馬曉燕

比較是人們認識事物本質(zhì)的思維方式，是提升思維品質(zhì)最有效的方法之一。在教學中，我們往往需要根據(jù)教材的特點和教學的需要，或比較概念，在辨中明理;或優(yōu)化解法，在比中擇優(yōu);或歸類分析，在聯(lián)中融通，促進學生深入思考，更清晰、更透徹、更理性地思考問題，獲得規(guī)律性的認知。下面，筆者以人教版五年級下冊數(shù)學廣角《找次品》為例，談談比例在該課中的應用。

《找次品》一課要求學生通過觀察、比較、猜測、實驗、推理等活動，在一群合格品中找出一個質(zhì)量較輕或較重的次品，感受數(shù)學在生活中的廣泛應用，體會解決問題策略的多樣性及運用優(yōu)化方法解決問題的有效性，進一步培養(yǎng)學生的思維能力。

一、問題驅(qū)動，在比較中加深理解

建構主義強調(diào)：讓學生在真實的教學情境中帶著問題學習，以探索問題的解決方法來驅(qū)動和維持學習的興趣和動機。學生在探索解決問題的過程中，通過比較、分析、推理等方法，使數(shù)學知識的理解更深入。

在《找次品》一課中，教師沒有從簡單的2個、3個、4個零件入手，讓學生說一說怎么找次品;而是直接出示8個零件，其中有一個次品較輕，問你會怎么稱？

生：我在天平兩邊各放4個，次品在輕的4個中;再兩邊各放2個，次品在輕的2個中;接著兩邊各放1個，次品就找出來了。

生：我先兩個兩個地稱，如果不平，輕的那兩個再各放一邊，兩次就稱出來了。但如果是平的，說明在剩下的4個中，再兩邊放2個，找到輕的2個，最后兩邊放1個，輕的那個就找出來了，這樣需要3次。

如果學生事先沒有學習過找次品的內(nèi)容，能像上面這兩位同學這樣條理清楚地表述已經(jīng)很不錯了，且下面坐著的大部分同學也大都按照8（4，4）或8（2，2，2，2）的方法。顯而易見，這樣的分法都需要3次。這時那些提前學過奧數(shù)的同學急著舉手：“我、我、我……”“不急！”教師笑著說，我們再來從9個零件中來找一找吧，如果是9個零件，你又會怎么稱？

生：我先在天平兩邊各放4個，平的話，剩下的那個就是次品，1次就夠了。

底下的同學“嘩”地笑出來了，“這是好運氣，中大獎了，要考慮最差情況！”有同學嚷嚷著。

生：不平的話，可以接著稱，兩放各放2個，找出輕的2個;再兩邊各放1個，次品就找出來了。我覺得也是3次。

生：我感覺可以兩邊各放3個，次品一定在其中的3個中;再兩邊各放1個，平的話，剩下是次品，不平的話，輕的那個就是次品，這樣2次就可以了！

這時同學們明顯地感覺到了9（3，3，3）的分法明顯比9（4，4，1）的分法要好。

師：對呀，可是奇怪了，為什么8個零件要3次，9個零件卻只要2次呢？

教室里一下子安靜了。

生：我覺得上面8個，是分成4和4，只有兩份，而9個是分成了3、3、3，分成三份了。

生：9分成4、4、1也是三份呀？

生：是不是平均分三份，稱的次數(shù)會少一些吧？

生：可是8個不能平均分成三份呀？

生，可以把8分成3、3、2，兩邊各放3個，平的話，次品在剩下的2個中，不平的話，次品在輕的3個中，再兩邊各放1個，這樣的確兩次就可以了。

就這樣，在問題的驅(qū)動之下，學生對8和9的兩種不同分法進行比較的熱情空前高漲。教師也趁熱打鐵，在8（4，4）的分法中，稱一次，次品鎖定在4個零件中;在8（3，3，2）的分法中，稱一次，次品最多鎖定在3個零件中，所以少稱了一次。在教師的點拔中，學生不僅明白了需要把零件盡可能地平均分成三份這種分法，更理解了分三次且盡可能地平均，原來是因為要把次品盡可能地縮小在最小的范圍內(nèi)。如果說，前者學生對自己探究到的方法是喜悅的，那么當理解之后，那種喜悅就上升為滿足了。

二、多元表征，在比較中優(yōu)化方法

在《找次品》一課中，為了使別人明白自己是怎么解決問題的，學生需要清晰、有條理地表示出邏輯推理的過程。如何把思維過程以外顯的方式表征出來，對學生來講有一定的難度。在前面8個、9個零件中找次品，教師讓學生自由表征自己的想法，學生的表現(xiàn)形式也各不相同。

方法一：全文字表述。

反饋意見：學生表示聽聽還可以，看著字數(shù)太多，密密麻麻的，不簡潔。而且如果零件總數(shù)增多，推理的步驟也相應增加，用文字表述的話可能是一大段了。

方法二：畫圖表征，圖文結(jié)合。如8個零件，書上和習題本中都這樣表述：

反饋意見：學生表示這種表述方法比全文字來得清晰，但所花費的時間不少反增。的確，文字一個不見少，還要畫框、畫箭頭，雖然規(guī)范，但的確不受學生歡迎。

那么，怎樣的表述方法方便快捷又簡潔明了，體現(xiàn)數(shù)學的特征呢？在這種需求下，教師出示了征集令，讓學生創(chuàng)意，比較各種表征方式，只要合理，我們就統(tǒng)一選用。讓我們一起來看一下，最終被大家一致認可的方案是：

在多種方法的比較中，學生感覺到，一要能表現(xiàn)出稱的全過程，二要簡潔明了，不僅是自己明白，還要讓其他同學都能看懂。而這些標準，是在幾種方法不斷地比較中突顯出來的，有比較，就能選擇。

三、類比推理，在比較中走向深刻

類比是指在新事物與已知事物之間的某些方面作類似的比較，把已經(jīng)獲得的知識、方法、理論遷移到新事物中，從而解決新問題。類比不僅是一種富有創(chuàng)造性的方法，而且更能體現(xiàn)數(shù)學的美感。在《找次品》一課中，如果只滿足讓學生找出次品，用流程圖表示的話，這堂課還不盡完美，因此，在課末教師還增加了這樣幾項內(nèi)容：

1. 引入“你知道嗎？”

在教師讓學生練習找15個、27個、81個……零件的次品時，教師讓學生說說：為什么15個零件稱3次，而27個零件也只要稱3次呢？里面有什么規(guī)律？引起了學生興趣后，教師再讓學生去看一看書上的“你知道嗎”，說一說你看懂了什么？在強烈的好奇心下，學生對（? ?）-（? ?）個零件稱2次、3次、4次馬上找到了其中的規(guī)律。教師還不滿足，拋出了問題：有一堆零件中有一個較輕的次品，小明稱了4次就稱出來了，這堆零件可能有幾個？這是一種逆向思維，你不問學生可能想不到，但你一問，學生就會從表中反過去看，一下就找到了答案。

2. 增加天平的托盤

在現(xiàn)實中，天平都是只有兩個托盤的，所以我們是把零件均分成三份。但如果有一個與眾不同的天平，它有三個托盤，每個托盤內(nèi)都可以放物品，并且能測量出三個托盤內(nèi)最輕的一個物品?，F(xiàn)有63個外觀相同的乒乓球，其中一個為次品，較輕，則用該天平最少稱幾次就能找出這個乒乓球？

在這道題目中，63要分成幾份是關健，而這個關鍵應該和托盤數(shù)量有關。有三個托盤，均分成4份比較合理。63（16，16，16，15），16（4，4，4，4），4（1，1，1，1），這樣三次就可以稱出了。

如果是這種有三個托盤的天平，經(jīng)過上面的解題，你也能像“你知道嗎”那樣找一找規(guī)律嗎？這個作業(yè)作為數(shù)學研究報告完成，結(jié)果學生并沒有被難倒，竟有多位學生找到了其中的規(guī)律。

3. 次品不知輕重怎么稱

次品不知道是輕是重該怎么稱，這是一個相對較難的題目，因此我們的探究也從最簡單的數(shù)據(jù)開始。4個零件中怎么找？天平兩邊各放1個，如果是平的，說明這兩個都是正品。拿其中一個正品和剩下的其中一個去稱，如果是平的，第4個是次品;如果不平，那么第3個是次品。當然，如果一開始稱的時候是不平的，那么剩下的2個一定是正品，同理用正品和1去稱，平的2是次品，不平1就是次品。兩次就可以解決，這和知道次品輕重的次數(shù)是一樣的。那么5個是否一樣呢？經(jīng)過探究學生發(fā)現(xiàn)需要3次，6個、7個、8個呢？這些零件也都需要3次，由此我們做出了如下猜測：是否除了4個，其它的零件稱法只要原來的次數(shù)+1呢？當然，這個內(nèi)容課堂上無法完成，我也只要求有興趣的孩子可以課外去思考一下。結(jié)果，學生永遠比教師聰明，有學生證明了13個零件只要稱3次就可以了，不需要加1。

比較是一切理解與思維的基礎，運用比較讓我們更容易抓住事物的本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，也促進學生的思維向更深處發(fā)展！