祝東攀，曹繼平，畢杰

（火箭軍工程大學(xué)，陜西 西安 710025）

0 引言

信息化條件下的戰(zhàn)爭具有突發(fā)性強、作戰(zhàn)節(jié)奏快、戰(zhàn)場形勢變化迅速等特點，這些特點勢必導(dǎo)致裝備維修保障任務(wù)越來越重。戰(zhàn)時，時間是贏得戰(zhàn)爭的關(guān)鍵因素，如何使受損裝備盡可能快地恢復(fù)戰(zhàn)斗力，再次投入戰(zhàn)場，主要是由裝備維修保障水平?jīng)Q定的，因此，提高裝備維修保障能力是取得戰(zhàn)爭勝利的前提和基礎(chǔ)。維修保障資源是裝備維修保障能力的重要支撐［1］，裝備維修保障水平的高低，一定程度上跟維修保障資源能否滿足武器裝備的維修保障需求有關(guān)。裝備維修保障資源調(diào)度，是指在裝備維修保障工作中，對維修保障所需要的各類保障資源進行合理分配［2］，因此研究裝備維修保障資源調(diào)度問題對提高戰(zhàn)時部隊裝備維修保障能力具有重要意義。

資源調(diào)度問題相關(guān)理論研究背景涉及物流、消防、軍事和應(yīng)急保障等領(lǐng)域。李悅等［3］研究了基于物聯(lián)網(wǎng)平臺下鐵路物流中心裝卸資源的調(diào)度優(yōu)化問題，構(gòu)建了以平均延誤時間最短和最大作業(yè)時間最小為目標(biāo)的多目標(biāo)調(diào)度優(yōu)化模型，對提高鐵路物流中心的裝卸效率具有一定意義。吳鵬等［4］針對資源受限情況下森林火災(zāi)救援的問題，在根據(jù)火災(zāi)嚴(yán)重程度和火勢蔓延速度對火災(zāi)救援優(yōu)先級劃分的基礎(chǔ)上，構(gòu)建了以救援時間最小為目標(biāo)的消防救援車輛路徑優(yōu)化的線性規(guī)劃模型，為解決資源受限下森林火災(zāi)資源調(diào)度問題提供了一種解決辦法。宋衛(wèi)星等［5］針對裝備維修保障任務(wù)量大、保障資源有限的問題，在分析裝備維修資源投入與效益關(guān)系的基礎(chǔ)上，構(gòu)建了以維修裝備數(shù)量最多、維修成本最低為目標(biāo)的維修調(diào)度模型，對合理利用維修資源具有一定意義。李紹斌等［6］針對單需求點的戰(zhàn)儲資源調(diào)度問題，建立了以調(diào)度時間最少和調(diào)度成本最小的多目標(biāo)調(diào)度模型，并運用模糊轉(zhuǎn)換和線性規(guī)劃的方法實現(xiàn)對模型的計算，為戰(zhàn)時戰(zhàn)儲資源調(diào)度問題提供了一種解決思路。王薇等［7］針對高速公路交通事件應(yīng)急救援問題，在分析高速公路施工區(qū)域?qū)Φ缆吠ㄐ心芰τ绊懙幕A(chǔ)上，以應(yīng)急救援時間最短和應(yīng)急救援相關(guān)費用最少為目標(biāo)，構(gòu)建了基于施工區(qū)通行能力的資源調(diào)度模型，為合理選擇應(yīng)急出救點提供了一種方法。陳超［8］、李沐鴻等［9］針對不確定條件下的應(yīng)急資源調(diào)度問題，利用區(qū)間數(shù)完成了調(diào)度模型構(gòu)建，為解決不確定條件下的資源調(diào)度問題提供了借鑒。這些理論研究均為戰(zhàn)時裝備維修保障資源調(diào)度問題研究提供了一定理論參考。但是，戰(zhàn)時裝備受損情況的不斷變化導(dǎo)致維修保障資源需求不確定，維修保障資源在運輸途中可能由于天氣、自然災(zāi)害、敵特侵襲等原因，使得保障點到需求點運輸時間不確定，道路、橋梁等交通設(shè)施遭敵打擊后的通行情況不確定。上述研究大多是以時間、費用等單一因素為優(yōu)化目標(biāo)，且都假定保障資源的需求量和保障點到資源需求點的時間為確定值，具有一定局限性，沒有體現(xiàn)出戰(zhàn)時維修資源需求、維修資源配送時間等因素的不確定性，難以適應(yīng)部隊?wèi)?zhàn)時背景下時間緊、維修資源需求點多、維修保障點多等問題。裝備維修保障活動是一項復(fù)雜的工程規(guī)劃類活動［10］，對裝備維修保障資源調(diào)度研究，若只針對某一單一目標(biāo)進行優(yōu)化，將會造成其他目標(biāo)效益低下，不符合戰(zhàn)時裝備維修保障資源調(diào)度的情況。本文將構(gòu)建不確定性多目標(biāo)模型，引入三角模糊數(shù)來表示維修保障資源需求的不確定性、維修保障資源調(diào)度時間的不確定性、調(diào)度路徑可靠性的不確定性，來制定最優(yōu)的調(diào)度方案。

1 模型構(gòu)建

1.1 問題分析

裝備維修保障資源調(diào)度過程如圖1 所示。戰(zhàn)時，各作戰(zhàn)單元根據(jù)任務(wù)部署在指定區(qū)域，當(dāng)作戰(zhàn)單元遭受敵打擊或發(fā)生故障時，由伴隨保障小組負責(zé)維修。如果伴隨保障小組所攜帶的資源不足以完成維修任務(wù)時，作戰(zhàn)單元指揮員將根據(jù)維修情況向指揮所申請調(diào)度維修資源。指揮所收到申請后，根據(jù)戰(zhàn)前維修保障資源部署情況及作戰(zhàn)單元受損情況制定調(diào)度方案，命令相應(yīng)的維修保障點在規(guī)定的時間內(nèi)將維修保障資源運送至所需要的作戰(zhàn)單元。當(dāng)部隊本級維修資源不足時，向基地級維修保障力量申請支援，基地級維修力量收到申請后根據(jù)實際情況安排相應(yīng)的維修力量和維修資源前往支援。

圖1 裝備維修保障資源調(diào)度流程圖Fig. 1 Scheduling flow of equipment maintenance and support resources

戰(zhàn)時裝備多，分布地域廣，裝備維修保障資源呈現(xiàn)“多需求點，多保障點”特點，隨著戰(zhàn)爭進程的變化，戰(zhàn)場信息也處于不斷變化當(dāng)中。開展裝備維修保障資源調(diào)度時，由于裝備受打擊情況、天氣情況、道路和橋梁等交通設(shè)施遭敵打擊情況等處于不斷變化當(dāng)中，因此維修保障資源的需求量、維修保障資源調(diào)度時間、調(diào)度路徑的可靠性等無法確定。因此，以維修保障資源需求量、運輸時間等因素為某一固定值處理戰(zhàn)時裝備維修保障資源調(diào)度方案難以客觀反映實際。

1.2 不確定性裝備維修保障資源調(diào)度

本文通過引入三角模糊數(shù)來表達戰(zhàn)時維修保障資源需求的不確定性、維修保障資源調(diào)度時間的不確定性和調(diào)度路徑可靠性的不確定性來建立合理的調(diào)度模型求解。維修保障資源需求點j對維修保障資源的需求量可表達為，這里三角模糊數(shù)為?，模糊數(shù)的最保守估計值為xj1，模糊數(shù)的最可能估計值為xj2，模糊數(shù)的最樂觀估計值為xj3；將維修保障點i向維修保障資源需求點j配送資源 的 時 間 表 示 為為 三 角 模 糊 函數(shù)，模糊數(shù)的最保守估計值為tij1，模糊數(shù)的最可能估計值為tij2，模糊數(shù)的樂觀估計值為tij3；將維修保障點i到維修保障資源需求點j的路徑可靠性表示為為 三 角 模 糊 函 數(shù)，模 糊 數(shù) 的最保守估計值為pij1，模糊數(shù)的最可能估計值為pij2，模糊數(shù)的最樂觀估計值為pij3。

1.3 目標(biāo)函數(shù)確定

戰(zhàn)時，裝備維修保障是為了讓受損裝備快速恢復(fù)戰(zhàn)斗力，因此維修保障資源越能盡早到達需求點，維修保障分隊就能越快對受損裝備進行維修，故而裝備維修保障資源調(diào)度的第一個目標(biāo)便是維修保障資源調(diào)度時間最小。將以維修保障資源調(diào)度時間最小為目標(biāo)的函數(shù)表示為

式中：xij為維修保障點i向維修保障資源需求點j提供的維修保障資源量為維修保障點i向維修保障資源需求點j配送維修保障資源所需的時間。

在進行裝備維修保障資源調(diào)度時，從維修保障點將資源運送至維修保障資源需求點的路徑可靠性問題也影響著維修保障的效率，合理的運輸路徑選擇不僅能夠?qū)⒕S修保障資源迅速、準(zhǔn)確地運送至目的地，而且能夠減少運輸成本。裝備維修保障資源調(diào)度的第二個目標(biāo)便是維修資源順利運輸至需求點的路徑可靠性最高。本文中假設(shè)相應(yīng)的維修保障點到維修保障資源需求點的路徑已經(jīng)確定，只考慮該路徑在戰(zhàn)時遭受自然災(zāi)害和敵打擊后可以快速修復(fù)、恢復(fù)通行的概率問題，如果概率越高，表示道路受損后恢復(fù)通行的速度越快，在運輸過程中時間浪費越少，即路徑可靠性越高。假定維修保障點i到維修保障資源需求點j的路徑為Lij，該路徑在戰(zhàn)時遭受自然災(zāi)害和敵打擊后可以快速修復(fù)，恢復(fù)通 行 的 概 率kij，則 令為 保 障 點i將 維 修 保障資源運送至需求點j的路徑可靠性。

將以維修保障資源調(diào)度路徑可靠性最高為目標(biāo)的函數(shù)表示為

雖然戰(zhàn)時裝備維修保障以軍事效益為主，但裝備維修保障資源調(diào)度在滿足時間最小和路徑可靠性最高的條件下也應(yīng)兼顧考慮調(diào)度成本問題，避免不合理的浪費。將以維修保障資源調(diào)度成本最小為目標(biāo)的函數(shù)表示為

式中：cij為維修保障點i到維修保障資源需求點j的單位資源運輸成本。

綜上得到以裝備維修保障資源調(diào)度時間最小、調(diào)度路徑可靠性最高、調(diào)度成本最小的多目標(biāo)函數(shù)可表示

2 約束條件函數(shù)的建立

假設(shè)各維修保障點的運力充足，現(xiàn)結(jié)合背景設(shè)置以下約束條件：

（1） 各維修保障點提供的維修保障資源總量與各維修保障資源需求點對資源的需求總量相等；

（2） 各維修保障點向維修保障資源需求點提供的資源量之和等于所有維修保障點實際供應(yīng)量；

（3） 每個維修保障點所供應(yīng)的維修保障資源量不大于其所儲存的維修保障資源量；

（4） 維修保障資源調(diào)度路徑的可靠性大于0；

（5） 維修保障點向維修保障資源需求點提供的維修保障資源量不小于0；

（6） 維修保障資源的需求量為三角模糊數(shù)；

（7） 維修保障資源配送時間為三角模糊數(shù)；

（8） 維修保障資源調(diào)度路徑的可靠性為三角模糊數(shù)。

約束條件函數(shù)為

式（5）表示維修保障點提供的維修保障資源量與需求點對維修保障資源的需求量相等，其中：xij表示維修保障點i向維修資源需求點j所提供的維修保障資源量? 表示維修保障資源需求點j所需要的資源量。式（6）表示每個維修保障點向需求點提供的維修保障資源量之和等于所有維修保障點實際供應(yīng)量；N表示所有維修保障點實際供應(yīng)量。式（7）表示每個維修保障點所供應(yīng)的維修保障資源量不大于其所儲存的維修資源量；Ni'表示維修保障點所儲存的維修保障資源量。式（8）表示維修保障資源調(diào)度路徑的可靠性大于0。式（9）表示維修保障點向需求點提供的維修保障資源量不小于0。式（10）表示需求點j的維修保障資源需求量為三角模糊數(shù)。式（11）表示維修保障點i向需求點j配送資源的時間為三角模糊數(shù)。式（12）表示維修保障點i將維修保障資源運送至需求點j的路徑可靠性為三角模糊數(shù)。

3 模型求解

3.1 算法分析

常用于解決多目標(biāo)規(guī)劃問題的方法有線性加權(quán)法、目標(biāo)規(guī)劃法、分層序列法、極大極小法、理想點法等［11］。本文模型采用極大極小法進行求解。由于多目標(biāo)裝備維修保障資源調(diào)度問題中，各目標(biāo)函數(shù)的重要性不同，對調(diào)度問題的影響不同［12］，為避免某一單個目標(biāo)函數(shù)主導(dǎo)整個目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化過程，本文首先通過構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)相對重要性判斷矩陣，確定各目標(biāo)函數(shù)的權(quán)重值；其次再通過求得各單目標(biāo)函數(shù)的極大值和極小值，對目標(biāo)函數(shù)進行規(guī)范化處理；最后將多目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)函數(shù)，利用LINGO 軟件進行求解。

3.2 算法求解過程

（1） 確定目標(biāo)函數(shù)權(quán)重

邀請相關(guān)專家對各目標(biāo)函數(shù)的重要性進行兩兩比較判斷，并對指標(biāo)因素的重要性程度按1-9 標(biāo)度賦值［13］（表1 所示），構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)的判斷矩陣A。

表1 目標(biāo)函數(shù)重要性判斷標(biāo)度Table 1 Judgment scale of objective function importance

由于判斷矩陣的構(gòu)造一定程度受專家的主觀因素和個人判斷能力影響，為檢驗判斷矩陣的構(gòu)造是否合理，還需對判斷矩陣進行一致性檢驗［11］。根據(jù)一致性比例CR=CI/RI對各判斷矩陣的一致性進行檢驗，其中一致性指標(biāo)CI=λmaxn/（n-1），n為判斷矩陣階數(shù)，RI為平均一致性指標(biāo)。當(dāng)n=3 時，查得RI=0.58（見表2），若CR＜0.1，則認為構(gòu)造的判斷矩陣是合理的，否則需要不斷校正。

表2 平均隨機一致性指標(biāo)RITable 2 Mean random consistency index RI

計算矩陣的特征向量W，wk（k=1，2，3）即為各目標(biāo)函數(shù)的權(quán)重。

（2） 對目標(biāo)函數(shù)進行規(guī)范化處理，即

式中：maxfk(x)和minfk(x)為目標(biāo)函數(shù)可取值的極大值和極小值，k=1，2，3。

（3） 將多目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)函數(shù)進行求解。

4 算例

某作戰(zhàn)區(qū)域內(nèi)戰(zhàn)前共預(yù)置有3 個維修保障點，每個維修保障點儲存的維修資源種類和數(shù)量如表3所示。假設(shè)在某次作戰(zhàn)過程中因戰(zhàn)場損傷導(dǎo)致參戰(zhàn)的4 個作戰(zhàn)單元裝備受損，急需維修保障資源開展裝備維修保障工作。由于戰(zhàn)場環(huán)境處于不斷變化當(dāng)中，隨著戰(zhàn)爭進程加深，以及天氣等外界因素影響，作戰(zhàn)單元受損裝備數(shù)可能會不斷增加，因此作戰(zhàn)單元對維修保障資源的需求不確定，各維修保障點將維修保障資源運輸至作戰(zhàn)單元的時間不確定，維修資源運輸路徑可靠性不確定。通過有關(guān)部門評估，得到3 個作戰(zhàn)單元對各類維修保障資源需求量的三角模糊數(shù)如表4 所示，維修保障點到各作戰(zhàn)單元的單位資源運輸成本、配送時間的三角模糊數(shù)和路徑可靠性的三角模糊數(shù)如表5 所示，表內(nèi)成本所對應(yīng)的數(shù)據(jù)表示4 種資源中每種資源單位運輸成本?，F(xiàn)要求給出最優(yōu)調(diào)度方案。

表3 各維修保障點儲存的維修保障資源種類和數(shù)量Table 3 Types and quantities of maintenance and support resources stored at each maintenance and support point

表4 作戰(zhàn)單元需要的維修保障資源種類和數(shù)量Table 4 Types and quantities of maintenance and support resources required for combat units

表5 維修保障點到各作戰(zhàn)單元的單位資源運輸成本、運輸時間和路徑可靠性Table 5 Transport cost， transport time， and transport path reliability of unit resource from maintenance and support point to each combat unit

已知此次作戰(zhàn)任務(wù)中，指揮決策者是風(fēng)險中立的，根據(jù)三角模糊數(shù)運算規(guī)則［14］，得到各類維修保障資源需求量的三角模糊數(shù)期望值如表6 所示，維修資源運輸時間和維修資源安全送達受損裝備處的概率的三角模糊數(shù)期望值如表7 所示。

表6 各作戰(zhàn)單元需要的維修保障資源種類和數(shù)量的期望值Table 6 Expected types and quantities of maintenance and support resources required by each combat unit

表7 維修保障點到各作戰(zhàn)單元的單位資源運輸成本、運輸時間和路徑可靠性的期望值Table 7 Expected transport cost， transport time， and transport path reliability of unit resource from maintenance and support point to each combat unit

由以上數(shù)據(jù)，可建立資源1 以調(diào)度時間最小、調(diào)度路徑可靠性最高、調(diào)度成本最小為目標(biāo)的多目標(biāo)調(diào)度模型：

（1） 首先邀請相關(guān)專家對各目標(biāo)的重要性進行兩兩比較判斷，并對指標(biāo)因素的重要性程度按1-9標(biāo)度賦值，得到目標(biāo)函數(shù)的判斷矩陣

根據(jù)一致性比例CR=CI/RI對判斷矩陣的一致性進行檢驗，計算得CR=0.003 2，因為0.003 2＜0.1，所以認為該目標(biāo)函數(shù)的判斷矩陣是合理的。通過計算得到該判斷矩陣的特征向量W=（0.65，0.23，0.12）即為各目標(biāo)函數(shù)權(quán)重。

（2） 對目標(biāo)函數(shù)進行規(guī)范化處理

通過LINGO 軟件求得單個目標(biāo)函數(shù)在約束條件下的極大值和極小值為

maxf1(x) = 5 918.75， minf1(x) = 4 696.2，maxf2(x) = 667.5， minf2(x) = 499.25，maxf3(x) = 3 100， minf3(x) = 2 010.

處理后的函數(shù)為

（3） 將多目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)函數(shù)進行求解

通過LINGO 軟件求出其最優(yōu)解：x11=0，x12=250，x13=0，x14=0，x21=0，x22=0，x23=195，x24=155，x31=135，x32= 35，x33=0，x34=60。

同理，可分別建立資源2，資源3，資源4 以調(diào)度時間最小，調(diào)度路徑可靠性最高，調(diào)度成本最小為目標(biāo)的多目標(biāo)調(diào)度模型，并通過LINGO 軟件計算結(jié)果如下：

資源2：x11=0，x12=165，x13=0，x14=0，x21=0，x22=0，x23=300，x24=0，x31=185，x32= 0，x33=20，x34=175。

資源3：x11=0，x12=360，x13=0，x14=0，x21=0，x22=0，x23=290，x24=60，x31=80，x32= 0，x33=0，x34=35。

資源4：x11=0，x12=220，x13=0，x14=55，x21=0，x22=0，x23=245，x24=5，x31=100，x32= 0，x33=0，x34=150。

綜上，以調(diào)度時間最小、調(diào)度路徑可靠性最高、調(diào)度成本最小為目標(biāo)的維修保障資源調(diào)度方案如下：

維修保障點1 的調(diào)度任務(wù)：

向作戰(zhàn)單元2 提供250 個單位的資源1，165 個單位的資源2，360 個單位的資源3，220 個單位的資源4；向作戰(zhàn)單元4 提供55 個單位的資源4。

維修保障點2 的調(diào)度任務(wù)：

向作戰(zhàn)單元3 提供195 個單位的資源1，300 個單位的資源2，290 個單位的資源3，245 個單位的資源4；向作戰(zhàn)單元4 提供155 個單位的資源1，60 個單位的資源3，5 個單位的資源4。

維修保障點3 的調(diào)度任務(wù)：

向作戰(zhàn)單元1 提供135 個單位的資源1，185 個單位的資源2，80 個單位的資源3，100 個單位的資源4；向作戰(zhàn)單元2 提供35 個單位的資源1；向作戰(zhàn)單元3 提供20 個單位的資源2；向作戰(zhàn)單元4 提供60 個 單位的資源1，175 個單位的資源2，35 個單位的資源3，150 個單位的資源4。

按以上方法得到的調(diào)度方案所對應(yīng)的3 個目標(biāo)函數(shù)值分別為f1(x)=18 286.25，f2(x)=2 518.75，f3(x)=10 140。若只以調(diào)度時間最小為目標(biāo)得到的調(diào)度方案對應(yīng)的3 個目標(biāo)函數(shù)值分別為f1(x)=17 281.25，f2(x)=2 393，f3(x)=11 625。若只以調(diào)度路徑可靠性最高為目標(biāo)得到的調(diào)度方案對應(yīng)的3 個目標(biāo)函數(shù)值分別為f1(x)=18 292.5，f2(x)=2 654.5，f3(x)=10 580。若只以調(diào)度成本最小為目標(biāo)得到的調(diào)度方案對應(yīng)的3 個目標(biāo)函數(shù)值分別為f1(x)=20 552.5，f2(x)=2 361.05，f2(x)=7 980。由以上結(jié)果比較可以發(fā)現(xiàn)，本文采用的方法所得到的調(diào)度方案兼顧了時間、路徑可靠性、成本3 個因素對維修保障資源調(diào)度的綜合影響，相比只以某一個因素為目標(biāo)得到的調(diào)度方案在總體上有更好的優(yōu)越性。

5 結(jié)束語

裝備維修保障資源調(diào)度方案的合理與否直接影響戰(zhàn)時裝備維修保障能力。本文在分析戰(zhàn)時裝備維修保障資源調(diào)度問題的基礎(chǔ)上，通過引入三角模糊函數(shù)，將戰(zhàn)時維修保障資源需求量、調(diào)度時間、調(diào)度路徑可靠性這些不確定信息量化，構(gòu)建了多目標(biāo)裝備維修資源調(diào)度模型，并給出了模型求解算法。最后算例表明，本文所給出的不確定條件下裝備維修保障資源調(diào)度方法，模型符合實際情況，算法具有一定合理性，為決策者開展戰(zhàn)時裝備維修資源調(diào)度提供了一定的分析角度和依據(jù)。