閔長江

當(dāng)前，對于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的研究與實(shí)踐主要體現(xiàn)在兩個(gè)層面。

第一層面，是基于模擬環(huán)境下的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)作為高等院校的一門課程，是我國高等教育面向21世紀(jì)的改革舉措，是基于“高等數(shù)學(xué)”“線性代數(shù)”“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”等理論知識、數(shù)學(xué)建模與計(jì)算機(jī)應(yīng)用三者的融合，有利于培養(yǎng)大學(xué)生編程與數(shù)值計(jì)算等能力。 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，也有一些研究與實(shí)踐。

第二層面，是基于真實(shí)場景下的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)作為高中數(shù)學(xué)課堂的一種教學(xué)形式，是為解決特定的數(shù)學(xué)問題，驗(yàn)證特定的數(shù)學(xué)假設(shè)，在真實(shí)的場景下，采用實(shí)驗(yàn)的方式進(jìn)行的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)。本文所提及的“高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”屬于這一界定范疇。

本文基于現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)教材中概率章節(jié)的兩個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)案例，對數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課型的界定、實(shí)施與評價(jià)進(jìn)行了詳細(xì)的論述。

一、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課型的研究

筆者在教學(xué)實(shí)踐中，不斷挖掘現(xiàn)行教材中可供實(shí)驗(yàn)的素材，實(shí)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課型的行動(dòng)研究。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課型，是指為更有效地達(dá)成教學(xué)目標(biāo)，把實(shí)驗(yàn)活動(dòng)融入數(shù)學(xué)課堂，在限定的時(shí)間和空間內(nèi)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)活動(dòng)而形成的一種特有的數(shù)學(xué)教學(xué)形式。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課如同物理、化學(xué)、生物實(shí)驗(yàn)課一樣，學(xué)生通過演示、操作、觀察、思辨等一系列的過程，完成相應(yīng)的認(rèn)知活動(dòng)。

（一）課型劃分

以實(shí)驗(yàn)的類型為依據(jù)，結(jié)合已有的研究成果，本文將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課劃分為“驗(yàn)證型”和“探索型”兩種。 拋擲硬幣實(shí)驗(yàn)是典型的驗(yàn)證型實(shí)驗(yàn)，因?yàn)閷τ谫|(zhì)地均勻的硬幣，其正面朝上與反面朝上的機(jī)會是均等的，學(xué)生容易預(yù)測出實(shí)驗(yàn)的最終結(jié)果。事實(shí)表明，幾乎全部的實(shí)驗(yàn)小組都在實(shí)驗(yàn)之前預(yù)測正面朝上的頻數(shù)為50。那么，真實(shí)的情況到底是不是這樣呢？需要檢驗(yàn)。可見，實(shí)驗(yàn)本身就是一個(gè)富有期待的驗(yàn)證過程。而拋灑圖釘實(shí)驗(yàn)則是鮮明的探索型實(shí)驗(yàn)。對于質(zhì)地不均勻的圖釘，學(xué)生就沒有了預(yù)判力。事實(shí)也恰恰表明，各個(gè)小組預(yù)測的釘尖朝上的頻數(shù)結(jié)果相差甚遠(yuǎn)。于是，此實(shí)驗(yàn)就具有了強(qiáng)烈的探索意味。

（二）課型結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課的設(shè)計(jì)可以分為實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備、實(shí)驗(yàn)操作、統(tǒng)計(jì)分析和實(shí)驗(yàn)成果四個(gè)環(huán)節(jié)。其中，實(shí)驗(yàn)操作是核心，具有實(shí)操性，它是統(tǒng)計(jì)分析和實(shí)驗(yàn)成果的認(rèn)知基礎(chǔ)，而實(shí)驗(yàn)成果是基于實(shí)驗(yàn)操作以及統(tǒng)計(jì)分析的理論提升。 努力做到“實(shí)驗(yàn)操作有信度，理論提升有高度”，四個(gè)環(huán)節(jié)之間的關(guān)系是遞進(jìn)的、相輔相成的和不可或缺的。一節(jié)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課如果呈現(xiàn)的僅僅是實(shí)驗(yàn)操作環(huán)節(jié)，顯然是有瑕疵的。

二、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課型的教學(xué)案例

以下結(jié)合兩個(gè)案例，探討一下高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課的實(shí)施與評價(jià)。

（一）拋擲硬幣實(shí)驗(yàn)

1.實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備。（1）同桌兩位學(xué)生組成合作小組。清空桌面，并將課桌相對擺放，形成一個(gè)方形的實(shí)驗(yàn)平臺。（2）兩位學(xué)生相對而坐，并填寫《實(shí)驗(yàn)記錄單》中的信息。（3）實(shí)驗(yàn)預(yù)測：拋擲100次硬幣，正面朝上的頻數(shù)是。

2.實(shí)驗(yàn)操作。（1）學(xué)生甲在桌面上方拋擲一枚硬幣，讓硬幣做自由落體運(yùn)動(dòng)掉落到桌面上。（2）學(xué)生乙在《實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表》中，用“正字法”記錄正面朝上的頻數(shù)。

3.統(tǒng)計(jì)分析。將《實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表》中正面朝上的總頻數(shù)報(bào)給科代表。

（二）拋灑圖釘實(shí)驗(yàn)

1．實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備。（1）同桌兩位學(xué)生組成合作小組。清空桌面，并將課桌相對擺放，形成一個(gè)方形的實(shí)驗(yàn)平臺。為防止圖釘蹦跳落地，沿平臺的四周用書或文具等圍成一個(gè)封閉的區(qū)域。（2）兩位學(xué)生相對而坐，并填寫《實(shí)驗(yàn)記錄單》中的信息項(xiàng)目。（3）實(shí)驗(yàn)預(yù)測：拋擲100次圖釘，估計(jì)正面朝上的頻數(shù)是。

2.實(shí)驗(yàn)操作。（1）學(xué)生甲在桌面上方適當(dāng)?shù)母叨龋?0厘米左右）拋灑圖釘。在每次拋灑實(shí)驗(yàn)中，要求學(xué)生手里放10枚圖釘，一次性拋灑或者讓圖釘陸續(xù)從手中滑落，掉落到桌面上。（2）學(xué)生乙在每次實(shí)驗(yàn)后，將釘尖朝上的個(gè)數(shù)填寫到《實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表》中。

3.統(tǒng)計(jì)分析：將《實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表》中正面朝上的總頻數(shù)報(bào)給科代表。

（三）關(guān)于兩個(gè)實(shí)驗(yàn)的幾點(diǎn)說明

1.合作小組的劃分。班額以50人為例，同桌的兩位學(xué)生組成合作小組，共分為25個(gè)小組。

2.實(shí)驗(yàn)器材的準(zhǔn)備。（1）拋擲硬幣實(shí)驗(yàn)：準(zhǔn)備硬幣，面值不限，每組1枚備用。（2）拋灑圖釘實(shí)驗(yàn)：準(zhǔn)備圖釘，每組10個(gè)圖釘備用。

3.影響實(shí)驗(yàn)結(jié)果的因素分析。（1）平臺質(zhì)地因素。研究表明，當(dāng)平臺的質(zhì)地比較光滑且硬質(zhì)時(shí)，硬幣和圖釘都能夠充分地碰撞、彈跳，滿足實(shí)驗(yàn)的隨機(jī)性要求。但當(dāng)平臺的質(zhì)地比較松軟時(shí)，就不能滿足實(shí)驗(yàn)的場地環(huán)境要求。（2）器材選擇因素。研究表明，硬幣的材質(zhì)、面值的選擇對實(shí)驗(yàn)的結(jié)果沒有影響。但圖釘實(shí)驗(yàn)就不同，不同功能、不同品牌的圖釘形狀各異，所得到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)客觀上就會有差別。因此，同一實(shí)驗(yàn)必須采用同一種品牌的圖釘，并且在數(shù)據(jù)表中需要注明圖釘?shù)南嚓P(guān)信息。比如，本實(shí)驗(yàn)所使用的圖釘是上海圖釘廠生產(chǎn)的四方牌121型圖釘。（3）拋擲方式因素。為了體現(xiàn)實(shí)驗(yàn)的隨機(jī)性，讓硬幣、圖釘有充分的碰撞、彈跳的過程，要求拋擲的高度不能過低，可結(jié)合實(shí)驗(yàn)環(huán)境的實(shí)際確定。若在課室內(nèi)以課桌為實(shí)驗(yàn)平臺，一般拋擲的高度以30～40厘米為宜。另外，硬幣還可以采取高拋旋轉(zhuǎn)的方式。

4.時(shí)間規(guī)劃。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課的每個(gè)環(huán)節(jié)可以進(jìn)一步優(yōu)化時(shí)間。實(shí)踐表明，前三個(gè)環(huán)節(jié)可以在20分鐘以內(nèi)完成。再進(jìn)行后續(xù)的實(shí)驗(yàn)成果的總結(jié)，時(shí)間就比較可控了。特別是，在下課前的2～3分鐘，還要進(jìn)行硬幣（或圖釘）與《實(shí)驗(yàn)報(bào)告單》的收集。

5.安全事宜。每次進(jìn)行實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)時(shí)，必須考慮安全問題。像圖釘這一類器材，有一定的危險(xiǎn)性，為了避免扎傷學(xué)生，在實(shí)驗(yàn)后及時(shí)回收，不可忽視。

三、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的反思與評價(jià)

（一）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律

感性認(rèn)識是認(rèn)識的來源，是理性認(rèn)識的基礎(chǔ)。 正如波利亞所說：“抽象的道理很重要，但要用一切辦法使它們能看得見、摸得著?！睂τ趯W(xué)生來說，觀察、體驗(yàn)、參與、從活動(dòng)中獲得直接經(jīng)驗(yàn)是不可逾越的階段。但反思我們的教學(xué)，往往是把很多直接經(jīng)驗(yàn)尚且不足的學(xué)生，硬生生地拽到理論概括階段，導(dǎo)致學(xué)生的認(rèn)知懵懂，催生分化。而數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)恰恰可以為學(xué)生的感性認(rèn)識提供時(shí)間和空間，促進(jìn)學(xué)生由感性認(rèn)識轉(zhuǎn)向理性認(rèn)識。

（二）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)蘊(yùn)含合作學(xué)習(xí)

組織學(xué)生進(jìn)行實(shí)驗(yàn)探究是數(shù)學(xué)教師的重要教學(xué)行為。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)不僅豐富了學(xué)生的實(shí)踐活動(dòng)，而且為開展數(shù)學(xué)探究教學(xué)提供了一種有效途徑。不僅豐富了感性認(rèn)知，更重要的是感受到了合作的愜意。在分工合作的同時(shí)，還可以互換角色，每位學(xué)生都能完整地經(jīng)歷實(shí)驗(yàn)的全過程，充分發(fā)揮學(xué)生的主體性和教師的主導(dǎo)性。另外，學(xué)生還可以在自評、互評以及教師的綜合評價(jià)中學(xué)會反思、收獲友誼和快樂成長。

（三）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)要基于教材，立足課堂

首先，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)要源于教材。從教材中挖掘素材，不斷充實(shí)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容。據(jù)統(tǒng)計(jì)，在教材的第十章《概率》的章節(jié)中，以拋硬幣、擲骰子、摸球?yàn)楸尘暗呐e例說明、探究活動(dòng)、例題、練習(xí)、習(xí)題累計(jì)有45處之多，幾乎貫穿章節(jié)的始終?？梢姡矌?、骰子、球是展示隨機(jī)現(xiàn)象的既簡單又重要的概率模型，這啟發(fā)教師應(yīng)當(dāng)充分利用好這些素材，發(fā)揮它們對知識的承載作用。 其次，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)應(yīng)當(dāng)基于教學(xué)的需要。要體現(xiàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的必要性，不能為了“實(shí)驗(yàn)”而實(shí)驗(yàn)，不能讓數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)成為課程的附屬品。第三，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是一種教學(xué)形式，應(yīng)當(dāng)根植于課堂這個(gè)主陣地，盡量不要額外占用時(shí)間和空間，這就需要教師合理地規(guī)劃時(shí)間，高效地開展實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，讓數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)由“塞入”“加入”“嵌入”，過渡到“整合”，逐步向“融合”邁進(jìn)。

（四）加強(qiáng)思辨，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)

教師可以抓住實(shí)驗(yàn)中隨機(jī)出現(xiàn)的一些現(xiàn)象，讓學(xué)生充分感知，引導(dǎo)他們進(jìn)行思辨。以拋擲硬幣為例，在實(shí)驗(yàn)開始之前，讓學(xué)生預(yù)測：實(shí)驗(yàn)100次，硬幣正面朝上的頻數(shù)是多少？在實(shí)驗(yàn)結(jié)束后，可以隨機(jī)調(diào)查幾個(gè)小組的預(yù)測數(shù)據(jù)，體會實(shí)際與預(yù)想的差距。在實(shí)驗(yàn)過程中也可能會出現(xiàn)幾次、十幾次，甚至更多次的連續(xù)正面朝上的現(xiàn)象，而不是想象的那種正面朝上和反面朝上交替出現(xiàn)，讓學(xué)生懂得這些現(xiàn)象在實(shí)驗(yàn)過程中都是客觀存在的。

在統(tǒng)計(jì)分析環(huán)節(jié)，教師利用Excel軟件預(yù)制好《實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與頻率統(tǒng)計(jì)表》和《頻率折線圖》，投放到白板上。在統(tǒng)計(jì)分析環(huán)節(jié)，由各小組報(bào)出正面朝上的頻數(shù)，由科代表錄入數(shù)據(jù)。在屏幕上，每錄入一組數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)表就會自動(dòng)運(yùn)算，同時(shí)，頻率折線圖也隨之有了動(dòng)態(tài)改變。然后，教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合統(tǒng)計(jì)表的數(shù)據(jù)和頻率折線圖的走勢進(jìn)行思辨。當(dāng)實(shí)驗(yàn)的頻數(shù)較少時(shí)，頻率呈現(xiàn)不夠穩(wěn)定的態(tài)勢，上下振蕩，振幅比較寬。而當(dāng)實(shí)驗(yàn)頻數(shù)足夠多時(shí)，頻率值基本在0.46至0.48之間振蕩，振幅較窄，頻率逐漸呈現(xiàn)出穩(wěn)定的態(tài)勢。通過分析，讓學(xué)生懂得頻率的穩(wěn)定性是建立在大數(shù)量級實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上的概念，從而引導(dǎo)學(xué)生較好地理解概率定義的本質(zhì)。在總結(jié)實(shí)驗(yàn)成果環(huán)節(jié)，教師可以比較直觀地引導(dǎo)學(xué)生理解頻率的穩(wěn)定性，學(xué)生會很自然地理解用頻率來估計(jì)概率的合理性，從而增強(qiáng)對概念的深度認(rèn)知，完成從感性認(rèn)識到理性認(rèn)識的過渡。

四、結(jié)束語

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是一種活動(dòng)化教學(xué)，能很好地激起學(xué)生的求知欲和好奇心，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)科的興趣，增強(qiáng)數(shù)學(xué)表達(dá)能力，提高計(jì)算能力、數(shù)理統(tǒng)計(jì)與分析能力。嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶?shí)驗(yàn)過程操作、客觀的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象觀察、真實(shí)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)以及對數(shù)學(xué)本質(zhì)的抽象表述等，都在潛移默化地感化學(xué)生，不僅提升了學(xué)科素養(yǎng)，也培養(yǎng)了實(shí)事求是、求真務(wù)實(shí)的科學(xué)態(tài)度。

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)具有直觀性、情境性、探索性和實(shí)踐性，高中采用實(shí)驗(yàn)教學(xué)方式不僅可以改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展，還可以轉(zhuǎn)變教師的思想觀念。高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的發(fā)展需要廣大一線教師集思廣益，結(jié)合高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際，在理論研究和實(shí)踐課例中找到符合現(xiàn)實(shí)需求的教學(xué)策略，為高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程實(shí)施開辟廣闊的道路，這對推進(jìn)高中數(shù)學(xué)以及基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教學(xué)都具有開創(chuàng)性意義。

責(zé)任編輯 羅 峰