huì)導(dǎo)致跟蹤模型的狀態(tài)值發(fā)生突變,誘導(dǎo)非高斯重尾分布系統(tǒng)噪聲[15]。傳統(tǒng)的卡爾曼濾波器的性能在這些具有非高斯重尾分布的系統(tǒng)過程和測(cè)量噪聲的工程應(yīng)用中會(huì)下降甚至失效。近年來,國內(nèi)外提出了大量的魯棒濾波器來解決具有重尾測(cè)量噪聲的線性系統(tǒng)的濾波問題,如學(xué)生t分布混合濾波器[19]、異常魯棒卡爾曼濾波器[20],以及基于學(xué)生t分布和變分貝葉斯(VB)的魯棒卡爾曼濾波器[21-23]。然而在非高斯重尾系統(tǒng)過程噪聲的情況下,這些魯棒濾波器可能會(huì)失效,因?yàn)樗鼈兌技僭O(shè)系統(tǒng)過程噪聲為高斯分布[19-21]。

近年來,采用變分方法來解決非高斯噪聲下的非線性估計(jì)問題成為國際研究的熱點(diǎn)。VB推斷是一類近似計(jì)算復(fù)雜積分的方法,主要用于復(fù)雜的統(tǒng)計(jì)模型中,可以用于近似不可觀測(cè)變量的后驗(yàn)概率估計(jì),對(duì)于給定的模型給出觀測(cè)變量的邊緣似然函數(shù)的下界,然后通過相互似然的等式進(jìn)行不斷的迭代來獲得最優(yōu)解。文獻(xiàn)[23]提出的PEKF-VB(Proximal Extended Kalman Filter-Variational Bayes)濾波器采用KL散度作為后驗(yàn)概率密度函數(shù)(PDF)的度量并推導(dǎo)出了另一種基于VB技術(shù)的非線性估計(jì)算法。文獻(xiàn)[24]將PEKF-VB應(yīng)用于星載雷達(dá)非線性目標(biāo)跟蹤,實(shí)現(xiàn)了星載雷達(dá)的跟蹤精度的提高。文獻(xiàn)[25]提出一種基于學(xué)生t分布的VB卡爾曼濾波器,將一步預(yù)測(cè)的PDF和似然PDF近似為不同自由度參數(shù)的學(xué)生t分布,用VB推斷來近似重尾分布的系統(tǒng)過程噪聲和測(cè)量噪聲,提高了濾波器的估計(jì)精度。

本文基于文獻(xiàn)[25]提出一種新的針對(duì)非高斯重尾分布噪聲的魯棒性濾波,VB修正增益卡爾曼濾波(VBMGEKF)。本文通過構(gòu)造基于重尾分布的系統(tǒng)過程噪聲和測(cè)量噪聲,將一步預(yù)測(cè)的PDF和似然PDF分別建模為不同參數(shù)的帶異常值的高斯分布來近似重尾分布,并將未知狀態(tài)協(xié)方差矩陣的PDF模型建模為逆Wishart分布。通過引入輔助隨機(jī)變量,提出一個(gè)層次高斯?fàn)顟B(tài)空間模型。在此基礎(chǔ)上,通過VB推斷得到近似后驗(yàn)PDF,以及未知狀態(tài)協(xié)方差矩陣和輔助隨機(jī)變量,推導(dǎo)出系統(tǒng)具有重尾分布的過程和測(cè)量噪聲的線性狀態(tài)空間模型后驗(yàn)PDF的近似閉環(huán)解析解,并結(jié)合修正增益卡爾曼濾波(MGEKF),降低純方位目標(biāo)跟蹤問題中量測(cè)方程非線性的影響。仿真結(jié)果表明,該濾波器比現(xiàn)有的一些濾波算法具有較小的均方根誤差(RMSE)。

1 問題描述

考慮一個(gè)線性離散時(shí)間狀態(tài)空間模型描述的運(yùn)動(dòng)學(xué)系統(tǒng)為

xk=fk(xk-1)+wk

(1)

zk=hk(xk)+vk

(2)

式中:xk為目標(biāo)k時(shí)刻的狀態(tài)值;zk為k時(shí)刻的測(cè)量值;fk(xk-1)為與xk-1相關(guān)的狀態(tài)預(yù)測(cè)方程;hk(xk)為系統(tǒng)狀態(tài)與測(cè)量值相關(guān)的方程;wk和vk為系統(tǒng)的過程噪聲和測(cè)量噪聲,一般假設(shè)wk和vk均為獨(dú)立的高斯分布,本文認(rèn)為wk和vk為帶異常值的重尾噪聲。因此考慮將測(cè)量似然和一步預(yù)測(cè)建模為如下帶異常值的高斯分布,即

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

Fk-1為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,Pk-1|k-1為狀態(tài)協(xié)方差,Qk為系統(tǒng)的過程噪聲協(xié)方差。當(dāng)Qk為高斯分布時(shí)Σk=Pk|k-1,當(dāng)Qk為重尾分布時(shí)Σk就不能等于Pk|k-1。本文使用VB來近似推斷未知的矩陣Σk。對(duì)于未知矩陣Σk,需要首先選擇一個(gè)共軛先驗(yàn)分布,因?yàn)樵摴曹椏梢员ＷC后驗(yàn)分布具有相同的函數(shù)形式作為先驗(yàn)分布。在貝葉斯統(tǒng)計(jì)中,逆Wishart分布通常用作具有已知均值的高斯分布的協(xié)方差矩陣的共軛先驗(yàn)[25-26]。

(8)

因此定義Σk為逆Wishart分布,則未知矩陣的先驗(yàn)分布為

Uk=(uk-n-1)Pk|k-1

(11)

式中:n為xk維數(shù)。

同時(shí)在此處使用一種啟發(fā)式算法[27],引入一個(gè)遺忘因子τ,減少前一時(shí)刻狀態(tài)協(xié)方差矩陣的影響,一般取τ∈(0,1),則

將式(12)代入式(11),可得

uk=n+τ+1

(13)

至此,一個(gè)新的基于高斯分布的狀態(tài)空間模型可由式(5)、式(6)、式(11)～式(13)組成。

(14)

(15)

圖1所示為層次高斯SSM。

圖1 層次高斯SSMFig.1 Hierarchical Gaussian State Space Model

則由式(5)～式(10)以及式(12)、式(13)構(gòu)成一個(gè)基于高斯分布的層次高斯?fàn)顟B(tài)空間模型,從而將帶有重尾分布的系統(tǒng)過程和測(cè)量噪聲的線性狀態(tài)空間模型的狀態(tài)估計(jì)問題轉(zhuǎn)化為基于高斯分布的層次高斯SSM的狀態(tài)估計(jì)問題。

2 變分貝葉斯推斷

根據(jù)貝葉斯定理,本文可以得到由式(5)～式(13)構(gòu)成的層次高斯?fàn)顟B(tài)空間模型的聯(lián)合后驗(yàn)分布p(Φk|z1:k,Ψk),即

(16)

式中:Φk={xk,Rk,Σk,λk,ξk},Ψk={uk,Uk,ak,bk,ek,fk}分別為模型的未知變量和先驗(yàn)值的參數(shù)。由于聯(lián)合后驗(yàn)分布PDFp(Φk|z1:k,Ψk)難以求得解析解,本文采取VB方法來獲取聯(lián)合后驗(yàn)分布的次優(yōu)近似解[21]。VB使用一個(gè)分布q(Φk)來近似后驗(yàn)分布,對(duì)數(shù)似然邊際logp(z1:k|Φk)可表示為

logp(z1:k|Φk)=
F(q(Φk))+KL(q(Φk)‖p(Φ|z1:k,Ψk))

(17)

式中:F(·)為logp(z1:k|Φk)的下界函數(shù);q(Φk)為近似后驗(yàn)分布;p(z1:k|Φk)為真實(shí)后驗(yàn)分布;KL(·)為q(Φk)和p(z1:k|Φk)之間的Kullback-liebler散度,用來衡量兩個(gè)概率分布值之間的差異,KL越小,表示兩個(gè)分布間的差異越小,且KL非負(fù)。

(18)

(19)

VB方法的目標(biāo)是通過最小化KL來近似真實(shí)的后驗(yàn)值。由于KL是非負(fù)的,由式(17)可知這一目標(biāo)可以通過最大化F(q(Φk))來實(shí)現(xiàn)。q(Φk)的最優(yōu)解可由式(20)[28]得到:

logq(Δ)=EΦk(-Δ)[logp(z1:k|Φk)p(Φk|Ψk)]

(20)

將式(21)代入式(20),得

(22)

將式(22)代入式(20)并令Δ=ξk,可得

(23)

由式(23)可知q(ξk)是Gamma分布,

(24)

(25)

(26)

(27)

當(dāng)選擇i次迭代先驗(yàn)密度的參數(shù)作為下一次迭代后驗(yàn)密度的參數(shù)值時(shí),可能會(huì)發(fā)生欠擬合[21],在此引入退火算法,設(shè)定退火系數(shù)κ∈[0,1],則

(28)

將式(22)代入式(20)并令Δ=Σk,可得

(29)

由式(29)可知q(Σk)為逆Wishart分布,

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

將式(22)代入式(20)并令Δ=λk,可得

(35)

由式(35)可知q(λk)為Gamma分布,即

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

則

(41)

將式(22)代入式(20)并令Δ=xk,可得

(42)

此時(shí)一步預(yù)測(cè)PDFp(i+1)(xk|z1:k-1)和測(cè)量似然PDFp(i+1)(zk|xk)為

(43)

(44)

(45)

(46)

3 VBMGEKF三維純方位目標(biāo)跟蹤算法

3.1 修正增益卡爾曼濾波MGEKF

圖2 三維空間目標(biāo)定位示意圖Fig.2 Schematic diagram of 3D spatial target positioning

(47)

(48)

此時(shí)狀態(tài)協(xié)方差矩陣為

(49)

式中:I為單位矩陣;Kk為卡爾曼增益;

(50)

式(50)中Gk的推導(dǎo)詳見附錄B,其中

(51)

(52)

(53)

(54)

(55)

(56)

(57)

3.2 VBMGEKF算法步驟

本文所提出的具有重尾分布噪聲的線性狀態(tài)空間模型的變分貝葉斯修正增益卡爾曼濾波器的一個(gè)步長的運(yùn)算步驟如下:

步驟1輸入k時(shí)刻的初始參數(shù):k-1|k-1,Hk,ak,bk,ek,fk,Pk-1|k-1,Fk-1,zk,Qk,Rk,n,τ,L,κ。

步驟2預(yù)測(cè)步驟

k|k-1=Fk-1k-1|k-1

(58)

設(shè)定跟蹤模型為勻速運(yùn)動(dòng)模型,T為步長,I3為維度為3的單位矩陣。

(59)

(60)

步驟3變分貝葉斯近似更新

fori=1:L

1)初始化:

uk=n+τ+1,Uk=τPk|k-1,k|k=k|k-1,Pk|k=Pk|k-1

2)VB迭代

代入式(24)更新q(i+1)(ξk);

代入式(30)更新q(i+1)(Σk);

代入式(36)更新q(i+1)(λk);

end

3)修正增益卡爾曼濾波MGEKF

(61)

(62)

(63)

(64)

(65)

4 仿真分析

對(duì)本文提出的VBMGEKF算法針對(duì)純方位目標(biāo)跟蹤問題進(jìn)行仿真驗(yàn)證,仿真模擬單站固定無源系統(tǒng)對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的定位跟蹤,以驗(yàn)證算法的跟蹤性能和魯棒性;另外將本文提出的VBMGEKF算法與EKF、UKF、PEKF-VB、VBEKF進(jìn)行比較。

4.1 重尾噪聲建模

構(gòu)建重尾過程噪聲wk與測(cè)量噪聲vk,按照文獻(xiàn)[30]設(shè)定過程噪聲協(xié)方差Qk和測(cè)量噪聲協(xié)方差矩陣Rk為緩慢時(shí)變矩陣,分別為

(66)

(67)

式中:N為仿真時(shí)間,此處設(shè)置為150 s;Δt=T;I2為維度為2的單位矩陣;q和g用于調(diào)節(jié)時(shí)變?cè)肼晠f(xié)方差Qk和Rk的大小,此處設(shè)置q=1,g=100。

設(shè)定非高斯重尾分布的系統(tǒng)過程噪聲以及測(cè)量噪聲為

(68)

式中:a為異常值大小的調(diào)節(jié)參數(shù);w.p表示取該項(xiàng)分布的概率。

狀態(tài)值為xk=[rxkrvkrzkvxkvvkvzk]T,設(shè)定x0=[4 000 2 000 10 500 650 150 1]T為初始狀態(tài)值,P=diag[1 0002500250025025021]為初始狀態(tài)協(xié)方差。為比較現(xiàn)有濾波器和本文提出的濾波器的性能,選擇位置和速度誤差的均方根為性能標(biāo)準(zhǔn),其定義如下:

(69)

(70)

圖3 跟蹤目標(biāo)軌跡場(chǎng)景示意圖Fig.3 Diagram of target tracking trajectory scene

4.2 仿真校驗(yàn)

4.2.1a為固定值

分別取a=300、a=500和a=700,此時(shí)系統(tǒng)的過程噪聲wk以及測(cè)量噪聲vk均為帶異常值的非高斯重尾分布噪聲。仿真結(jié)果如圖4～圖15及表1所示。本文的算法參數(shù)設(shè)置為τ=10-5,L=4,ak=5,bk=5,ek=5,fk=5。其中圖4、圖8、圖12為目標(biāo)跟蹤距離誤差圖,圖5、圖9、圖13為相對(duì)跟蹤誤差,即目標(biāo)跟蹤誤差與實(shí)際距離的比值,圖6、圖10、圖14為跟蹤目標(biāo)x軸方向的速度誤差圖,圖7、圖11、圖15為跟蹤目標(biāo)x軸方向的加速度誤差圖,表1為不同噪聲下的各算法的目標(biāo)跟蹤距離誤差的RMSE。

圖4 目標(biāo)跟蹤距離誤差RMSE(a=300)Fig.4 RMSE in distance error of target tracking (a=300)

圖5 目標(biāo)跟蹤相對(duì)誤差RMSE (a=300)Fig.5 RMSE inrelative distance error of target tracking (a=300)

圖6 目標(biāo)跟蹤速度誤差RMSE(a=300)Fig.6 RMSE in velocity error of target tracking (a=300)

圖7 目標(biāo)跟蹤加速度誤差RMSE (a=300)Fig.7 RMSE in acceleration error of target tracking (a=300)

圖8 目標(biāo)跟蹤距離誤差RMSE(a=500)Fig.8 RMSE in distance error of target tracking (a=500)

圖9 目標(biāo)跟蹤相對(duì)誤差RMSE (a=500)Fig.9 RMSE in distance relative error of target tracking (a=500)

圖10 目標(biāo)跟蹤速度誤差RMSE(a=500)Fig.10 RMSE in velocity error of target tracking (a=500)

圖12 目標(biāo)跟蹤距離誤差RMSE(a=700)Fig.12 RMSE in distance error of target tracking (a=700)

圖13 目標(biāo)跟蹤相對(duì)誤差RMSE (a=700)Fig.13 RMSE in relative distance error of target tracking (a=700)

圖14 目標(biāo)跟蹤速度誤差RMSE(a=700)Fig.14 RMSE in velocity error of target tracking (a=700)

圖15 目標(biāo)跟蹤加速度誤差RMSE(a=700)Fig.15 RMSE in acceleration error of target tracking (a=700)

表1 不同噪聲分布下的平均RMSE

從圖4、圖8、圖12中均可以看到,所有算法的跟蹤誤差都隨著時(shí)間增大,這是因?yàn)槟繕?biāo)實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡為由近到遠(yuǎn),被測(cè)角的角速度減小,目標(biāo)仍然維持高機(jī)動(dòng),跟蹤難度上升,因此如圖4、圖8、圖12所示,所有濾波算法的跟蹤距離誤差的變化趨勢(shì)均為由小變大,其中本文算法的RMSE相對(duì)于其余算法最低。觀察目標(biāo)跟蹤相對(duì)誤差RMSE,各個(gè)算法在異常值處于不同水平時(shí)的趨勢(shì)相同,以圖5為例,可以看到,在40 s之前所有算法的相對(duì)誤差均呈現(xiàn)下降趨勢(shì),但是由于EKF算法與PEKF-VB算法將噪聲的先驗(yàn)分布建模為高斯分布,其在非高斯重尾噪聲下濾波器性能下降嚴(yán)重,兩個(gè)算法均在40 s后逐漸發(fā)散,且在105 s后PEKF-VB算法發(fā)散更嚴(yán)重;UKF算法由于采用確定性樣點(diǎn)來逼近狀態(tài)的后驗(yàn)

概率密度,具有一定的魯棒性,因此具有比EKF算法、PEKF-VB算法更好的跟蹤性能,但是仍然在40 s之后發(fā)散,但相對(duì)誤差相對(duì)于EKF算法與PEKF-VB算法更低;本文所提的VBMGEKF算法與文獻(xiàn)[25]提出的VBEKF算法,將系統(tǒng)過程噪聲與測(cè)量噪聲均建模為重尾噪聲,本文算法在35 s處逐漸收斂到15%,平均較VBEKF算法低2%左右,可以看出本文的算法性能更佳。另外從圖6、圖10、圖14及其局部放大圖中可以看到,本文算法在一開始對(duì)目標(biāo)速度的估計(jì)相對(duì)于其他算法就具有更小的誤差。在圖7、圖11、圖15所示的加速度誤差圖中,可以看到本文所提算法與VBEKF算法對(duì)加速度的估計(jì)相對(duì)于其余算法具有更好的效果。

從表1中可以看出,本文算法與VBEKF均具有較小的RMSE,在a=500、a=300和a=700時(shí),即存在不同程度異常值的重尾分布噪聲下具有較好性能,這是因?yàn)楸疚乃惴ㄅcVBEKF算法均將一步預(yù)測(cè)的PDF和似然PDF建模為重尾分布,通過VB推斷得到狀態(tài)協(xié)方差與測(cè)量噪聲的后驗(yàn)分布信息,因此比其他算法有更佳的性能,但同時(shí)本文還結(jié)合MGEKF,降低量測(cè)方程非線性的影響,因此如圖4～圖15所示,本文算法相比其他算法在跟蹤距離誤差、相對(duì)跟蹤誤差、目標(biāo)速度誤差、加速度誤差中均具有較小的RMSE。

圖16 目標(biāo)跟蹤距離誤差RMSE Fig.16 RMSE in distance error of target tracking

圖17 目標(biāo)跟蹤相對(duì)誤差RMSEFig.17 RMSE in relative distance error of target tracking

圖18 目標(biāo)跟蹤速度誤差RMSEFig.18 RMSE in velocity error of target tracking

圖19 目標(biāo)跟蹤加速度誤差RMSEFig.19 RMSE in acceleration error of target tracking

7 結(jié)論

1)本文針對(duì)純方位目標(biāo)跟蹤中存在的非高斯重尾分布噪聲問題提出了一種新的基于高斯分布的變分貝葉斯自適應(yīng)魯棒濾波算法VBMGEKF,通過構(gòu)造基于高斯分布的層次高斯模型來擬合重尾分布的系統(tǒng)過程噪聲與測(cè)量噪聲,使用變分貝葉斯近似,迭代得到模型的未知變量和先驗(yàn)值的參數(shù),推斷出系統(tǒng)狀態(tài)協(xié)方差與測(cè)量噪聲協(xié)方差,并且針對(duì)純方位目標(biāo)跟蹤的觀測(cè)方程采用MGEKF,降低觀測(cè)方程非線性帶來的誤差。

2)經(jīng)過數(shù)值仿真,本文驗(yàn)證了在純方位目標(biāo)跟蹤問題中VBMGEKF相對(duì)其他非線性濾波EKF、UKF、PEKF-VB、VBEKF在兩種重尾分布噪聲下均具有更高的跟蹤精度與魯棒性。

3)在后續(xù)的研究工作中,將深入探索本文算法在無源多站協(xié)同探測(cè)中的應(yīng)用,進(jìn)一步提高目標(biāo)跟蹤精度。