陳東曉 李進金

摘要：文章以大一學生的學習成績和平時測驗為基礎，通過關鍵學習路徑的描述研究微積分預前知識學習對微積分成績的影響。通過兩次測試的分析，提取每次測試的知識狀態(tài)，構建知識狀態(tài)樹來確定學生的關鍵學習路徑，并且通過知識結構和關鍵學習路徑來比較兩種不同教學方式班級學生的真實學習狀態(tài)，表明了微積分預前知識學習的重要性。研究發(fā)現(xiàn)，通過知識空間理論識別教師期望學生擁有的知識結構與學生在測試中展示的真實知識結構之間的差異，為教師調(diào)整所教知識概念的順序提供指導，并根據(jù)預期的掌握水平定制教學計劃。關鍵詞：知識空間理論；知識狀態(tài)；微積分教學；關鍵學習路徑 中圖分類號：G642

文獻標識碼：A

文章編號：1002-4107（2023）04-0028-04

對理工科和經(jīng)管類專業(yè)的大學生來說，“高等數(shù)學”是大學階段一門非常重要的通識基礎課。令人擔憂的是，“高等數(shù)學”考試的不及格率比較高，學生學習微積分的興趣明顯下降，學生將“高等數(shù)學”視為一門難以理解的課程。數(shù)學成為一門難學課程的一些重要因素是其概念的抽象性、大量符號公式、大量計算和嚴格證明推導。由于部分學生在初等教育時未能掌握基本的數(shù)學概念，形成錯誤的觀念，因此阻礙他們在日后的教育中掌握更復雜的數(shù)學概念[1]。另外，除了學科本身的難度和所研究問題的內(nèi)在復雜性外，數(shù)學學習中的問題有時是由于指導不充分，教師沒有及時充分了解學生所掌握的知識狀態(tài)。對于教師來說，按照自己思維來講解知識點是不夠的，要從初學者的角度來考慮學生學習的過程和困難。而教師期望的教學效果與學生實際學習效果之間的差距可以用學生成績來解釋，可以通過知識空間理論來研究從教師預期的知識結構和真實的知識結構之間差異，研究學生真實的學習路徑。

知識空間理論（Knowledge Space Theory，簡稱KST）由杜瓦尼翁（Doignon）和法爾馬涅（Falmagne）提出，是教育心理學的組成部分之一[2-3]。由于其在認知診斷方面的突出表現(xiàn)，知識空間理論已經(jīng)在國外得到了廣泛的應用，特別是在線教育評測和智能教學方面[4-5]。本文針對兩組同一本科專業(yè)的學生，通過知識空間理論分別構建了他們在測試中展示的真實知識結構以及關鍵學習路徑，對兩組學生的知識結構和關鍵學習路徑差異進行分析，表明了微積分學前輔導是必要的，對于學生成績的影響較大，進而對微積分教學內(nèi)容設計提供一些有益的建議。??一、知識空間理論

大多數(shù)傳統(tǒng)知識評價使用閉卷考試等方式來評估學生對數(shù)學概念的理解。由于評估的方法多種多樣，考慮到學生需要掌握知識的深度和廣度，很難知道哪些方法是有效的。知識空間理論（KST）以對評估工具的反應進行結構分析為原則，是一種在給定情境下表示學生知識的形式化方法或模型，所創(chuàng)建的結構提供了與學生知識相關的細節(jié)，以及獲取這些知識所采用的學習路徑。作為一種評估工具，KST可以告知教師一組學生在教學期間掌握不同概念的順序。知識空間理論引入了數(shù)學建模和評估學生知識結構的技術，為跟蹤學生成績和指導學習過程提供了新的可能性。杜瓦尼翁（Doignon）和法爾馬涅（Falmagne）將KST作為“正式描述給定知識領域結構的手段”[2]。知識結構是通過學生能夠正確回答的問題來描述的，每一個學生對給定作業(yè)或測試的回答成為整體結構的一個子集，學習路徑可以從嘗試的空集（無正確）到完整問題集（全部正確）。

一般來說，一個知識域Q是由一組有限指定的問題構成的集合，這組問題包括學生在給定評估中可以解決或可能無法解決的問題。每個學生都可以用他自己的知識狀態(tài)來描述，而知識狀態(tài)是由他們正確回答的所有問題所構成Q的子集，所有的知識狀態(tài)（至少包含空集和全集）組成了一個知識結構K。如果K中任何兩個知識狀態(tài)K1和K2，K1∪K2也是K中的一個知識狀態(tài)，這意味著知識結構K是并封閉的，稱K為一個知識空間。而滿足學習的順暢性（Smoothness）和學習的持續(xù)性（Consistency）的知識空間稱為學習空間[3]。

概率知識結構是將局部獨立模型方法應用到知識空間理論中，其主要考慮兩種實際情形：一是被試個體或群體的知識狀態(tài)頻率，二是考慮被試者在回答問題過程中由于粗心錯誤和幸運猜對的概率。選擇這些知識狀態(tài)的方法是使用χ2分析，統(tǒng)計量χ2基于實際響應狀態(tài)和預期知識狀態(tài)之間的差異，通過添加和減去最多的響應狀態(tài)，以最小化χ2值形成一個哈斯圖，其中每個狀態(tài)有一個前狀態(tài)和一個后狀態(tài)，而每個連續(xù)的狀態(tài)比前一個狀態(tài)正好多出一個問題。由此產(chǎn)生的知識結構可以揭示學生用來學習的幾種學習路徑。學習路徑定義為“知識狀態(tài)的最大序列，允許學習者從空集逐步遍歷知識結構或知識空間，直至完整的問題集Q”。學習者從空集開始，到完全掌握狀態(tài)Q，學習路徑可以被繪制出來。通過描述每個知識狀態(tài)的概率值代表班級中處于知識狀態(tài)學生的比例，從最大概率的知識狀態(tài)出發(fā)，最佳或最可能的學習路徑被確定為由響應狀態(tài)組成的關鍵學習路徑。一旦建立了關鍵學習路徑，就可以將每個學生與一般課堂表現(xiàn)以及最佳表現(xiàn)（Q）進行比較。

KST可以為高等數(shù)學教學作出重大貢獻，通過了解學生的知識結構克服教師、教科書和教學大綱之間關于概念組織和適當教學策略的差異。近年來，國內(nèi)外學者有的針對中學生進行化學課程學習能力提升的研究[6-8]，有的基于知識空間理論進行圖書館閱讀推廣平臺的建設[9]，而針對本科生學習效率或能力提升的知識空間理論研究還不多見。本文使用數(shù)據(jù)分析方法構建學生的真實知識空間，獲取關鍵學習路徑，并比較兩組研究對象的關鍵學習路徑差異，分析借助于線上輔助基礎知識教學對微積分學習的幫助效果，前期學習對后期學習的影響，為微積分教學研究提供了有效方法。?? 二、研究方法

（一）研究對象

本研究的參與者是選修“微積分學”的工商管理類2020級大一學生。“微積分學”是華僑大學本科經(jīng)濟管理類大一新生的一門必修課，分兩學期完成教學，每學期4學分。在研究開始的時候，選擇的研究對象是由同一位主講教師教微積分課程的兩個班級，其中一個班級選為實驗組（也稱為“輔導班”），另一個班級為對照組（也稱為“正常班”）。學期初，學生通過在線學習軟件接受了一次“學前知識檢查”——一次由20道基本計算題組成的測驗，每道題都涉及到微積分所必需的基本概念或公式[10]?？记皽y驗衡量的是學生學習微積分前的基礎知識，以便于結合學生的學習弱點給與相應基礎知識輔導。

整個學期，這兩個班級學生都完成了常規(guī)教學課程，包括練習家庭作業(yè)、3次在線章節(jié)測驗、期中測試和期末考試。所有這些都是對課堂上教授微積分內(nèi)容的測試。實驗組還安排了有助教的在線輔導課，不斷鼓勵該組學生積極參加這些在線討論，側重于根據(jù)學生的具體學前基礎知識（中學學習過的相關知識）的輔導，諸如三角函數(shù)、反三角函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等定義域和值域、圖像，以及一些常見的初等公式。這些輔導課是由研究生助教進行評分的，他們還負責每次家庭作業(yè)的批改，主講教師也參與學生在線學習討論并根據(jù)學生情況決定課堂講解和相應的講解。

（二）研究流程和數(shù)據(jù)收集

本文使用了三種工具來收集數(shù)據(jù)：（1）平時作業(yè)；（2）微積分期中測試和期末考試；（3）在線學習通測驗。在線測驗中，把一些相關知識點設計為單選或多選選擇題和是非判斷題，以獲得微積分學前和學習過程中基礎知識方面的數(shù)值分數(shù)?？荚囉扇握n教師和研究生助教一起進行評分，助教還負責每周課后作業(yè)的批改及評定等級。為了明確微積分期中測試和期末考試評分的一致性，學生參加學校對經(jīng)管類大一新生統(tǒng)一的公共數(shù)學考試，在規(guī)定時間內(nèi)完成測試，統(tǒng)一由任課教師制定評分標準并批改試卷。

（三）使用KST進行數(shù)據(jù)分析

采用知識空間理論（KST）分析并提取關鍵學習路徑，以評估兩個不同教學方式微積分課程的表現(xiàn)：實驗組和對照組。實驗班微積分課程包括以建構主義的方式教授必要的學前積分知識，使用基于問題驅(qū)動的學習方法，比傳統(tǒng)的微積分課程要求多次知識在線小測。在實驗班教學中，運用多種學習條件，結合問題驅(qū)動教學方法，可以創(chuàng)造一個更有利于有意義學習的學習環(huán)境。而對照班按傳統(tǒng)教學方法，通過教師課堂講解教學內(nèi)容和復習，學生課后做習題來完成微積分教學。通過本次實驗比較，進一步說明微積分學習不能只靠觀察和傾聽，而應該通過不斷實踐來學習。

通過一個學年兩次測試的數(shù)據(jù)研究，分別獲得了關于求導與求積分方面的知識狀態(tài)和知識哈斯圖來確定這些關鍵學習路徑。例如，根據(jù)第一學期期末考試，適當選取7道關于導數(shù)方面的知識點試題作為測試一進行實驗數(shù)據(jù)統(tǒng)計，包括（1）極限四則運算；（2）無窮小比較；（3）函數(shù)連續(xù)性；（4）導數(shù)的定義；（5）高階導數(shù)；（6）求導法則；（7）導數(shù)的應用。

為了處理這些數(shù)據(jù)，根據(jù)獲得的測試結果把每個學生的回答情況記為一個響應狀態(tài)，也稱為知識狀態(tài)。記每個問題的最高分（完全正確答案）為“1”，低于最高分值（錯誤或部分正確答案）的點記為“0”。例如，學生對問題1到問題7的知識狀態(tài)為“1010110”，表示該學生在第一、第三、第五和第六問題回答完全正確，而其他問題做錯或者沒全對。具體步驟如下。首先，統(tǒng)計所有學生的真實知識狀態(tài)及其對應的學生人數(shù)，并通過知識空間理論的并封閉性質(zhì)分別給出實驗組和對照組學生的知識空間，而得到的知識空間中知識狀態(tài)并不都是真實學生狀態(tài)，而對于假定的知識狀態(tài)人數(shù)記為0，得到一個所有測試者的知識狀態(tài)表。接著，通過得到的知識空間使用Graphviz軟件畫出知識空間哈斯圖，并利用知識空間的獨立概率模型知識，由python軟件設計算法計算出每個知識狀態(tài)的概率。最后，通過每一狀態(tài)層概率最大的知識狀態(tài)描繪出關鍵學習路徑。根據(jù)以往研究，本文中實驗數(shù)據(jù)假設對于幸運猜測和粗心錯誤的概率估計都是10%。

例如，測試1中實驗組的數(shù)據(jù)，其中q1到q7分別表示7個相關問題，實驗組共39個學生，但實際只有21種知識反應狀態(tài)，而形成的知識空間卻有52個知識狀態(tài)，有31個是假定的知識狀態(tài)。測試1中實驗組有3個學生的知識狀態(tài)是“1010010”，而該知識狀態(tài)概率是0.048。

圖1是測試1中實驗組的知識狀態(tài)樹，圖中以完成問題的編號來描述，即對應知識狀態(tài)“1010010”記為“136”，其中黑色部分是通過知識狀態(tài)概率得到的關鍵學習路徑。圖2是測試1中對照組的知識狀態(tài)樹，其中黑色部分是通過知識狀態(tài)概率得到的關鍵學習路徑。

我們通過選擇每一層中人數(shù)最多、問題數(shù)最少的知識狀態(tài)作為關鍵學習路徑的節(jié)點，然后把這些節(jié)點連接起來形成關鍵學習路徑。例如，實驗組的測試2的關鍵學習路徑是6→3→1→7→2→4→5。而與這一關鍵學習路徑相關的問題是：求導法則→函數(shù)連續(xù)性→極限四則運算→導數(shù)的應用→無窮小比較→導數(shù)的定義→高階導數(shù)。

同樣，我們也通過收集實驗數(shù)據(jù)畫出測試1中對照組的知識狀態(tài)樹圖2。

從測試1中，可以發(fā)現(xiàn)實驗組的知識結構樹與對照組的知識結構樹具有相似的無組織特征。實驗組在圖1中，第四、第五和第六級有大量的知識狀態(tài)，在這三個層次上共有30個知識狀態(tài)，占全部知識狀態(tài)的61%，這說明知識結構樹不是很有組織。我們注意到對照組的學習路徑：6→1→7→2→3→5→4，對應題項：求導法則→極限四則運算→導數(shù)應用→無窮小的比較→函數(shù)連續(xù)性→高階導數(shù)→導數(shù)的定義。很明顯，與實驗組的關鍵學習路徑是不一樣的，主要的區(qū)別是問題3的順序。問題3是關于函數(shù)的連續(xù)性問題，主要考題是關于間斷點分類，實驗組明顯在求左右極限方面表現(xiàn)得更為好些。關于問題4和問題5，一個是關于導數(shù)的定義，另一個是高階導數(shù)，很明顯對于兩組人來說都是一個難題，所以這兩個問題回答全對的學生是最少的，從關鍵學習路徑看它們都放在最后兩個。關于問題6，大部分學生在中學就學習過求導數(shù)相關知識，較為熟悉，所以這個問題回答全對最多，而這也是他們學習路徑最開始的選擇。

類似的，筆者對另一次期末考試（測試2）進行了分析，試卷共有16道題，適當選擇其中6道關于積分方面問題作為測試題：（1）不定積分基本公式；（2）不定積分計算方法；（3）微積分基本公式；（4）定積分計算；（5）定積分的幾何應用；（6）二重積分計算。

對于測試2，使用相同的方法和過程生成知識狀態(tài)，并為實驗組（圖3）和對照組（圖4）創(chuàng)建知識結構樹。筆者發(fā)現(xiàn)實驗組測試2的關鍵學習路徑：1→2→5→3→4→6，也就是：不定積分基本公式→不定積分計算方法→定積分的幾何應用→微積分基本公式→定積分計算→二重積分計算。對實驗組測試2的知識結構樹進行了仔細的比較研究，知識結構樹總共只有六個水平，沒有學生在測試中只正確回答了一個問題，并沒有存在第二層次的知識結構（只答對一個問題的知識狀態(tài)）。筆者認為這個知識結構樹更有組織性，因為它總共只有18個知識狀態(tài)。此外，該知識結構樹的關鍵學習路徑顯示了更為貼合教學內(nèi)容的教學順序。

同樣，測試2對照組的知識結構樹也顯示出比測試1的知識結構樹更好的組織。知識結構樹有7個層次，30個知識狀態(tài)。知識狀態(tài)樹的第四級和第五級包含了大多數(shù)的知識狀態(tài)，其中約57%的知識狀態(tài)出現(xiàn)在這些級別上。對于測試2對照組的關鍵學習路徑與實驗組也有所不同，即2→1→6→5→3→4。相應的問題是：不定積分計算方法→不定積分基本公式→二重積分計算→定積分的幾何應用→微積分基本公式→定積分計算。對照組和實驗組在關鍵學習路徑上的主要區(qū)別在于問題6的順序。

三、研究結果和分析

總體而言，測試1是第一學期的期中考試，已經(jīng)經(jīng)過半學期的教學實驗，實驗組在微積分預前學習上要求更高，提供更多的學習幫助，所以測試1的知識結構樹在對照組和實驗組之間已經(jīng)有所不同，實驗組表現(xiàn)得更為混亂些，不如對照組的知識結構簡單。而測試2是在第二學期期末，測試2中實驗組的知識結構樹在關鍵學習路徑上顯示出更大的變化，從而表明學生對概念的理解更為深入。

在比較測試1的知識狀態(tài)時，筆者發(fā)現(xiàn)對照組比實驗組少了8種知識狀態(tài)，而在測試2中，對照組的知識狀態(tài)比實驗組反而多了12個。兩個班級從第一次測試到第二次測試的知識狀態(tài)數(shù)量都有很大的減少：實驗組在測試1的知識狀態(tài)數(shù)是52個，但是測試2只有18個；對照組的知識狀態(tài)從測試1的44個減少到測試2的30個，減少的幅度較小。即從知識結構上看，實驗組的知識結構變化較大，且在測試2中的知識結構簡單體現(xiàn)出較有組織性。對于實驗組來說，在學生知道如何解決相對簡單問題的情況下，也許教師需要花更多的時間來解釋如何解決高級衍生問題。

此外，測試1的知識結構樹顯示，兩個班的關鍵學習路徑都是從問題6（求導及求導公式）開始的，這是因為中學已經(jīng)學習了求導公式。實驗組的知識結構樹關鍵學習路徑也顯示，學生在關鍵學習路徑上完成微積分問題的時間比對照組要快。實驗組的關鍵學習路徑問題的順序為4（導數(shù)定義）和5（高階導數(shù)），即為了正確地完成問題5，學生需要準確地回答問題4。實驗組按照正確的順序回答這兩個問題，而對照組則按照相反的順序回答這兩個問題。這個結果可能意味著對照組不是在猜測，就是混淆了幾個基礎概念。比如，對照組的學生不能正確應用導數(shù)定義解決三角函數(shù)應用部分的問題4。

實驗組測試2的關鍵學習路徑表明，該班在完成問題1和問題2時非常成功。這兩個問題涉及不定積分基本公式，然后使用問題1的結果來解決問題2的不定積分計算。實驗組的關鍵學習路徑還表明學生按照正確的順序完成問題3和問題4。為了正確地完成問題4，學生首先要正確地解決問題3，其中包括利用微積分基本公式求定積分，而問題4是定積分計算需要以基本公式為基礎，加上換元法和分部積分法來計算。另外，對于對照組，測試2的關鍵學習路徑表明，學生在問題1和問題2上不僅順序相反，而且被問題3分開；雖然問題3和問題4是按照正常順序，但在關鍵學習路徑上被問題1分開；而在問題4（定積分計算）和問題6（二重積分計算）上順序相反，實際問題體現(xiàn)了對照組在預前知識上的不扎實。有趣的是，對照組在測試2中難度比較大的問題6得分上高于實驗組。這支持了這樣的假設，即對照組可能已經(jīng)記住了如何進行計算二重積分和定積分，但是沒有很系統(tǒng)地學習微積分的預前知識。隨著整個學期微積分課程的進展，由于預期知識的不足，對照組的關鍵學習路徑繼續(xù)以相反的方式描述關于微積分學習內(nèi)容的順序。 ?? 四、結論

這項研究的結果表明了知識空間理論的應用提供了一個有效的方法來表示一組學生微積分知識領域的結構，進而得到他們的關鍵學習路徑。利用知識空間理論，繪制學生在學微積分前的知識結構圖，進而可以通過技能函數(shù)描述不同班級學生在不同干預水平下的知識結構和狀態(tài)，并基于這種知識結構，在課程評估中發(fā)現(xiàn)關鍵的學習路徑。這種方法在評估學生的技能和知識方面是有意義的，它為提高學生成績所需的潛在補救措施提供了有用的見解。

對學生關鍵學習路徑的研究支持這樣一個結論：在微積分中建立堅實的學前基礎是學生學好微積分的必要條件。知識狀態(tài)和關鍵學習路徑的連續(xù)性反映了學生對微積分基本概念的理解，并提出了一種系統(tǒng)的補充或者補救方法。筆者認為，對不同評估策略的關鍵學習路徑的調(diào)查將使教師能夠生成描述學生獲得概念的知識結構樹，為教師調(diào)整所教概念的順序提供指導，并根據(jù)預期的掌握水平定制教學。

參考文獻：

[1]潘興俠，郭琦茹，林楠.本科生高等數(shù)學成績影響因素調(diào)查——基于logistic回歸模型的分析[J].大學數(shù)學，2021（4）.

[2]Falmagne J.C.，Koppen M.，Villano M.，et al..Introduction toKnowledge Spaces[J].Psychological Review，1990（2）.

[3]Falmagne J.C.，Doigon J.P..Learning Space[M].Heidelerg：Springer-Verlag，2011：45.

[4]Lakshminarayan K..Theoretical and empirical aspects of somestochastic learning models[D].University of California，Irvine，1995.

[5]Lee S.，Belkasim S.，Chahine I.C.，et al.. A Web Application forthe Knowledge Space Theory Analysis：KST Web[J].Interna-tional Journal of Engineering Research and Technology，2014（9）.

[6]麥裕華，何慶輝，肖信.基于知識空間理論的高中生科學原理學習分析——以氧化還原反應為例[J].化學教育，2018（19）.

[7]何慶輝，麥裕華.基于知識空間理論的高一學生離子反應關鍵學習路徑[J].化學教學，2018（7）.

[8]Segedinac M.，Horvat S.，Rodi D. D.，et al..Using knowledgespace theory to compare expected and real knowledge spacesin learning stoichiometry[J].Chemistry Education Researchand Practice，2018（19）.

[9]劉欣怡，徐麗芳.數(shù)字教育出版自適應智能教學與評估系統(tǒng)研究——以麥格勞·希爾的ALEKS為例[J].出版參考，2020（6）.

[10]楊淑輝，張妍.在線作業(yè)平臺對學生成績影響的差異性分? 析[J].大學數(shù)學，2020（2）.