付思達(dá)，徐慧輝，蔣 明，王鐵丹，寧帥宇

（1.中國(guó)航天科工集團(tuán)8511研究所，江蘇 南京 210007；2.航天系統(tǒng)部裝備部軍事代表局，江蘇 南京 210028；3.國(guó)家電網(wǎng)湖南省電力有限公司，湖南 衡陽(yáng) 421001）

0 引言

面對(duì)復(fù)雜的作戰(zhàn)環(huán)境，如何從海量的戰(zhàn)場(chǎng)數(shù)據(jù)中有效地提取信息并應(yīng)用，是電子偵察領(lǐng)域面臨的難題之一［1］。當(dāng)偵察平臺(tái)為衛(wèi)星、戰(zhàn)機(jī)等大型載體平臺(tái)時(shí)，不能保證有足夠且連續(xù)的空間來(lái)放置對(duì)環(huán)境要求較高的傳統(tǒng)天線(xiàn)陣列，從而很難在特定的布陣環(huán)境下滿(mǎn)足陣列天線(xiàn)系統(tǒng)高增益和波束可控的要求，因此分布式陣列應(yīng)運(yùn)而生［2］。分布式陣列是一種陣列結(jié)構(gòu)較為特殊的稀疏陣列，由多個(gè)子陣構(gòu)成，子陣與子陣之間的間隔遠(yuǎn)超過(guò)半個(gè)波長(zhǎng)，子陣構(gòu)型都相同的叫同構(gòu)型分布式陣列，子陣構(gòu)型不全相同的叫異構(gòu)型分布式陣列［3］。異構(gòu)型分布式陣列的特點(diǎn)是可在有限的幾個(gè)區(qū)域內(nèi)放置子陣單元，各子陣單元位于同一載體不連續(xù)空間位置所構(gòu)成的特殊結(jié)構(gòu)，可等效為大口徑陣列，從而實(shí)現(xiàn)高增益、高分辨率等普通星載機(jī)載陣列天線(xiàn)所不能滿(mǎn)足的功能。但是，分布式陣列的子陣與子陣之間的距離遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于半波長(zhǎng)，會(huì)導(dǎo)致陣列方向性圖的主瓣增益降低、副瓣增益升高等問(wèn)題［4］。所以對(duì)分布式陣列進(jìn)行優(yōu)化，在保證主瓣增益的同時(shí)，降低其副瓣電平具有重要意義。

差分進(jìn)化算法由于具有易執(zhí)行、快速收斂、魯棒性強(qiáng)和全局搜索能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)［5-7］，逐漸被用于求解陣列天線(xiàn)的優(yōu)化問(wèn)題。目前國(guó)內(nèi)對(duì)于分布式陣列優(yōu)化的研究較少，且優(yōu)化對(duì)象多為同構(gòu)型分布式陣列［8-14］，以異構(gòu)型分布式陣列為優(yōu)化對(duì)象的文獻(xiàn)相對(duì)較少。但在實(shí)際工程應(yīng)用中布陣環(huán)境相當(dāng)受限，同構(gòu)型的分布式陣列有時(shí)并不能滿(mǎn)足要求，而異構(gòu)型的分布式陣列布陣靈活，可以根據(jù)不同的布陣環(huán)境來(lái)選擇不同的子陣結(jié)構(gòu)。本文在傳統(tǒng)的差分進(jìn)化算法基礎(chǔ)上，針對(duì)異構(gòu)型的二維分布式陣列優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行算法改進(jìn)和建模，并通過(guò)仿真驗(yàn)證了該算法的性能。

1 異構(gòu)型分布式陣列

假設(shè)異構(gòu)型分布式陣列由若干個(gè)子陣組成，以其中第一個(gè)子陣為例，dx、dy分別是子陣單元的x方向上的陣元間距和y方向上的陣元間距，Dx和Dy分別表示子陣相位中心的x方向坐標(biāo)位置和y向坐標(biāo)位置。如圖1所示，擴(kuò)展到三維坐標(biāo)系，為方便表示，僅畫(huà)出每個(gè)子陣的相位中心坐標(biāo)。目標(biāo)位置與坐標(biāo)原點(diǎn)的連線(xiàn)與xoz面的夾角φ為方位角，目標(biāo)位置與坐標(biāo)原點(diǎn)的連線(xiàn)在xoz面上的投影與y軸的夾角θ為俯仰角。

圖1 二維分布式陣列模型

對(duì)于異構(gòu)型的二維分布式陣列，假設(shè)異構(gòu)型分布式陣列共有H種不同結(jié)構(gòu)的子陣，則第k種子陣的陣元數(shù)目為Mk×Nk，Mk為x方向上陣元個(gè)數(shù)，Nk為y方向上陣元個(gè)數(shù)，若掃描角為(θ0，φ0)，則第k種子陣的單個(gè)子陣方向圖表達(dá)式如下：

式中，K=2π/λ。第k種子陣的子陣間方向圖表達(dá)式如下：

式中，Pk表示第k種子陣的子陣個(gè)數(shù)，Dkxi表示第k種子陣的第i個(gè)子陣的相位中心的x方向坐標(biāo)，Dkyi表示第k種子陣的第i個(gè)子陣的相位中心的y方向坐標(biāo)。根據(jù)方向圖乘積定理，二維異構(gòu)型分布式陣列方向圖表達(dá)式如下：

分析上述表達(dá)式，由于Dkxi遠(yuǎn)大于 (l-1)dx、Dkyi遠(yuǎn)大于(r-1)dy，則子陣間方向圖的變化要比單個(gè)子陣方向圖的變化快得多，所以子陣間的間距在分布式陣列方向圖中占主導(dǎo)地位。因此分布式陣列的優(yōu)化，可以從子陣的分布位置出發(fā)，通過(guò)調(diào)整各子陣之間的距離，來(lái)降低主瓣兩側(cè)的峰值旁瓣電平。

2 傳統(tǒng)的差分進(jìn)化算法

差分進(jìn)化算法主要操作為交叉、變異以及選擇。該算法主要采用“個(gè)體”間的差異來(lái)產(chǎn)生新的個(gè)體。在差分進(jìn)化算法不斷迭代的過(guò)程中，選擇出合適的控制參數(shù)的數(shù)值是算法成功的關(guān)鍵?；镜目刂茀?shù)有：種群規(guī)模NP、變異因子F、交叉因子CR、最大迭代數(shù)Gmax?；静襟E和參數(shù)的選取規(guī)則如下［15］：

1）初始化：根據(jù)具體問(wèn)題確定解的表達(dá)方式和適應(yīng)度函數(shù)，設(shè)置種群的規(guī)模NP。種群規(guī)模越大，就增加了種群的多樣性，因?yàn)楦鱾€(gè)個(gè)體都存在差異性，所以更有利于尋得全局最優(yōu)，但是降低了收斂速度。一般來(lái)說(shuō)種群規(guī)模NP最優(yōu)選擇在5D—10D之間。

2）變異：差分進(jìn)化算法通過(guò)差分策略實(shí)現(xiàn)個(gè)體變異，利用幾個(gè)不同的父代向量做差，產(chǎn)生相應(yīng)的差分向量，將其向量差縮放后與待變異個(gè)體進(jìn)行向量合成。變異策略可用符號(hào)DE/x/y/z表示，其中，x表示當(dāng)前被變異的個(gè)體是隨機(jī)選擇的個(gè)體還是種群中最優(yōu)的個(gè)體，y表示使用差分向量的個(gè)數(shù)，z表示選擇的交叉策略，一般指數(shù)型交叉策略比較常用。常見(jiàn)的變異 策 略 有DE/rand/1/exp、DE/best/1/exp、DE/current?to?rand/2/exp、DE/current?to?best/2/exp等。不同的變異策略具有不同的特點(diǎn)，可根據(jù)不同的需求選擇不同的變異策略。變異策略中F具有擾動(dòng)作用，它決定了差分矢量的放大倍數(shù)。F取得太大，新一代的變異個(gè)體將在一個(gè)大的范圍中取值，增加了種群的多樣性，但是同時(shí)也會(huì)削弱局部搜索能力。若F取得很小，將會(huì)導(dǎo)致個(gè)體變異前后沒(méi)有明顯差異，削弱了全局搜索能力，但又利于提高算法的收斂速度。一般來(lái)說(shuō)，變異因子F在初始化過(guò)程中設(shè)置為0.5，在差分進(jìn)化的過(guò)程中若發(fā)現(xiàn)早熟，可增大F，反之則減小F。

3）交叉：交叉操作的目的是通過(guò)一定的權(quán)重在變異個(gè)體和目標(biāo)個(gè)體中隨機(jī)選擇組成新的試驗(yàn)個(gè)體。交叉因子CR實(shí)際上就表示這個(gè)權(quán)重，取值范圍在0～1之間。較大的交叉因子可以使試驗(yàn)個(gè)體更多地來(lái)源于變異個(gè)體，反之則更多地來(lái)源于目標(biāo)個(gè)體。為了增加了個(gè)體之間的差異性，算法初始階段可以將CR設(shè)置為 0.9 或者 1。

4）選擇：選擇過(guò)程主要是采用“優(yōu)勝劣汰”機(jī)制，即比較試驗(yàn)個(gè)體于目標(biāo)個(gè)體的適應(yīng)度值，保留優(yōu)良個(gè)體，淘汰劣質(zhì)個(gè)體。

5）邊界條件處理：如果在交叉過(guò)程產(chǎn)生的試驗(yàn)個(gè)體超出了約束的條件范圍，則將這個(gè)試驗(yàn)個(gè)體剔除掉，重新按照1）初始化一個(gè)新的試驗(yàn)個(gè)體。

3 算法的改進(jìn)與建模

3.1 差分進(jìn)化算法的改進(jìn)

差分算法雖然收斂速度快、控制參數(shù)少、魯棒性強(qiáng)、全局搜索能力好，但是也存在容易陷入局部最優(yōu)的缺陷，針對(duì)這一問(wèn)題，目前對(duì)差分進(jìn)化算法主要是從操作算子、種群結(jié)構(gòu)、控制參數(shù)和與其它算法相結(jié)合這四個(gè)方向進(jìn)行改進(jìn)。下面本文將根據(jù)以上的幾個(gè)方向，結(jié)合分布式陣列的這一應(yīng)用場(chǎng)景對(duì)差分進(jìn)化算法進(jìn)行改進(jìn)，具體操作為：

1）變異策略的改進(jìn)

本文在變異策略上選擇DE/rand/1/exp和DE/current?to?best/2/exp 兩種策略相結(jié)合。在差分進(jìn)化算法的開(kāi)始階段，應(yīng)該側(cè)重于全局搜索能力，充分發(fā)揮種群的潛力，保證種群的多樣性，DE/rand/1/exp具有尋優(yōu)范圍大的特點(diǎn)，特別適合算法初期。而在算法中后期，應(yīng)該更側(cè)重于最優(yōu)個(gè)體及其附近區(qū)域的局部搜索，DE/current?to?best/2/exp 則相當(dāng)實(shí)用，它具有尋收斂速度快，有利于局部精準(zhǔn)搜索的特點(diǎn)。加入一個(gè)權(quán)重因子，權(quán)重因子隨著進(jìn)化代數(shù)的增加呈線(xiàn)性增長(zhǎng)，當(dāng)權(quán)重因子較小時(shí)，DE/rand/1/exp策略起主導(dǎo)作用，隨著進(jìn)化代數(shù)的增加，權(quán)重因子越來(lái)越大，DE/current?to?best/2/exp 策略慢慢占據(jù)主導(dǎo)作用。另外，在此基礎(chǔ)上還可以設(shè)置一個(gè)調(diào)和參數(shù)［16］，利用擾動(dòng)策略的思想，隨機(jī)選擇現(xiàn)有的變異操作和擾動(dòng)策略，進(jìn)一步增強(qiáng)算法跳出局部最優(yōu)的能力，調(diào)和參數(shù)的取值一般大于0.9。表達(dá)式如下：

式中，ω為權(quán)重因子，取值范圍為［0，1］，Gmax為總的進(jìn)化代數(shù)，Mr為調(diào)和參數(shù)，r1、r2、r3為兩兩互不相同的隨機(jī)整數(shù)且均不等于i，xri，G表示當(dāng)前種群中隨機(jī)選取的不同個(gè)體，xbest，G表示第G代最優(yōu)個(gè)體。

差分進(jìn)化算法容易早熟，導(dǎo)致算法停滯，適應(yīng)度函數(shù)值持續(xù)不更新。為了解決這一問(wèn)題，本文提出自適應(yīng)二次變異的方法，設(shè)置一個(gè)允許停滯次數(shù)的最大值t_max，當(dāng)種群的最優(yōu)適應(yīng)度值連續(xù)不更新代數(shù)超過(guò)t_max，便認(rèn)為此時(shí)算法處于停滯狀態(tài)，則需要經(jīng)過(guò)二次變異來(lái)打破停滯，使進(jìn)化朝著更好的方向發(fā)展。二次變異策略采用種群中的最優(yōu)個(gè)體來(lái)決定跳出局部最優(yōu)的方向，用標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)分布來(lái)決定跳出局部最優(yōu)的步長(zhǎng)。二次變異表達(dá)式如下：

式中，v'i，G+1表示二次變異后的個(gè)體。當(dāng)rand大于0時(shí)，新的變異個(gè)體朝著全局最優(yōu)方向移動(dòng)搜索；當(dāng)rand小于0時(shí)，新的變異個(gè)體向全局最優(yōu)的反方向搜索，有利于探索其它空間的解，加大了算法的尋優(yōu)范圍。

2）選擇策略的改進(jìn)

在選擇操作中，引入一個(gè)取值范圍為0~1的門(mén)限值，產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)數(shù)，該數(shù)的取值范圍也為0~1。若該隨機(jī)數(shù)小于等于門(mén)限值，適應(yīng)度值低的個(gè)體也會(huì)保留至下一代。這樣適應(yīng)度值低的個(gè)體也有機(jī)會(huì)被保存進(jìn)入到下一代，增加了種群的多樣性，盡可能地避免算法在后期陷入局部最優(yōu)。表達(dá)式如下：

如果 rand≥threshold，則：

如果 rand

但是隨機(jī)數(shù)和門(mén)限值的相對(duì)大小存在隨機(jī)性，有可能會(huì)導(dǎo)致本代適應(yīng)度最高的個(gè)體被淘汰，降低了算法的收斂性，所以需要在選擇策略中加入替換策略。在每一代種群中適應(yīng)度最高的個(gè)體保存下來(lái)，在經(jīng)過(guò)選擇操作后，與下一代種群中適應(yīng)度最低的個(gè)體進(jìn)行替換。這就保證了下一代種群中至少存在一個(gè)適應(yīng)度值等于父代種群中適應(yīng)度最高的個(gè)體。

3）控制參數(shù)的改進(jìn)

為了讓F和CR更好地對(duì)下一代種群的搜索方向和搜索范圍產(chǎn)生影響，參數(shù)自適應(yīng)的差分進(jìn)化算法逐漸產(chǎn)生。參數(shù)自適應(yīng)是指在算法的不同時(shí)期，根據(jù)種群的分布情況與適應(yīng)度之間的相對(duì)位置關(guān)系來(lái)改變F和CR的取值，從而使進(jìn)化朝更好的方向發(fā)展。

本文使參數(shù)自適應(yīng)的方法是將產(chǎn)生優(yōu)秀個(gè)體的參數(shù)保留，將產(chǎn)生淘汰個(gè)體的參數(shù)重新設(shè)定。即若下一代適應(yīng)度優(yōu)于上一代則控制參數(shù)保留，反之則重新設(shè)定。表達(dá)式如下：

式中，F(xiàn)i，1為第一代變異因子，F(xiàn)i，G為第 G 代變異因子，F(xiàn)min=0.1，F(xiàn)max=0.9，CRi，1為第一代交叉因子，CRi，G為第G代交叉因子。

3.2 異構(gòu)型分布式陣列優(yōu)化模型

假設(shè)異構(gòu)型分布式陣列由P個(gè)子陣構(gòu)成，共有n種不同型號(hào)的子陣，每種型號(hào)子陣個(gè)數(shù)為Pn，單個(gè)子陣列是由Mn×Nn個(gè)陣元構(gòu)成的均勻面陣，最大的面陣記為Mmax×Nmax，則異構(gòu)型分布式陣列的總陣元個(gè)數(shù)為子陣內(nèi)相鄰陣元x和y方向的間距dx和dy均為半波長(zhǎng)。俯仰角為θ，方位角為φ。

考慮到待求解問(wèn)題的背景為異構(gòu)型分布式陣列天線(xiàn)，子陣列的結(jié)構(gòu)并不相同，為了使分布式陣列子陣間不存在陣元相互重疊的情況，在優(yōu)化前先規(guī)定陣列的初始位置。為了方便說(shuō)明，令n=2，P1=P2=8，最大的面陣為Mmax×Nmax=M1×N1，優(yōu)化模型如圖2所示。分布式陣列的x方向上陣列口徑為L(zhǎng)x，y方向上陣列口徑為L(zhǎng)y。Dx_min和Dy_min分別為分布式陣列x

圖2 異構(gòu)型分布式陣列優(yōu)化模型

和y方向上的子陣最小間距。首先讓陣列中的子陣都以最小間距進(jìn)行排布，記錄下此時(shí)每個(gè)子陣相位中心的橫縱坐標(biāo)Dx和Dy作為陣列優(yōu)化前的初始位置。偏差間距矢量為ΔDx和ΔDy。由于x和y方向的分布式陣列口徑不超過(guò)Lx和Ly，所以ΔDx和ΔDy應(yīng)滿(mǎn)足0≤ΔDx≤ΔDx_max，0≤ΔDy≤ΔDy_max。其中：

為了使分布式陣列子陣間不存在陣元相互重疊的情況，在x方向上前一個(gè)子陣的偏差間距矢量應(yīng)小于后一個(gè)子陣的偏差間距矢量，這是問(wèn)題約束的關(guān)鍵。但對(duì)于y方向而言并不存在這種約束，因?yàn)樵趚軸方向上不存在重疊關(guān)系，所以面陣必定不重疊。最后可得子陣優(yōu)化后的位置坐標(biāo)為：

為了從物理上保證最大的陣列孔徑，增大陣列的自由度，在矩形區(qū)域的對(duì)角線(xiàn)位置各布設(shè)一個(gè)子陣。所以第一個(gè)子陣的偏差間距矢量為（0，0），最后一個(gè)子陣的偏差間距矢量為(ΔDx_max，ΔDy_max)?？梢园衙總€(gè)子陣的偏差間距矢量作為優(yōu)化對(duì)象，則第G代種群SG為：

式中，L為種群規(guī)模，染色體SGi為：

這里 (ΔDxGl，k，ΔDyGl，k)表示第k個(gè)子陣的偏差間距矢量。在差分進(jìn)化算法中，采用均勻序列生成集合SG。由于本文的目的是降低異構(gòu)型分布式陣列方向圖的峰值旁瓣電平，所以適應(yīng)度函數(shù)為：

整個(gè)算法的流程如圖3所示。

圖3 基于差分進(jìn)化算法的分布式陣列優(yōu)化流程圖

4 仿真實(shí)驗(yàn)

假設(shè)待優(yōu)化的異構(gòu)型分布式陣列有P=16個(gè)子陣，子陣種類(lèi)n=2，每種子陣的個(gè)數(shù)P1=P2=8，第一種子陣的陣元數(shù)目為M1×N1=5×5，第二種子陣的陣元數(shù)目為M2×N2=4×4，陣元間距為半波長(zhǎng)，波長(zhǎng)λ=0.25 m，分布式陣列的總體孔徑大小為L(zhǎng)x×Ly=40λ×40λ。設(shè)置俯仰角和方位角為0°，俯仰和方位掃描范圍為-60°～60°，掃描步長(zhǎng)為 0.1°。接下來(lái)，把異構(gòu)型分布式陣列優(yōu)化前與優(yōu)化后的結(jié)果進(jìn)行比較。

首先進(jìn)行子陣均勻分布時(shí)的異構(gòu)型分布式陣列方向圖仿真。子陣均勻分布時(shí)的異構(gòu)型分布式陣列的陣元位置圖如圖4所示，其歸一化俯仰維/方位維方向圖如圖5所示。

圖4 異構(gòu)型分布式陣列的陣元位置圖

圖5 歸一化俯仰維/方位維方向圖

由圖5可知，子陣均勻分布時(shí)的異構(gòu)型分布式陣列的方向圖存在多個(gè)高旁瓣，而且高旁瓣的幅度接近于主瓣幅度。下面根據(jù)優(yōu)化問(wèn)題，將改進(jìn)的差分進(jìn)化算法中所需參數(shù)設(shè)置為：種群數(shù)量NP=200，最大進(jìn)化代數(shù)Gmax=100，分布式陣列x和y方向上的子陣最小間距Dx_min=Dy_min=1.6λ。其余仿真條件與均勻子陣分布的異構(gòu)型分布式陣列相同。得到優(yōu)化后的陣元位置圖如圖6所示，其歸一化俯仰維/方位維方向圖如圖7所示。

圖6 優(yōu)化后的陣元位置圖

圖7 優(yōu)化后的歸一化俯仰維/方位維方向圖

比較圖5和圖7，不難看出，通過(guò)本文差分進(jìn)化算法優(yōu)化布陣得到的方向圖有效地抑制了峰值旁瓣電平，俯仰維從-0.47 dB下降到了-14.99 dB，方向維從-0.48 dB下降到了-15.14 dB，為工程上的實(shí)際應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。由圖6可知，優(yōu)化后的子陣分布主要沿著對(duì)角線(xiàn)分布，這是為了使二維陣列的俯仰維和方向維的方向圖同時(shí)達(dá)到最優(yōu)，因此在實(shí)際工程應(yīng)用中，應(yīng)盡量選擇對(duì)角線(xiàn)附近不受限制的區(qū)域進(jìn)行布陣。

由于算法本身存在隨機(jī)性，因此為了證明此算法的優(yōu)越性，采用相同的初始化種群，最大進(jìn)化代數(shù)為500，獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)10次后取平均值。圖8為異構(gòu)型分布式陣列分別使用傳統(tǒng)的差分進(jìn)化算法和本文改進(jìn)的差分進(jìn)化算法的峰值旁瓣電平變化曲線(xiàn)。

圖8 異構(gòu)型分布式陣列峰值旁瓣電平變化曲線(xiàn)

仿真結(jié)果表明，當(dāng)采用相同初始化種群即初始峰值副瓣電平為-10.350 1 dB時(shí)，本文改進(jìn)的差分進(jìn)化算法的峰值副瓣電平可以下降到-16.664 0 dB，而傳統(tǒng)的差分進(jìn)化算法只能下降到-13.216 4 dB。除此之外，改進(jìn)的差分進(jìn)化算法的收斂速度也明顯快于傳統(tǒng)的差分進(jìn)化算法。由此可見(jiàn)，本文改進(jìn)的差分進(jìn)化算法，針對(duì)分布式陣列天線(xiàn)方向圖問(wèn)題，相比于傳統(tǒng)的差分進(jìn)化算法擁有更佳的性能表現(xiàn)。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文在傳統(tǒng)的差分進(jìn)化算法上進(jìn)行改進(jìn)，并將其應(yīng)用于異構(gòu)型分布式陣列優(yōu)化中，通過(guò)對(duì)有限的子陣進(jìn)行位置優(yōu)化，有效地抑制分布式陣列的峰值旁瓣電平。本文算法在變異階段將2種變異策略相結(jié)合并且提出了二次變異，保證了算法的高效性并防止算法停滯。在選擇階段進(jìn)一步加強(qiáng)了種群的多樣性，防止算法在后期陷入局部最優(yōu)。最后，使F、CR參數(shù)自適應(yīng)控制，從而使進(jìn)化朝更好的方向發(fā)展。仿真實(shí)驗(yàn)表明了該算法在分布式陣列優(yōu)化問(wèn)題中的有效性和適用性，它不僅能有效地抑制峰值旁瓣電平，而且相比于傳統(tǒng)的差分進(jìn)化算法，全局搜索能力更強(qiáng)、收斂速度更快。