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        操作活動背景下一道圓的作圖題的拓展

        2023-05-25 01:09:20陳冠軍
        初中生世界 2023年19期
        關(guān)鍵詞:垂徑格點作法

        文/陳冠軍

        在2022 年中考中,江蘇省多個市以操作活動為問題背景來考查圓的相關(guān)知識,呈現(xiàn)形式較為新穎。限于文章篇幅,本文僅對宿遷市的一道題做研究。

        例題

        如圖1,在網(wǎng)格中,每個小正方形的邊長均為1,每個小正方形的頂點稱為格點,點A、B、C、D、M均為格點。

        圖1

        【操作探究】在數(shù)學(xué)活動課上,佳佳同學(xué)在如圖1 的網(wǎng)格中,用無刻度的直尺畫了兩條互相垂直的線段AB、CD,相交于點P并給出部分說理過程,請你補充完整:

        解:在網(wǎng)格中取格點E,構(gòu)建兩個直角三角形,分別是△ABC和△CDE。

        在Rt△ABC中,tan∠BAC=

        在Rt△CDE中,_______,

        所以tan∠BAC=tan∠DCE。

        所以∠BAC=∠DCE。

        因為∠ACP+∠DCE=∠ACB=90°,

        所以∠ACP+∠BAC=90°。

        所以∠APC=90°,即AB⊥CD。

        【拓展應(yīng)用】(1)如圖2 是以格點O為圓心,AB為直徑的圓,請你只用無刻度的直尺,在上找出一點P,使寫出作法,并給出證明;

        圖2

        (2)如圖3 是以格點O為圓心的圓,請你只用無刻度的直尺,在弦AB上找出一點P,使AM2=AP·AB,寫出作法,不用證明。

        圖3

        解析

        【操作探究】tan∠DCE=

        【拓展應(yīng)用】(1)作法:取格點C,連接AC并延長,交⊙O于點P,則點P即為所求,見圖4。

        圖4

        證明:由作圖可知OM⊥AP,且OM過圓心,根據(jù)垂徑定理,得

        (2)作法一:連接OA,取格點C,連接MC并延長,交⊙O于點M',交AB于點P,則點P即為所求,見圖5。

        圖5

        證明:可證OA⊥MM',

        ∴∠AMP=∠ABM。

        又∠MAP=∠BAM,

        ∴△APM∽△AMB。

        ∴AM2=AP·AB。

        作法二:取格點C、D,連接CD交AB于P,則點P即為所求,見圖6。

        圖6

        總結(jié)

        本題用到的知識較為廣泛,有全等三角形、垂徑定理、圓周角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等,是一道以操作活動為背景的綜合題。

        除這道題外,各地2022 年中考題中,還有常州市第28 題、揚州市第26 題、鹽城市第27 題,它們都是操作活動背景下的圓的綜合題,大家不妨去做一做。

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