梁業(yè)興

縱觀近年高考，三角內(nèi)容的命題往往是“兩小一大”，且“一大”常規(guī)會與解三角形、平面向量結(jié)合.試題難度中等及以下，對于考生來說是基礎(chǔ)題、是普遍可以得分之題.因此，此類題很重要，它才是真正拉開距離的題，為了確保你不被對手“拉開”，你必須保證這些題“毫無懸念”的產(chǎn)生正確結(jié)論.它是你的“助力器”，它從命題的角度，結(jié)合試題類型進行全方位的剖析與預(yù)測，對你的復(fù)習(xí)與提升將會有幫助，請仔細往下看：

預(yù)測一：從基本技能入手，設(shè)計精巧的客觀性試題

三角中的客觀性試題并不一定都是基礎(chǔ)題、簡單題，有時它會與其它章節(jié)的知識結(jié)合在一起，從某一基本知識點或某一技能處進行設(shè)計，往往試題新穎、獨特，求解艱苦有難度也有靈活性.

例1.（1）已知函數(shù)f（x）=3sin（2ωx+π3）（ω>0）的

圖像與x軸相鄰兩個交點的距離為π2.若將f（x）的圖像向

左平移m（m>0）個單位長度得到函數(shù)g（x）的圖像恰好經(jīng)過點（－π3，0），則當(dāng)m取得最小值時，g（x）在［－π6，7π12］上的單調(diào)遞增區(qū)間為______．

（2）已知α，β，γ是互不相同的銳角，則在sinαcosβ，sinβcosγ，sinγcosα三個值中，大于12的個數(shù)的最大值是（）

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

（3）如圖，圓O的半徑為1，A是圓上的定點，P是圓上的動點，角x的始邊為射線OA，終邊為射線OP，過點P作直線OA的垂線，垂足為M，將點M到直線OP的距離表示為x的函數(shù)f（x），則y=f（x）=＼[0，π＼]上的圖像大致為（）

解析：（1）由函數(shù)f（x）的圖像與x軸相鄰兩個交點的距離為π2，得函數(shù)f（x）的最小正周期為T=2π2ω=πω=1，函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=3sin（2x+π3）.將f（x）的圖像向左平移m（m>0）個單位長度得到函數(shù)g（x）=3sin［2（x+m）+π3］的圖像，根據(jù)g（x）的圖像恰好經(jīng)過點（－π3，0），得sin2（－π3+m）+π3=0即m=kπ2+π6（k∈Z）.

因為m>0，所以m的最的小值為π6.此時，g（x）=3sin2x+2π3.

因為x∈－π6，7π12，所以2x+2π3∈π3，11π6.

當(dāng)2x+2π3∈π3，π2，即x∈－π6，－π12時，g（x）單調(diào)遞增.

當(dāng)2x+2π3∈3π2，11π6，即x∈5π12，7π12時，g（x）單調(diào)遞增．

綜上，g（x）在區(qū)間－π6，7π12上的單調(diào)遞增區(qū)間是－π6，－π12和5π12，7π12.

（2）由基本不等式有sinαcosβ≤sin2α+cos2β2，同理sinβcosγ≤sin2β+cos2γ2，sinγcosα≤sin2γ+cos2α2，

故sinαcosβ+sinβcosγ+sinγcosα≤32，故sinαcosβ，sinβcosγ，sinγcosα不可能均大于12.取α=π6，β=π3，γ=π4，則sinαcosβ=14<12，sinβcosγ=64>12，sinγcosα=64>12，

故三式中大于12的個數(shù)的最大值為2．故選C.

（3） 如下圖：過M作MD⊥OP于Ｄ，則 PM=｜sin x｜，

OM=cosx，在Rt△OMP中

，MD=OM·PMOP=cosx·sinx1=cosxsinx=12sin2x，

∴f（x）=12sin2x（0≤x≤π），選B.

點評：（1）本題包含了函數(shù)圖像的多種基本性質(zhì)，稍有不慎或有一處不過關(guān)，想產(chǎn)生結(jié)論都非常困難.（2）本題基本不等式與同角三角函數(shù)關(guān)系的巧妙結(jié)合，再加上一定的分析判斷，恰到好處地產(chǎn)生了結(jié)論.（3）本題隱含了函數(shù)的解析式，如果你能順利地產(chǎn)生函數(shù)解析式，最后產(chǎn)生結(jié)論就易如反掌.

預(yù)測二：設(shè)計多選題，從多角度、多層次考查基礎(chǔ)知識與基本技能

多選題對于數(shù)學(xué)（Ⅰ）卷來說是后起之秀，雖然才進入試卷兩年，但已引起了全體數(shù)學(xué)教師及高考命題人員的廣泛關(guān)注.它可以橫向考查多個知識點與技能點，有一個未掌握或未理解，本題你可能就只得兩分.也可以縱向考查對某一知識與技能掌握的深度，尚若深度未達標，得分也很少.三角是設(shè)計各種類型多選題的“良田”，一定要引起我們重視.

例2.（1）使sinαcosβ=－13，使cosαsinβ成立的一個必要不充分條件是 （）

A.－23，43______

B.－34，34

C.－43，43

D.－23，23

（2）已知定義域為R的函數(shù)f（x）滿足f（1+x）+f（1－x）=0，函數(shù)g（x）=f（x）sinωx（ω>0），若函數(shù)y=g（x+1）為奇函數(shù)，則ω的值可以為（）

A.π4

B. π2

C.π

D. 3π2

（3）對于函數(shù)f（x）=sinπx，0≤x≤212f（x－2），x>2下列結(jié)論中正確的是（）

A.任取x1，x2∈［1，+），都有|f（x1）－f（x2）|≤32

B. f（12）+f（52）+…+f（12+2k）=2－12k+1，其中k∈N

C.f（x）=2kf（x+2k）（k∈N*）對一切x∈［0，+）恒成立

D. 函數(shù)y=f（x）－ln（x－1）有3個零點

解析：（1）ABC.設(shè)t=cosαsinβ，由sinαcosβ+t=sin（α+β），

sinαcosβ－t=sin（α－β）t+13≤1，

13－t≤1－23≤t≤23，選項D是充要條件.

（2）BD.由于定義域為R的函數(shù)f（x）滿足f（1+x）+f（1－x）=0，所以f（x）的圖像關(guān)于（1，0）成中心對稱，所以f（x+1）的圖像關(guān)于原點對稱，所以f（x+1）奇函數(shù)，又因為函數(shù)y=g（x+1）為奇函數(shù)，因為g（x+1）=f（x+1）sinωx（ω>0）為奇函數(shù)，所以g（x+1）=f（x+1）sinω（x+1）（ω>0）為奇函數(shù)，∴hx+1=sinωx+ω為偶函數(shù)，∴ω=kπ+π2，k∈Z，ω的值可以為π2或3π2，故選BD．

（3）ACD.函數(shù)f（x）=sinπx，0≤x≤2

12f（x－2），x>2

的圖像如圖所示，得fmax（x）=1，fmin（x）=－1．

對于A：任取x1，x2∈［1，+），都有|f（x1）－f（x2）|≤|fmax（x）－fmin（x）|=12－（－1）=32.故A正確.

對于B：因為f12=1，f52=12，…，f12+2k=12k，f12+f52+…+f12+2k=2－12k.故B錯誤.

對于C：由f（x）=12f（x－2），得到f（x+2k）=12kf（x）f（x）=2kf（x+2k）.故C正確.

對于D：函數(shù)y=f（x）－ln（x－1）的定義域為（1，+）.作出y=f（x）和y=lnx－1的圖像如圖所示：當(dāng)x=2時，y=sin2π－ln1=0;當(dāng)1

當(dāng)x>2時，因為f92=14f12=14sinπ2=14ln92－1=ln72>1>14，此時，函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=ln（x－1）的圖像有一個交點，所以函數(shù)y=f（x）－ln（x－1）有3個零點.故D正確．

點評：（1）本題的求解在方法上，存在多處陷阱，設(shè)t=cosαsinβ，比如：由sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=－13+t，又由|sin（α+β）|≤1， ∴|－13+t|≤1 －23≤t≤43.或者：因為－13t=sinαcosβ·cosαsinβ=14sin2αsin2β， 又由（sinα－cosβ）2≥0，得sin2α+cos2β≥2sinαcosβ=－23.由于t2=cos2αsin2β=1－（sin2α+cos2β）+sin2αcos2β≤1+23+19－43≤t≤43 .顯然錯了！原因很簡單，cosαsinβ的值不可能是±43.（2）本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和對稱性，以及正弦函數(shù)的奇偶性問題，屬于中檔題．由題意可知，g（x+1）=f（x+1）sinω（x+1）（ω>0）為奇函數(shù)，所以h（x+1）=sinω（x+1）=sin（ωx+ω）為偶函數(shù)，由此求解．（3）本題從一個分段函數(shù)入手，對函數(shù)的各種性質(zhì)進行考查，要考查哪些方面完全由命題人控制，他想把你引向哪里，你只有跟著走向哪里，四個選項沒有一個是“省油燈”，肯定與否定都不輕松.

預(yù)測三：以基礎(chǔ)為主，考查基本公式與基本變換應(yīng)用的客觀性試題，

近年的高考三角方面的試題都是以解三角形為主，輔以考查三角中的基礎(chǔ)知識與基本技能.2023年會不會換一換命題方式，就直接以基礎(chǔ)為主，考查三角函數(shù)的基本性質(zhì)與三角中的基本變換呢？

例3.已知函數(shù)f（x）=4tanxsinπ2－xcosx－π3－3）cosx－π3.

（1）求f（x）的定義域與最小正周期.

（2）討論f（x）在區(qū)間－π4，π4上的單調(diào)性.

解析：（1）由于f（x）的定義域為xx≠π2+kπ，k∈Z.

fx=4tanxcosxcosx－π3－3=4sinxcosx－π3－3

=4sinx12cosx+32sinx－3=2sinxcosx+23sin2x－3

=sin2x+31-cos2x－3=sin2x－3cos2x=2sin2x－π3.

所以，fx的最小正周期T=2π2=π.

（2）令z=2x－π3，函數(shù)y=2sinz的單調(diào)遞增區(qū)間是－π2+2kπ，π2+2kπ，k∈Z.

由－π2+2kπ≤2x－π3≤π2+2kπ，得－π12+kπ≤x≤5π12+kπ，k∈Z.

設(shè)A=－π4，π4，B=x－π12+kπ≤x≤5π12+kπ，k∈Z，易知A∩B=－π12，π4.

所以，當(dāng)x∈－π4，π4時，f（x） 在區(qū)間－π12，π4上單調(diào)遞增，在區(qū)間－π4，－π12上單調(diào)遞減.

點評：此題很基礎(chǔ)、很簡單，把它設(shè)計為解答題的第一題，也就是第17題完全可以.三角函數(shù)是以角為自變量的函數(shù)，因此解三角函數(shù)題，首先從角進行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的變換.角的變換涉及基本公式，選用恰當(dāng)?shù)墓?，是解決三角問題的關(guān)鍵. 對于三角函數(shù)來說，常常是先化為y=Asin（ωx+φ）+h的形式，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解．三角恒等變換要堅持結(jié)構(gòu)同化原則，即盡可能地化為同角函數(shù)、同名函數(shù)、同次函數(shù)等，其中切化弦也是同化思想的體現(xiàn).降次是一種三角變換的常用技巧，要靈活運用降次公式．

預(yù)測四：以分析探索為主，設(shè)計探索性客觀性試題

探索性試題，一直倍受各級各類考試命題人的青睞，以分析探索為主，設(shè)計三角函數(shù)的探索性試題也可能是命題方向之一.

例4.已知函數(shù)f（x）=sinωx（sinωx+cosωx）－12（ω>0）圖像的相鄰兩條對稱軸之間

的距離為2π．

（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間以及f（x）圖像的對稱中心坐標.

（2）是否存在銳角α，β，使α+2β=2π3，fα+π2·f2β+3π2=38同時成立？若

存在，求出角α，β的值.若不存在，請說明理由．

解析：（1）由f（x）=sinωx（sinωx+cosωx）－12=22sin2ωx－π4.

因為f（x）圖像的相鄰兩條對稱軸之間的距離為2π，得T=4π=2π2ωω=14.

于是f（x）=22sin12x－π4.

由－π2+2kπ≤12x－π4≤π2+2kπ－π2+4kπ≤x≤3π2+4kπ（k∈Z）.

所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為－π2+4kπ，3π2+4kπ（k∈Z）.

由12x－π4=kπx=2kπ+π2（k∈Z）.

所以f（x）圖像的對稱中心坐標為2kπ+π2，0（k∈Z）.

（2）存在，理由如下：

因為fα+π2=22sinα2，f2β+3π2=22sinβ+π2=22cosβ，

那么fα+π2·f2β+3π2=22sinα2·22cosβ=12sinα2cosβ.

由α+2β=2π3α=2π3－2β，

得sinα2cosβ=sin（π3－β）cosβ=

32cosβ－12sinβcosβ

=32·1+cos2β2－14sin2β=34+34cos2β－14sin2β.

即fα+π2·f2β+3π2=38+38cos2β－18sin2β.

若fα+π2·f2β+3π2=38，則38cos2β－18sin2β=0tan2β=3.

又β為銳角，得β=π6，由α+2β=2π3α=2π3－2β=π3.

點評：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的周期公式，正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和運算求解能力，屬于較難題．（1）由已知利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可得函數(shù)解析式f（x）=22sin2ωx－π4，利用正弦函數(shù)的周期公式可求ω的值．進一步得到增區(qū)間以及對稱中心．（2）由已知利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求tan2β=3，結(jié)合范圍β為銳角產(chǎn)生結(jié)論．

預(yù)測五：注重選擇性，設(shè)計條件或結(jié)論不完備的客觀性試題

條件或結(jié)論不完備試題是近年才出現(xiàn)的，由于它具有選擇性，而試題的難易與運算的

繁簡又不可能絕對一致，因此，恰當(dāng)?shù)倪x擇（或運氣的選擇）也許會使求解簡單一些，因此，它很受考生喜歡，當(dāng)然，也受到命題專家的關(guān)注.

例5.在①f（x）的圖像關(guān)于直線x=5π6ω對稱，②f（x）=cosωx－3sinωx，③

f（x）≤f（0）恒成立這三個條件中任選一個，補充在下面問題中．若問題中的ω存在，求出ω的值，若ω不存在，請說明理由．

設(shè)函數(shù)f（x）=2cos（ωx+φ）（ω>0，0≤φ≤π2），______，是否存在正整數(shù)ω，使

得函數(shù)f（x）在0，π2上是單調(diào)的？（注：選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）

解析：若選①，令ωx+φ=kπ，k∈Z代入x=5π6ωφ=kπ－5π6，因為0≤φ≤π2，

所以φ=π6，f（x）=2cosωx+π6，當(dāng)x∈0，π2時，ωx+π6∈π6，πω2+π6.

若函數(shù)f（x）在0，π2上單調(diào)，則有ωx2+π6≤π0<ω≤53，

所以存在正整數(shù)ω=1時，使得函數(shù)f（x）在0，π2上單調(diào)的;

若選②，f（x）=cosωx－3sinωx=2cosωx+π3φ=π3，

當(dāng)x∈0，π2時，ωx+π3∈π3，πω2+π3，

若函數(shù)f（x）在0，π2上單調(diào)，則有πω2+π3≤π0<ω≤43，

所以存在正整數(shù)ω=1時，使得函數(shù)f（x）在0，π2上是單調(diào)的.

若選③，因為f（x）≤f（0）恒成立，即f（x）max=f（0）=2cosφ=2cosφ=1.

因為0≤φ≤π2，所以φ=0此時f（x）=2cosωx，當(dāng)x∈0，π2時，ωx∈0，πω2，

若函數(shù)f（x）在0，π2上單調(diào)，則有πω2≤π0<ω≤2，

所以存在正整數(shù)ω=1或2時，使得函數(shù)f（x）在0，π2上是單調(diào)的．

點評：本題考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，屬于開放性的中檔題．若選①，要注重在對稱軸處取得最大值或最小值.若選②，要注重“化一公式”的應(yīng)用.若選③，要注重函數(shù)最值的特點．無論選哪一個都需要抓住0，π2是函數(shù)的一個單調(diào)區(qū)間的子區(qū)間即可.

預(yù)測六：從實際應(yīng)用入手，設(shè)計與生活實際聯(lián)系密切的客觀性試題

數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)的六大核心素養(yǎng)之一，是高考重點考查的內(nèi)容.用所學(xué)知識處理實際應(yīng)用問題的能力又是數(shù)學(xué)的重要能力，從實際應(yīng)用入手設(shè)計與生活實際聯(lián)系密切的客觀性試題完全在情理之中，當(dāng)然，要注意試題的難度.

例6.如圖，我市某污水處理廠要在一個矩形污水處理池ABCD

的池底水平鋪設(shè)污水凈化管道（Rt△FHE三條邊，H是直角頂點）來處理污水，管道越長，污水凈化效果越好.要求管道的接口H是AB的中點，點E，F(xiàn)分別落在線段BC，AD上，已知AB=20m，AD=103m，記∠BHE=θ．

（1）試將污水凈化管道的總長度L（即Rt△FHE的周長）表示為θ的函數(shù)，并求出定義域;

（2）問θ取何值時，污水凈化效果最好·并求出此時管道的總長度．

解析：（1）由題意可得EH=10cosθ，F(xiàn)H=10sinθ，EF=10sinθcosθ，

由于BE=10tanθ≤103，AF=10tanθ≤10333≤tanθ≤3π6≤θ≤π3.

所以L=10cosθ+10sinθ+10sinθcosθ，θ∈π6，π3.

即L=10×sinθ+cosθ+1sinθcosθ，θ∈［π6，π3］.

（2）設(shè)sinθ+cosθ=t，則sinθcosθ=t2－12，

由于θ∈π6，π3，t=sinθ+cosθ=2sinθ+π4∈3+12，2，

由于L=10（t+1）t2－12=20t－1在3+12，2上是單調(diào)減函數(shù)，

所以，當(dāng)t=3+12時，即θ=π6或θ=π3時，L取得最大值為203+1m.

點評：本題考查三角函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用、兩角和與差的三角函數(shù)，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，是中檔題，也是完全可能作為考題的題，值得我們關(guān)注．

預(yù)測七：從新定義入手，設(shè)計與基本技能相關(guān)的客觀性試題

新定義問題一直是高考命題的熱點，在三角函數(shù)中設(shè)計一道中檔題，用以考查三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識與基本技能是一個很好的創(chuàng)意，值得我們關(guān)注.

例7.設(shè)函數(shù)f（x）=cos2x+asinx+a．

（1）當(dāng)a=1時，求函數(shù)f（x）在區(qū)間0，π3上的值域;

（2）設(shè)函數(shù)φ（x）的定義域為I，若x0∈I，且φ（x0）=1，則稱x0為函數(shù)y=φ（x）的

“壹點”，已知f（x）在區(qū)間［0，2π］上有4個不同的“壹點”，求實數(shù)a的取值范圍．

解析：由于f（x）=cos2x+asinx+a=－2sin2x+asinx+a+1，

（1）當(dāng)a=1時，f（x）=－2sin2x+sinx+2，x∈［0，π3］，易得值域為3+12，178．

（2）由題意可知，－2sin2x+asinx+a+1=1在區(qū)間［0，2π］上有4個不同的零點，

令g（x）=－2sin2x+asinx+a，則g（x）在區(qū)間［0，2π］上有4個零點，令t=sinx∈［－1，1］，則h（t）=－2t2+at+a，

①若h（t）在（－1，1）上有2個非零零點，則

h（－1）<0，

ha4>0，

h（1）<0，

－1

h（0）≠00

②若h（t）的2個零點為0和1，則

a=0，

a2=1，無解，舍去.

③若h（t）的2個零點為0和－1，則

a=0，

a2=－1，無解，舍去．

綜上所述，0

點評：本題考查了二倍角公式的應(yīng)用，換元法求三角函數(shù)值域，二次函數(shù)根的分布，屬于難題．（1）先利用余弦的二倍角公式，將原函數(shù)變形，然后換元法，變成關(guān)于t的二次函數(shù)，再求函數(shù)的值域，需要注意新元的取值范圍.（2）將題干描述的“壹點”可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點問題來處理，再結(jié)合二次函數(shù)根的分布，分類討論每種情況．

預(yù)測八：從與其他知識點交匯點入手，設(shè)計新穎的客觀性試題

試題的交匯性也是高考試題的一大亮點，曾經(jīng)的概率統(tǒng)計與數(shù)列交匯、立幾與導(dǎo)數(shù)交匯等都讓人們記憶猶新，其實數(shù)學(xué)中的所有內(nèi)容幾乎都是可可交匯的，只是看命題人如何進行設(shè)計.

例8.設(shè)函數(shù)f（x）=2acos2x+（a－1）cosx－1，其中a>0，記|f（x）|的最大值為A．

（1）若a≥1，求A.

（2）證明：|f′（x）|≤2A

解析：（1）當(dāng)a≥1時，|f（x）|=|2acos2x+（a－1）cosx－1|=|acos2x

+（a－1）（cosx+1）|≤|acos2x|+（a－1）（|cosx|+1）≤a+2（a－1）=3a－2=f（0），

因此，A=3a－2.

（2）當(dāng)0

則A是|g（t）|在［-1，1］上的最大值.g（-1）=a，g（1）=3a-2，

且當(dāng)t=1-a4a時，g（t）取得極小值，極小值為g1-a4a=-a2+6a+18a．

令-1<1-a4a<1，得a<-13（舍去），或a>15．

（i）當(dāng)0

∵|g（-1）|<|g（1）|，∴A=2-3a．

（ii）當(dāng)150，∴g（-1）>g（1）>g1-a4a．

又∴g1-a4a-|g（-1）|=（1-a）（7a+1）8a>0，∴g1-a4a>|g（-1）|．

∴A=g1-a4a=a2+6a+18a，∴A=2-3a，0

a2+6a+18a，15

3a-2，a≥1

由于f′（x）=－4acosxsinx－（a－1）sinx=－2asin2x－（a－1）sinx，

那么|f′（x）|=|－2asin2x－（a－1）sinx|≤2a+|a－1|.

當(dāng)0

當(dāng)151|f′（x）|≤1+a<2A.

當(dāng)a≥1時，|f′（x）|≤3a－1≤6a－4=2A.

綜上，得|f′（x）|≤2A.

點評：本題將三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、不等式交匯在一起，求解過程用到三角基本公式、不等式放縮及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)等，難度不大，但考點的覆蓋、基本技能的考查都十分到位，可以說是一道比較好的試題.

責(zé)任編輯徐國堅