莊芹

三角函數(shù)的概念是高中數(shù)學(xué)的難點之一，是高中繼指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)之后學(xué)習(xí)的函數(shù)，是函數(shù)的一個下位概念。它是一種重要的基本初等函數(shù)，既是解決實際問題的重要工具，也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中其他知識的基礎(chǔ)。本文是筆者將講授三角函數(shù)概念的整體思路與過程整理而成的內(nèi)容。

一、教學(xué)內(nèi)容

（一）內(nèi)容分析

本節(jié)課是《三角函數(shù)》一章的概念課，具有核心地位，起著統(tǒng)領(lǐng)全局的作用。在此之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù)、任意角和弧度制，初中也對三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）有了一定的了解。這些都為本節(jié)課的學(xué)習(xí)提供了知識準備。本節(jié)將學(xué)習(xí)任意角三角函數(shù)的概念和表示。借用單位圓直觀地表示三角函數(shù)的對應(yīng)值。本節(jié)課與學(xué)生以往的經(jīng)驗有很大不同，認識上必須破除思維定式，幫助學(xué)生弄清三角函數(shù)的“三要素”，特別是要先明確“給定一個角，如何得到對應(yīng)的函數(shù)值”的操作過程，然后再給定義。這是在一般函數(shù)概念引導(dǎo)下的“下位學(xué)習(xí)”，不僅使三角函數(shù)概念的引入水到渠成，而且由三角函數(shù)對應(yīng)關(guān)系的獨特性，可以使學(xué)生再一次認識函數(shù)的本質(zhì)。

（二）課標要求

借助單位圓理解任意角的正弦、余弦、正切的定義。

（三）學(xué)習(xí)目標

1.知道三角函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界中有“周而復(fù)始”變化規(guī)律現(xiàn)象的數(shù)學(xué)工具。能通過借用單位圓上的點的運動，建立一個數(shù)學(xué)模型，刻畫點P的位置變化情況。能知道在直角坐標系下，建立函數(shù)模型。

2.能分析出單位圓上點的旋轉(zhuǎn)中涉及的量及其相互關(guān)系，體會函數(shù)概念引導(dǎo)下的“下位學(xué)習(xí)”。

3.通過自主探究，感知任意角三角函數(shù)的概念和初中銳角三角函數(shù)定義的相通性，體會到學(xué)習(xí)的知識是螺旋上升的。

4.能根據(jù)三角函數(shù)的概念求出給定角的三角函數(shù)值。掌握求任意角三角函數(shù)一般方法。

5.通過探究了解任意角三角函數(shù)的另外一種定義，能在已知角終邊上任意一點坐標的情況下，求出角的各三角函數(shù)。

6.通過探究三角函數(shù)概念獨特的生成過程，體會數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運算的基本核心素養(yǎng)。

（四）教學(xué)重點

本節(jié)的重點是利用單位圓模型理解任意角三角函數(shù)概念的形成過程。

二、教學(xué)過程

（一）課前準備

引導(dǎo)學(xué)生回顧函數(shù)的定義，函數(shù)的表示法：

一般地，設(shè)A，B是非空的實數(shù)集，如果對于集合A中的任意一個數(shù)x，按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y=（f x），x∈A。

其中，x叫作自變量，x的取值范圍A叫作函數(shù)的定義域。與x的值相對應(yīng)的y值叫作函數(shù)值，集合{ f（x）|x∈A}叫作函數(shù)的值域。

（二）課中學(xué)習(xí)

1.創(chuàng)設(shè)情境，明確背景

引導(dǎo)語：現(xiàn)實世界中的許多運動、變化都有著循環(huán)往復(fù)、周而復(fù)始的規(guī)律，這種變化規(guī)律被稱為周期性。例如：地球自轉(zhuǎn)引起的晝夜交替變化和公轉(zhuǎn)引起的四季交替變化、月亮圓缺、潮汐變化，物體做著勻速圓周運動時的位置變化，物體做著簡諧振動時的唯一變化，交變電流變化等。

提出問題：勻速圓周運動是現(xiàn)實生活中周期現(xiàn)象的代表，在前面的學(xué)習(xí)中，我們知道函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，那么勻速圓周運動的規(guī)律該用什么函數(shù)模型刻畫呢？

學(xué)習(xí)任務(wù)：單位圓上的點P以A 為起點，做逆時針方向旋轉(zhuǎn)，建立一個函數(shù)模型，刻畫點P的位置變化情況。

思考1：單位圓上點P以A 為起點，做逆時針方向的旋轉(zhuǎn)，在把角的范圍推廣到任意角，并在弧度制下把角推廣到全體實數(shù)后，怎樣刻畫點P的位置變化？（檢測學(xué)習(xí)目標1）

如圖1，以單位圓的圓心O為原點，以射線O住為x軸的非負半軸，建立直角坐標系，點A的坐標為蓸1，0 蔀，點P的坐標為蓸x，y蔀，射線O住從x軸的非負半軸開始，繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角琢，終止位置為OP。

2.分析具體事例，歸納共同特征

思考2：當角琢確定，它的終邊與單位圓的交點P確定嗎？點P的坐標確定嗎？（檢測學(xué)習(xí)目標2）

問題1：當α=π/6 時，點P的坐標是什么？（檢測學(xué)習(xí)目標2）

問題2：當α=π/2 或2π/3 時，點P的坐標又是什么？

思考3：你所求出的這三個角的坐標，它們是唯一確定的嗎？（檢測學(xué)習(xí)目標2）

引導(dǎo)學(xué)生把這個問題推廣到更一般的情形，角的范圍是任意角。

向?qū)W生提出問題：一般地，任意給定一個角琢，它的終邊莊P與單位圓交點P的坐標能唯一確定嗎？（教師通過幾何畫板進行動態(tài)展示）（檢測學(xué)習(xí)目標2）

追問：你能用函數(shù)的語言來刻畫這種對應(yīng)關(guān)系嗎？

對于R中的任意一個角琢，它唯一對應(yīng)一個終邊位置OP，唯一對應(yīng)一個與單位圓的交點P蓸x，y 蔀，無論是橫坐標x，還是縱坐標y，都是唯一確定。

這有兩個對應(yīng)關(guān)系：

f：實數(shù)a（弧度）對應(yīng)于點P的縱坐標y；

g：實數(shù)a（弧度）對應(yīng)于點P的橫坐標x。

根據(jù)上述分析：

f：R→［-1，1］和g：R→［-1，1］都是從集合R到集合［-1，1］的函數(shù)。

設(shè)α是一個任意角，α∈R，它的終邊OP與單位圓相交于點P（x，y）。

（1）把點P的縱坐標y叫作琢的正弦函數(shù)，記作sinα，即y=sinα。

（2）把點P的橫坐標x叫作α的余弦函數(shù)，記作cosα，即x=cosα。

（3）把點P的縱坐標與橫坐標比值y/x叫作P的正切函數(shù)，記作tanα，即y/x=tanα（x≠0）。

思考：這里給出的正切，是不是也是函數(shù)？（檢測學(xué)習(xí)目標2）

可以看出，當α=π/2+kπ（k∈Z）時，α的終邊落在了y軸上，這時點P的橫坐標等于0，所以yx=tanα無意義。除此之外，對于確定的角α，y/x的值也是唯一確定的。所以y/x=tanα（x≠0）也是以角為自變量，以單位圓上點的縱坐標與橫坐標的比值y/x為函數(shù)值的函數(shù)，稱為正切函數(shù)。

故正弦、余弦和正切函數(shù)都是以角為自變量，以單位圓上點的坐標或坐標比值為函數(shù)值的函數(shù)。我們將正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)，通常將它們記為：

正弦函數(shù)：y=sin x，x∈R

余弦函數(shù)：y=cos x，x∈R

正切函數(shù)：y=tan x，{x|x≠kπ+π/2?，k∈Z}

3.任意角三角函數(shù)與銳角三角函數(shù)的聯(lián)系

在初中時已經(jīng)學(xué)了銳角三角函數(shù)，知道它們都是以銳角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)。設(shè)x∈（0，π/2），把按銳角三角函數(shù)定義求得的銳角x的正弦記z1，并把按本節(jié)三角函數(shù)定義求得的x的正弦記為y1。那么z1與y1相等嗎？對于余弦、正切也有相同的結(jié)論嗎？

課堂上學(xué)生只要證明出正弦即可，余弦和正切的推導(dǎo)可讓學(xué)生課后再進行。

【設(shè)計意圖】建立銳角三角函數(shù)和任意角三角函數(shù)的聯(lián)系，使學(xué)生體會兩個定義的和諧性。明白我們所學(xué)的知識是螺旋上升的。

4.任意角三角函數(shù)概念的初步應(yīng)用

例1：如圖2，求5π/3正弦、余弦和正切值。（檢測學(xué)習(xí)目標4）解：在坐標系中作出∠AOB= 5π/3，易知：

如何求α角的三角函數(shù)值？

可借助解直角三角形求得琢終邊與單位圓交點的坐標，再通過三角函數(shù)的定義求出琢的三角函數(shù)值。

例2：如圖3，設(shè)α是一個任意角，它的終邊上任意一點（不與原點O重合）的坐標為（x，y），點P原點的距離為r。求證：sinα= y/r，cosα= x/r，tanα= y/x。（檢測學(xué)習(xí)目標5）

證明：如圖4，設(shè)α的終邊與單位圓交于點P0（x0，y?0），分別過點P，P0作x軸的垂線PM，P0M0，垂足分別為M，M0，則：

|P0M0| =| y0|，|PM|=| y |，|OM0 |=| x0 |，|OM |=| y0 |，△OMP ∽△OM0P0，所以：|P0M0|/1=|PM|/r ，即|y0|=|y|/r，因為y0和y同號，所以y0= y/r，所以sinα=y0= y/r；同理：cosα= x/r，tanα= y/x。

追問1：例2實際上給出了任意角三角函數(shù)的另外一種定義，而且這種定義與已有的定義是等價的，你能用嚴格的數(shù)學(xué)語言敘述一下這種定義嗎？

一般地，對于任意角α，角α終邊上任意一點P的坐標為（x，y ），它到原點O的距離為：

顯然，任意角琢的三角函數(shù)值不會隨終邊上的點P的位置變化而變化。

5.引導(dǎo)學(xué)生進行課后反思

本節(jié)內(nèi)容你獲得的核心知識有哪些？能自主梳理出本節(jié)知識體系嗎？你是通過什么方法和策略學(xué)會本節(jié)內(nèi)容的？你覺得還有什么內(nèi)容比較薄弱，需要老師提供何種幫助？你還有什么好的經(jīng)驗跟大家分享？

三、教材處理的探索

從教材的修訂看，三角函數(shù)概念的教學(xué)經(jīng)歷了三個階段：

第一階段是由初中銳角三角函數(shù)引入，再在直角坐標系中研究銳角三角函數(shù)，用終邊上的點的坐標比值定義三角函數(shù)。

第二階段由初中銳角三角函數(shù)引入，再在直角坐標系中研究銳角三角函數(shù)，用終邊與單位圓交點的橫坐標及比值定義。

第三階段是在單位圓中抽象對應(yīng)關(guān)系，在函數(shù)概念指引下用終邊與單位圓交點的橫坐標及比值定義三角函數(shù)。

可以看出，數(shù)學(xué)核心概念的理解是循序漸進、逐步完善的過程。