楊盛慶,陳筠力,鐘超,劉艷陽,王文妍

1.上海航天控制技術研究所,上海 201109 2.上海市空間智能控制技術重點實驗室,上海 201109 3.上海航天技術研究院,上海 201109 4.上海衛(wèi)星工程研究所,上海 201109

1 引言

21世紀以來,衛(wèi)星編隊的理論研究和技術領域經(jīng)歷了蓬勃快速的發(fā)展。目前,國內外均有長期自主控制的編隊衛(wèi)星發(fā)射入軌。在軌運行的編隊衛(wèi)星中,主要以雙星編隊為主,進行合成孔徑雷達(SAR)載荷的干涉成像[1]。隨著人們對分布式SAR快速測繪、三維成像、動目標檢測等新觀測需求的不斷提出[2],多星編隊已成為衛(wèi)星編隊領域的熱點,多星編隊形成的多通道、多基線是實現(xiàn)高分辨率寬測繪帶(high-resolution and wide-swath,HRWS)的有效途徑。以TanDEM-X為例,TanDEM-X衛(wèi)星搭配TerraSAR-X衛(wèi)星形成雙星編隊開展合成孔徑雷達干涉(interferometric SAR,InSAR)成像。該系統(tǒng)在軌分別采用了45m和30m模糊高度進行兩輪地面高程測量(每輪用時一年),通過中國余數(shù)定理解決全球干涉相位解纏繞問題。如果采用多星編隊,可同時獲取45m和30m模糊高度的InSAR數(shù)據(jù),快速實現(xiàn)地面高程測量。因此,多星編隊構型優(yōu)化設計與控制是未來分布式SAR衛(wèi)星的重要研究方向之一。

衛(wèi)星編隊研究開展伊始,主要圍繞相對動力學模型的構造。基于等半長軸和小偏心率的假設,構造以參考衛(wèi)星為動坐標系原點的Hill方程,Hill方程具有經(jīng)典的CW方程形式的解析解。由CW方程可以直觀地得到軌道面內橢圓運動、軌道面外簡諧運動的相對運動特征。同時,為了提高相對運動方程進行軌道積分的有效性,文獻[3]提出了改進型Hill方程和Hill方程的精確模型形式。但需要指出的是,Hill方程使用的Hill坐標參數(shù)以軌道周期變化,其時域解析形式的幾何意義不夠清晰。文獻[4-5]利用空間幾何關系,給出了使用相對軌道參數(shù)與Hill坐標的轉換關系,并分析了攝動環(huán)境下相對軌道參數(shù)的變化規(guī)律。相對軌道參數(shù)的變化剝離了周期特性,由其刻畫的構型參數(shù)變化穩(wěn)定。目前,該方法成功應用在了PRISMA[6-7]、TanDEM-X[8-9]和天繪二號[10-12]等衛(wèi)星編隊的任務之上。但隨著未來衛(wèi)星編隊中個體數(shù)量的逐漸增多,個體之間將出現(xiàn)同構和異構特征[13]。其中,異構多星編隊內衛(wèi)星間相對運動差異更大,編隊控制的難度也將更大。衛(wèi)星編隊在軌長期自主控制的一項重要工作是編隊構型保持,即形成空間中穩(wěn)定的載荷測量基線,支撐對地觀測的任務規(guī)劃。文獻[14-16]討論了空間基線和載荷測量基線的關系,給出了保障InSAR成像需求的編隊構型參數(shù)設計方法。多星編隊的基礎是相對運動構型參數(shù)設計,即滿足多星相對運動耦合條件下的安全性要求,同時滿足載荷測量基線的工作要求。因此,本文基于Hill坐標和三角函數(shù)公式分析了多星編隊中任意兩星的相對運動特征,給出了編隊構型參數(shù)中軌道面內角度的設計依據(jù)。結合構型參數(shù)和載荷測量基線定義不難發(fā)現(xiàn),對于確定的視線角,最大有效基線的峰值僅一處。考慮到軌道面外構型的長期穩(wěn)定,采用等傾角設計。編隊構型參數(shù)中軌道面外參數(shù)的可取值空間較小。理論上,單主星加雙輔星的組合能夠實現(xiàn)最大有效基線組合。隨著輔星數(shù)量的增多,編隊構型參數(shù)中軌道面內角度需要考慮峰值附近的折中取值來保障多星的星間相位差?；谏鲜隼碚摲治?本文提出了多星編隊最大有效基線組合的構型參數(shù)設計方法。

編隊構型保持可以分為軌道面內構型保持和軌道面外構型保持。其中,軌道面外的構型漂移主要由于日月三體攝動、不同軌道高度下J2項攝動和太陽光壓攝動長期累積造成,控制周期較長。軌道面內的構型漂移主要由于J2項攝動和大氣阻力的長期影響[17]。J2項攝動使相對軌道參數(shù)中的相對偏心率矢量產生一個長周期的變化[18]。大氣阻力攝動下,星間的面質比差異則會導致不同的軌道衰減速率,產生星間的平均半長軸偏差,進而產生相對運動中心在沿跡向的漂移[19]。經(jīng)典的軌道面內構型保持采用半長軸偏差、沿跡向漂移、偏心率矢量的三脈沖能量最優(yōu)的聯(lián)合調整策略[20-21],適用于配置化學推進系統(tǒng)的衛(wèi)星編隊任務。

編隊控制的結構,需要根據(jù)不同編隊的相對運動特性進行設計。同構的衛(wèi)星編隊,相對運動的系統(tǒng)性偏差較小,可以采用虛擬構型或者分布式一致性控制[22],編隊控制能夠使相對運動趨于編隊中衰減率最小的衛(wèi)星?，F(xiàn)有的編隊構型保持控制方法,主要針對同構編隊,控制目標為輔星相對主星的零偏狀態(tài)?？紤]到衛(wèi)星編隊中不同衛(wèi)星可能存在的功能差異以及生產和發(fā)射成本的控制,需要考慮異構編隊的情況。異構的衛(wèi)星編隊,相對運動的系統(tǒng)性偏差則不容忽視。由于J2項攝動和日月三體引力為保守力,星間的差異較小。多星編隊中的異構主要是大氣阻力攝動作用下的星間面質比差異,及由此產生的相對運動偏差。異構的多星編隊可以采用主從式結構控制。一般來講,由于體積和面積的關系,主星一般為編隊中較大的衛(wèi)星(面質比較小)。輔星圍繞主星執(zhí)行編隊構型保持控制,異構編隊中采用主從式控制本質上能趨于最小控制代價。考慮到從星相對于主星的衰減較快,本文考慮采用偏置控制方式來實現(xiàn)多星編隊的構型保持。

本文針對多星編隊的相對運動問題,提出了基于Hill坐標和三角函數(shù)公式的多星相對運動分析方法。基于SAR載荷測量基線定義,提出了實現(xiàn)最大有效基線組合的編隊構型參數(shù)的設計方法。通過分析J2項攝動和大氣阻力攝動的長期影響,提出了多星編隊的主從形式脈沖偏置控制,能夠實現(xiàn)異構多星編隊的編隊構型保持。

2 軌道動力學原理

2.1 相對運動方程

式中:n為軌道角速度;u為主星的緯度幅角;Δa為星間的半長軸偏差。

編隊構型參數(shù)到Hill坐標的轉換關系滿足[11]

2.2 相對運動的軌道擬平根數(shù)

定義相對軌道擬平根數(shù)Δe,Δi及其分量Δex,Δey,Δix,Δiy,滿足:

編隊構型參數(shù)的相對軌道擬平根數(shù)表述滿足[11]:

2.3 多星編隊與從星相對運動

基于Hill坐標和三角函數(shù)公式分析多星編隊的相對運動特征。為了便于理解,下文中Hill坐標系略去前文所使用的下標H,下標用于區(qū)別衛(wèi)星序號。

假設Sat1為主星,主從星之間的構型幾何尺度參數(shù)p,s相同。因此,在Sat1的Hill坐標系下,Sati和Satj之間的三軸相對位置滿足公式(1)。

(1)

通過計算可以得到,任意兩星間軌道面內的相對運動方程滿足公式(2)。

(2)

由上式可以推導得到,任意兩星之間軌道面內的相對運動為周期性橢圓運動,橢圓的尺度與主從星的構型幾何尺度參數(shù)p、相位角偏差θj1-θi1有關。

為了滿足軌道面外構型的長期穩(wěn)定,采用等傾角設計,即要求φ取值在90°或270°附近。

圖1 軌道面內兩種不同分布的四星編隊構型Fig.1 Configuration of four satellites formation in orbit plane

2.4 多星編隊的有效基線

定義Hill坐標下視線角為高低角αT,載荷測量的目標視線單位矢量滿足公式(3)。

nT=(-sinaT,0,cosaT)T

(3)

結合空間基線B=(xH,yH,zH)T,B⊥=(xH,0,zH)T,矢量之間的夾角滿足公式(4)。

(4)

如圖2所示,載荷測量的有效基線長度滿足公式(5)。

(5)

圖2 有效基線的定義Fig.2 Illumination of effective baseline

根據(jù)有效基線定義,有效基線長度是關于p,s,u,θ,φ的多變量函數(shù)。根據(jù)不同組合的仿真情況,可以觀察到在固定組合下,θ在[0,2π]區(qū)間內的峰值僅一處。為保證從星之間按順序增長的120°相位角差,設計如表1所示的編隊構型參數(shù),盡可能使從星形成的有效基線盡可能的長。如圖3所示,在不同的緯度幅角位置,不同的從星能夠與主星形成不同有效基線長度,進行HRWS SAR測量。

表1 多星編隊構型參數(shù)

圖3 編隊形成的有效基線隨時間變化情況Fig.3 Transformation of effective baselines in formation

圖4為表征軌道面內相對運動特征的Hill坐標系XHOYH平面分量的時序變化圖,Hill坐標系以主星Sat1為坐標系原點,圖中的黃線為采樣時刻從星之間的連線。

圖4 四星編隊在軌道面內的相對運動特性Fig.4 Configuration transformation of four satellites formation in orbit plane

如前文所述,為了滿足軌道面外構型的長期自穩(wěn)定,要求φ取值在90°或270°附近。圖5中載荷視線角的高低角取30°或60°兩種不同的值,

圖5 不同組合條件下的有效基線仿真情況(波峰/波谷情況隨aT變化)Fig.5 Simulations of effective baselines under different parameters (wave top and bottom versus aT)

可以發(fā)現(xiàn)最大有效基線的長度與軌道面內的相位角有關。當φ=90°時,僅有θ=360°一個峰值。當φ=270°時,僅有θ=180°一個峰值。因此,當編隊內有兩個從星時,可以設置軌道面內和軌道面外的相位參數(shù)組合(φ=90°,θ=360°),(φ=270°,θ=180°)。當編隊內從星多于兩個時,則無法使每顆從星獲得理論上的最大有效基線。以具有三顆從星的衛(wèi)星編隊為例,如表1所示取一顆從星(φ=270°,θ=180°),另兩顆從星的軌道面內相位參數(shù)需要折中考慮,在θ=360°兩邊取值60°或300°。在有效基線的組合最大化的同時,使三顆從星之間的軌道面內相位差均勻取值120°。

3 攝動下的編隊相對運動

3.1 J2項作用下的長期相對運動

J2項作用下,相對軌道根數(shù)的變化率如下[18]:

式中:

J2為地球非球形引力場的J2項系數(shù);Re為地球半徑;e為偏心率。

對編隊構型參數(shù)的面內角度求導得到其變化率如式(6)所示,并估計一天的累積變化量Δθ。

(6)

假設相對偏心率矢量初值取值為:

Δex(t0)=Δex0,Δey(t0)=Δey0

求解微分方程組,可以得到相對偏心率矢量的解析解滿足公式(7)。

(7)

3.2 大氣阻力對編隊運動的影響

大氣阻力對編隊運動的影響體現(xiàn)為衛(wèi)星之間不同面質比所引起的軌道衰減偏差,進而產生沿跡向的偏差,疊加到橢圓相對運動軌跡之上。

近地軌道上,大氣阻力是改變軌道運動的一項重要非保守力攝動,由其引起的攝動加速度為:

式中:CD為大氣阻力系數(shù);A為迎風面積;m為衛(wèi)星質量;ρ為大氣密度;v為衛(wèi)星的運動速度。

大氣阻力主要是由大氣分子撞擊衛(wèi)星表面所吸收的能量引起?？紤]衛(wèi)星的立體模型,一般為對稱結構,軌道徑向和法向的大氣阻力基本呈力平衡狀態(tài)。因此,大氣阻力主要體現(xiàn)軌道面內沿跡向的累積效應。地面進行軌道積分仿真時,需要注意衛(wèi)星的運動速度v、大氣攝動加速度aair_drag所處的坐標系,需要在慣性系和軌道系之間轉換。

簡單的大氣密度可采用指數(shù)模型[17]。

式中:ρ0為參考點大氣密度;R0為參考點的地心距;H為密度標高。此外,還可以通過查大氣密度表,并結合實際軌道高度進行擬合插值得到大氣密度。

以600km軌道高度為例,取平均大氣密度約為ρ=1.62×10-13kg/m3。取CD=2.2,如式(8)所示估計軌道平均半長軸的衰減率。

(8)

由面質比差異引起的半長軸偏差的變化率滿足公式(9)。

(9)

考慮面質比如表2所示的異構多星編隊,以Sat1和Sat2為例,日均衰減偏差δΔaday為4.9m/d。

表2 大氣阻力相關參數(shù)與示例軌道的日衰減

由于大氣阻力主要在軌道面內,因此由大氣阻力產生的相對偏心率矢量的平均變化率可以表示為:

(10)

以Sat1和Sat2參數(shù)為例分析,式(10)中cosu,sinu為關于緯度幅角的三角周期函數(shù),關于軌道周期積分為零。因此,大氣阻力攝動簡化為:

假設從星的軌道控制采用20mN的電推進系統(tǒng)。由不同攝動源引起的相對偏心率的變化率如表3所示。相對于J2項攝動,大氣阻力攝動對相對偏心率矢量的影響可以忽略。

需要說明的是,面質比差異和大氣阻力造成的軌道高度不一致結合地球非球形引力場的J2項攝動,會產生軌道升交點赤經(jīng)的差異。該項差異對應相對軌道傾角矢量的變化,形成軌道面外的相對運動。本文設計的偏置控制方法,可以實現(xiàn)控制周期內異構衛(wèi)星之間平均半長軸基本一致。因此,由J2項攝動和大氣阻力引起的面外相對運動具有周期性且累積量較小。

表3 不同外力源對相對偏心率矢量變化的影響

4 多星編隊的控制方法

4.1 半長軸偏差與沿跡向漂移的運動特征

軌道的半長軸不是一個直接測量的物理量,而是軌道能量的一種表征,在軌受攝動影響存在波動。剝離短周期項而得到的半長軸平根仍具有一定振幅的周期性波動。

星間的半長軸偏差可以理解為沿跡向漂移的變化速率,是沿跡向漂移相關的統(tǒng)計量。由半長軸偏差導致的軌道角速度偏差滿足公式(11):

(11)

由軌道角速度偏差累積的沿跡向漂移滿足公式(12):

(12)

因此,半長軸偏差與沿跡向漂移率滿足:

半個軌道周期內,由半長軸偏差產生的沿跡向漂移量滿足:

4.2 軌道的脈沖控制效應

對于小偏心率軌道,軌道運動的高斯攝動方程可以簡化,并由此衍生得到脈沖推力條件下軌道參數(shù)控制量與速度增量的關系滿足公式(13)。

(13)

式中:ΔvT為軌道面內沿跡向的速度增量。

4.3 脈沖控制率

軌道面內編隊構型保持需要將衛(wèi)星間的相對半長軸Δac、相對偏心率矢量(δΔex,δΔey)、相對相位Δuc控制到目標狀態(tài)。采用三脈沖控制對上述三組相對軌道參數(shù)進行控制,以三次脈沖的控制量為待求變量,以三脈沖控制對應的控制效果建立代數(shù)方程并求解。其解唯一,且三脈沖控制之間的間隔確定,控制殘差較兩脈沖控制更小。三脈沖控制中前后兩次脈沖控制實施的相位差取π,盡可能減小半長軸控制對相對偏心率矢量的影響[23]。

控制參數(shù)Δac=af-az,Δl≈aΔuc=a(uf-uz),及軌道面內構型參數(shù)δΔex,δΔey。首次脈沖控制點u=arctan(δΔey/δΔex)。以Δv1,Δv2,Δv3為待求解控制變量,控制目標如式(14)所示。

(14)

解上述代數(shù)方程組,可得三次脈沖的控制量如式(15)所示。

(15)

根據(jù)式(7)中相對偏心率矢量的解析解,可以得到不同初值條件下,相對偏心率矢量與初始狀態(tài)的偏差量(δΔex(t),δΔey(t)),從而確定首次控制的控制點緯度幅角u。

δΔex(t)=Δex(t)-Δex0

δΔey(t)=Δey(t)-Δey0

4.4 控制周期與偏置控制

多星編隊在軌辨識出星間差異δΔaday后,可以結合沿跡向的偏置距離L*確定控制周期,如式(16)所示。

(16)

當多星編隊采取相同的控制周期,即在一個軌道周期內分時啟動脈沖控制,L*取值滿足式(17):

(17)

三脈沖控制方法中考慮目標狀態(tài)偏置的相對軌道參數(shù)設置如式(18)所示:

(18)

三脈沖偏置控制方法的控制原理和過程如圖6所示。

圖6 脈沖機動的偏置控制原理Fig.6 Illustration of bias control under impulsive maneuver

4.5 編隊控制仿真驗證

仿真采用半天一組自主編隊保持控制,進行零偏目標狀態(tài)和偏置狀態(tài)的控制仿真,仿真結果如圖7～9所示。仿真的構型初值取小量偏置p=349,構型保持的控制目標取p=350,控制周期取半天。

零偏目標狀態(tài)控制的仿真結果如圖7所示。區(qū)別于同構編隊相對運動在零偏差附近運動的特征,異構編隊的面內相對運動更明顯。從星相對于主星的半長軸衰減更快,且不一致。采用零偏目標狀態(tài)控制能夠有效保持編隊構型參數(shù)p,s,θ,φ,如圖7(a)～ (d)所示。但是,將使得沿跡向偏差l和半長軸偏差Δa長期處于單極性狀態(tài),如圖7(e)～(f)所示。

圖7 半天周期零偏目標狀態(tài)控制的構型參數(shù)變化(Sat2示例)Fig.7 Transformations of configuration parameters under half a day period aim-state control (Sat2 for example)

偏置狀態(tài)控制的仿真結果如圖8～9所示。采用偏置狀態(tài)控制能夠有效保持編隊構型參數(shù)p,s,θ,φ,如圖8(a)～(d)所示。同時,沿跡向偏差l和半長軸偏差Δa在零偏差兩側形成穩(wěn)定的周期控制軌跡,如圖8(e)～(f)所示。圖9為控制周期半天的偏置控制過程中相對軌道擬平根數(shù)的變化情況,圖10為控制周期一天的情況。

圖8 半天周期偏置控制的構型參數(shù)變化(Sat2示例)Fig.8 Transformations of configuration parameters under half a day period bias control (Sat2 for example)

圖9 半天周期偏置控制下相對軌道參數(shù)變化(Sat2示例)Fig.9 Transformations of relative orbital parameters under half a day period bias control (Sat2 for example)

圖11為不同編隊構型保持控制策略的控制代價,以半長軸的控制量形式進行刻畫。根據(jù)式(14),三脈沖控制主要補償大氣阻力導致的相對半長軸偏差,將J2項作用導致的偏心率矢量偏差控制到目標狀態(tài),相同時間跨度的條件下不同控制策略對于補償這兩項攝動的控制代價基本一致。同時,通過三脈沖控制過程中兩個階段的半長軸偏差所引起的軌道角速度偏差,對沿跡向偏差進行補償。通過圖11(a)和 (b)的比對可以發(fā)現(xiàn),偏置控制對于沿跡向偏差l的控制代價更小,整體控制代價要小于傳統(tǒng)的零偏目標狀態(tài)控制。

基于偏置控制方法,設計了不同控制周期下的仿真,如圖11(b)和 (c)所示。不同控制周期條件下,由大氣阻力導致的相對半長軸偏差的變化率和J2項作用導致的偏心率矢量變化率相同。而且,偏置控制條件下沿跡向偏差l與半長軸偏差Δa相關,在零位狀態(tài)附近周期變化,由控制l產生的控制代價相對半長軸偏差和偏心率矢量偏差產生的控制代價相比,可以忽略不計。因此,偏置控制策略下,不同控制周期的控制代價基本一致?？刂葡到y(tǒng)可以根據(jù)自身配置的導航測量設備、推進系統(tǒng)能力和整星任務規(guī)劃綜合考量,設置合適的偏置控制周期。

圖11 不同編隊構型保持控制策略的控制代價Fig.11 Control costs for different formation configuration preserving

需要指明的是,圖8中使用構型參數(shù)l估計的Δa為接入控制率的重要參數(shù)。該項參數(shù)基于數(shù)據(jù)采樣,在控制實施階段置零,控制實施后在積累一定量的歷史數(shù)據(jù)后產生精準的估計值。圖9中平根差計算的Δa為動力學理論值,用以觀測控制實施的效果。

采用以主星Sat1為坐標系原點的Hill坐標系進行相對運動的空間軌跡刻畫,圖12為編隊保持控制過程中從星相對主星的空間相對運動軌跡。圖中的黃線為采樣時刻從星之間的連線。

圖12 編隊控制過程中的空間相對運動軌跡Fig.12 Relative motion trajectory of formation under controls

5 結論

本文針對編隊內衛(wèi)星數(shù)量增多所產生的相對運動耦合問題,提出了基于Hill坐標和三角函數(shù)公式的相對運動特征分析方法。編隊從星之間的軌道面內相對運動仍具有周期性橢圓特性,且與從星與主星形成的軌道面內相位角之間的偏差相關。為保證構型參數(shù)的自穩(wěn)定,采用等傾角設計,要求軌道面外角度參數(shù)取值在90°或270°附近,取值區(qū)間較小。軌道面內角度參數(shù)則需要根據(jù)軌道面外角度參數(shù)和載荷有效基線定義進行優(yōu)化設計,從而得到了一種有效基線最大化組合的構型參數(shù)設計方法。

通過分析J2項攝動和大氣阻力攝動的長期影響,確定了異構多星編隊的受攝相對運動特征,主要是由大氣阻力和面質比差異導致的軌道面內相對運動明顯。考慮到主從星之間的面質比差異極性,采用主從偏置形式的三脈沖控制方式實現(xiàn)多星編隊的構型保持。在實現(xiàn)編隊構型保持的同時,實現(xiàn)控制周期內異構主從星之間的平均半長軸一致性,減小對軌道面外運動的影響。

進一步的研究工作可以基于本文提出的從星之間的相對運動分析方法,開展編隊中任意兩星實施InSAR成像的任務規(guī)劃問題。衛(wèi)星編隊中從星數(shù)量進一步增加時,開展軌道面內角度和軌道面外角度參數(shù)的聯(lián)合優(yōu)化設計的相關研究工作。