譚瑩瑩，鄭婷婷，郭 冬

（安徽建筑大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，安徽 合肥 230601）

當(dāng)前對(duì)效率進(jìn)行評(píng)價(jià)的主要方法包括投入產(chǎn)出法、模糊綜合評(píng)價(jià)法、隨機(jī)前沿法和數(shù)據(jù)包絡(luò)分析法（Data Envelopment Analysis，DEA）。由于DEA 方法無(wú)須具體的生產(chǎn)函數(shù)形式、無(wú)須對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行量綱處理且無(wú)須預(yù)先主觀設(shè)置權(quán)重，因此近年來(lái)取得了蓬勃發(fā)展并廣泛應(yīng)用于各類效率評(píng)價(jià)領(lǐng)域。

第一個(gè)DEA 模型，即CCR 模型，于1978 年由Charnes 等［1］首先提出。CCR 模型中效率為1 的決策單元（Decision Making Unit，DMU）處于有效前沿面上，被評(píng)價(jià)為有效的，效率小于1 的DMU 被認(rèn)為是無(wú)效的。在CCR 模型下，每個(gè)DMU 都從自身效率最大化出發(fā)選取權(quán)重，獲取的效率值可視為自評(píng)效率，結(jié)果一般導(dǎo)致多個(gè)DMU 被評(píng)價(jià)為有效，不能進(jìn)一步有效區(qū)分。1986 年，Sexton 等［2］將自評(píng)效率和他評(píng)效率相結(jié)合，提出了交叉效率評(píng)價(jià)方法，有效提高了對(duì)各被評(píng)DMU 的辨析能力。

但由于自評(píng)效率中CCR 模型的最優(yōu)權(quán)重通常不唯一，使得計(jì)算出的交叉效率具有隨意性，很多學(xué)者建立了不同的第二目標(biāo)模型解決這個(gè)問(wèn)題。Doyle 等［3］提出了仁慈型和激進(jìn)型交叉效率，通過(guò)最大化和最小化對(duì)同行的評(píng)價(jià)確定相應(yīng)的權(quán)重和交叉效率值，進(jìn)而可以對(duì)所有DMU 排序。Liang等［4］提出的博弈型交叉效率，在滿足自我評(píng)價(jià)最大化的前提，盡可能最小化敵方的效率值同時(shí)最大化友方的效率值，以確定其交叉效率的權(quán)重。Wang 等［5］提出了中性交叉效率進(jìn)行交叉效率評(píng)價(jià)，通過(guò)盡可能對(duì)自己有利，而不關(guān)心同行的想法確定相應(yīng)的權(quán)重和交叉效率值，并給出相應(yīng)的排序結(jié)果。李學(xué)文等［6］通過(guò)限制有效和非有效的DMU，改進(jìn)傳統(tǒng)的博弈交叉效率，利用施加全局限制的交叉效率模型確定權(quán)重和效率值，進(jìn)一步獲取排序。Shi 等［7］通過(guò)IDMU 和ADMU 定義了理想前沿與非理想前沿，利用其與理想前沿和非理想前沿的偏差確定權(quán)重，以獲取交叉效率值和排序結(jié)果。Kao 等［8］將交叉評(píng)價(jià)的思想引入整體結(jié)構(gòu)，對(duì)串聯(lián)和并聯(lián)結(jié)構(gòu)的效率進(jìn)行衡量，構(gòu)建的模型將整體結(jié)構(gòu)的交叉效率值分解為串聯(lián)結(jié)構(gòu)劃分值的乘積和并聯(lián)結(jié)構(gòu)的加權(quán)平均，并在實(shí)例中進(jìn)行交叉效率評(píng)價(jià)分析。Shi 等［9］在考慮有限理性行為下，將基于區(qū)間參考點(diǎn)的前景理論作為第二目標(biāo)，以確定權(quán)重和交叉效率值，進(jìn)而對(duì)14 家國(guó)際客運(yùn)航空公司進(jìn)行交叉效率分析。Zhu 等［10］提出了當(dāng)被評(píng)價(jià)DMU 處于最優(yōu)時(shí)，將公平理論引入交叉效率的模型以確定權(quán)重，并且提出了兩種非線性模型的解決方法為所提模型求解。Zou 等［11］利用標(biāo)準(zhǔn)化的歐式距離定義判別冪和度量個(gè)體偏好與群體理想偏好的偏差度，由此提出比較交叉效率多個(gè)最優(yōu)解的方法，并構(gòu)建通用加權(quán)交叉效率模型以評(píng)價(jià)和排序。

通過(guò)理想決策單元（Ideal DMU，IDMU）和非理想決策單元（Anti-ideal DMU，ADMU）引入理想前沿線和非理想前沿線，進(jìn)而最小化各DMU 與理想前沿線的最大距離，最大化各DMU 與非理想前沿線的最小距離以及最小化各DMU 與理想前沿線的最大距離的同時(shí)最大化它們與非理想前沿線的最小距離，以此設(shè)立第二目標(biāo)確定投入產(chǎn)出權(quán)重和交叉效率值。利用建立的三類模型對(duì)14 家國(guó)際客運(yùn)航空公司進(jìn)行分析，并與傳統(tǒng)交叉效率進(jìn)行比較。

1 傳統(tǒng)交叉效率評(píng)價(jià)方法

1.1 CCR 模型

設(shè)有n個(gè)被評(píng)價(jià)DMU，每個(gè)DMU 消耗m種不同投入，生產(chǎn)s種不同產(chǎn)出。記xij為第j個(gè)DMU的第i種投入，yrj為第j個(gè)DMU 的第r種產(chǎn)出。

1.2 傳統(tǒng)交叉效率評(píng)價(jià)模型

可獲得DMUk對(duì)DMUj的一個(gè)交叉效率，反映了DMUk對(duì)DMUj（j=1，2，…，n）的同行評(píng)價(jià)，即他評(píng)效率。DMUj的自評(píng)效率和（n-1）個(gè)交叉效率相結(jié)合可得DMUj的平均交叉效率，具體如表1所示。

表1 交叉效率表Tab.1 Cross-efficiency matrix

1.3 激進(jìn)型交叉效率、仁慈型交叉效率和中性交叉效率

由于模型（1）通常有多個(gè)最優(yōu)解，使得由（2）計(jì)算出的交叉效率具有隨意性。為此，Doyle andGreen［3］提出了廣為人知的激進(jìn)型和仁慈型交叉效率模型：

其中，θkk*為模型（1）確定的DMUk自評(píng)的最優(yōu)值。

模型（3）稱為激進(jìn)型交叉效率模型，DMUk在保持CCR 效率不變的情況下，最小化同行交叉效率；模型（4）稱為仁慈型交叉效率模型，DMUk在保持CCR 效率不變的情形下，最大化同行交叉效率。

2010 年，Wang 等［5］認(rèn)為DMU 有機(jī)會(huì)確定投入產(chǎn)出權(quán)重時(shí)，只會(huì)盡可能選擇對(duì)自身有利的，不會(huì)過(guò)度在意對(duì)其他DMU 是仁慈還是激進(jìn)。他們提出了一個(gè)最大化各產(chǎn)出效率的中性交叉效率模型：

2 基于理想前沿與非理想前沿的交叉效率

2.1 理性前沿與非理想前沿

和

2.2 基于到理想前沿和非理想前沿的距離偏差的交叉效率評(píng)價(jià)

2.2.1 基于到理想前沿偏差的交叉效率模型

設(shè)DMUj與理想前沿的偏差為dIj：

其中，θIDMU為模型（6）的最優(yōu)解。

模型（8）中第一個(gè)限制條件是保持DMUk的CCR 最優(yōu)效率，第二個(gè)限制條件是保持所有決策單元效率小于等于1，第三個(gè)限制條件是其他DMU與理想前沿線的距離小于最大偏差。模型（8）通過(guò)最小化其他DMU 與理想前沿線之間的最大距離，可確定唯一一組最優(yōu)權(quán)重。

2.2.2 基于到非理想前沿偏差的交叉效率模型

? The European Union，“Consolidated Versions of The Treaty on European Union and The Treaty on The Functioning of The European Union”，Official Journal of the European Union，Volume 53，C 83，p．91．

設(shè)DMUj與非理想前沿的偏差為dAj：

其中，θADMU為模型（6）的最優(yōu)解。

模型（9）中第三個(gè)限制條件是其他DMU 與非理想前沿線的距離大于最小偏差。模型（9）通過(guò)最大化其他DMU 與非理想前沿線之間的最大距離，可確定唯一一組最優(yōu)權(quán)重。

2.2.3 基于同時(shí)到理想前沿偏差和和非理想前沿偏差的交叉效率（以下簡(jiǎn)稱基于二者）

當(dāng)同時(shí)以理想前沿線和非理想前沿線作為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，保持被評(píng)DMUk滿足CCR 最優(yōu)效率，要求其他DMU 到理想前沿線的偏差越小越好，同時(shí)到非理想前沿線的偏差越大越好。由此建立如下模型：

模型（10）中第三個(gè)限制條件是其他DMU 與理想前沿線的距離小于最大偏差，第四個(gè)限制條件是其他DMU與非理想前沿線的距離大于最小偏差。模型（10）通過(guò)最小化其他DMU 與理想前沿線之間距離的同時(shí)，最大化其他DMU 與非理想前沿線之間的最大距離，可確定唯一一組最優(yōu)權(quán)重。

3 實(shí)例

表2 14 家國(guó)際客運(yùn)航空公司的投入、產(chǎn)出和CCR 效率值Tab.2 Input，output and CCR efficiency of 14 international passenger airlines

表3、表4 和 表5 分 別 為 基 于IDMU、基 于ADMU 和基于二者三類交叉效率模型確定的權(quán)重。

表3 基于IDMU 模型確定的權(quán)重Tab.3 Weights based on IDMU model

表4 基于ADMU 模型確定的權(quán)重Tab.4 Weights based on ADMU model

表5 基于二者模型確定的權(quán)重Tab.5 Weights based on IDMU and ADMU models

由三個(gè)表可以看出，一部分DMU 的權(quán)重在三類模型中是相同的，如DMU1，但是另一部分DMU的權(quán)重在三類模型中是不同的：對(duì)于DMU5，在基于IDMU 和基于ADMU 兩個(gè)模型中的權(quán)重存在差異；對(duì)于DMU11，在基于ADMU 和基于二者兩個(gè)模型中的權(quán)重存在差異；對(duì)于DMU14，在三類模型中權(quán)重各不相同。

表6 為本文所提三類交叉效率評(píng)價(jià)方法和經(jīng)典的交叉效率評(píng)價(jià)方法對(duì)14 家國(guó)際客運(yùn)航空公司評(píng)價(jià)的效率值。其中，經(jīng)典交叉效率為激進(jìn)型交叉效率、仁慈型交叉效率［3］和由Wang 等［5］提出的中性交叉效率。

表6 本文交叉效率值和激進(jìn)型、仁慈型、中性交叉效率值Tab.6 Cross-efficiency value of this paper and aggressive，benevolent and neutral cross-efficiency values

表6 中第二列至第四列為本文交叉效率值由模型（8）、（9）和（10）所得，第五列和第六列是由模型（3）、（4）和（5）所得。由表6 看出本文交叉效率評(píng)價(jià)方法中，基于二者模型的效率值處于基于理想前沿與基于非理想前沿兩個(gè)效率值之間，在經(jīng)典交叉效率評(píng)價(jià)方法中，中性交叉效率處于激進(jìn)型和仁慈型效率值之間，且所有模型中最小效率均為DMU2。

圖1顯示的是表6中第二列至第七列的效率值。由圖1 可觀察到，三類模型的效率值在激進(jìn)型和仁慈型的效率之間，且五個(gè)模型的效率比較接近，差異不大，而在DMU7至DMU13中，其他四個(gè)模型的效率值與激進(jìn)型效率值之間差距相對(duì)較大。

圖1 本文交叉效率值和激進(jìn)型、仁慈型、中性交叉效率值Fig.1 Cross-efficiency value of this paper and aggressive,benevolent, neutral cross-efficiency values

基于理想前沿和基于二者兩個(gè)模型與基于非理想前沿和中性交叉效率兩個(gè)模型在DMU3至DMU6的效率存在較為明顯的差距，其余的DMU之間的交叉效率值非常接近，僅存在微小不同。

表7 為本文交叉效率和經(jīng)典交叉效率的排名，其中，第二列至第四列為本文交叉效率排名，第五列至第七列為經(jīng)典交叉效率排名。由表7 發(fā)現(xiàn)，分別以理想前沿和非理想前沿為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，僅DMU9、DMU10和DMU14的排名差距較大，其他DMU 排名差距不大。而觀察基于二者與基于理想前沿的模型可知，各DMU 的排名較為接近，與基于非理想前沿模型對(duì)比時(shí)大部分DMU 的排名均不同，且相差較大。

表7 本文交叉排序和激進(jìn)型、仁慈型、中性交叉排序Tab.7 Orders of cross-efficiency in this paper and aggressive，benevolent and neutral cross-efficiencies

圖2 為表7 第二至七列所獲。由圖2 可見(jiàn)，三類模型與激進(jìn)型和仁慈型的交叉效率排名比較接近，但DMU8和DMU14與基于非理想前沿的排名存在明顯差異。三類模型與中性交叉效率排序相比，DMU2的排名相同，其余決策單元與基于理想前沿和基于二者的排名存在差異，但差異較小，與基于非理想前沿相比時(shí)，大部分DMU 與其存在差異，在DMU5和 DMU11上差異明顯。

圖2 本文交叉效率模型排序和激進(jìn)型、仁慈型、中性交叉效率排序Fig.2 Orders of cross-efficiency in this paper and aggressive, benevolent, neutral cross-efficiency

4 結(jié)論

交叉效率評(píng)價(jià)方法是比較和排序決策單元的一種有效手段，本文以理想前沿線與非理想前沿線為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，通過(guò)最小化DMU 與理想前沿線的最大偏差，或最大化DMU 與非理想前沿線的最小偏差，或結(jié)合二者建立相應(yīng)模型確定一組最優(yōu)投入產(chǎn)出權(quán)重，可對(duì)所有DMU 進(jìn)行評(píng)價(jià)和排序。本文方法提高了傳統(tǒng)DEA 模型的辨析能力。

從算例結(jié)果可見(jiàn)，與經(jīng)典交叉模型相較，本文所提三類模型得出的效率值都在激進(jìn)型和仁慈型效率值之間，縮小了交叉效率評(píng)價(jià)區(qū)間的長(zhǎng)度，有效提高了效率評(píng)價(jià)的精度；基于理想前沿線與基于二者模型得出的效率值與經(jīng)典交叉效率值比較接近，基于非理想前沿線模型得出的效率值與經(jīng)典交叉效率值存在明顯差距。因此，本文方法可以反映DMU 之間的績(jī)效和特點(diǎn)，是一種有效、實(shí)用的交叉效率評(píng)價(jià)方法，能提供有價(jià)值的決策參考。