江蘇省天一中學(xué)(214101)安愷凱

無(wú)錫市東北塘中學(xué)(214191)沈丹丹

1 引言

2022年9月30日《中國(guó)教育報(bào)》發(fā)表了對(duì)菲爾茲獎(jiǎng)得主丘成桐教授的訪談文章——“打好數(shù)學(xué)強(qiáng)國(guó)‘底子’”,其中受訪者談到“奧數(shù)作為一個(gè)業(yè)余的競(jìng)賽,用來(lái)提升學(xué)生的興趣是不錯(cuò)的,但奧數(shù)本身內(nèi)容很偏,只考慮一部分的數(shù)學(xué)問(wèn)題,不能夠?qū)⒅饕?、主流的?shù)學(xué)學(xué)好,不是一個(gè)真正做數(shù)學(xué)研究甚至工科科學(xué)家所要求的,我們需要更大范圍的學(xué)問(wèn)”[1],受訪者的觀點(diǎn)反映出數(shù)學(xué)競(jìng)賽的教育價(jià)值在中國(guó)一直遭受的爭(zhēng)議,數(shù)學(xué)競(jìng)賽所涉及的內(nèi)容往往高于高中數(shù)學(xué)的內(nèi)容,但又很少涉及大學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容,若學(xué)生只是長(zhǎng)期處在這個(gè)“夾層”之間,反復(fù)地、不斷地、過(guò)度地訓(xùn)練解題技巧,難免會(huì)消磨學(xué)生在數(shù)學(xué)上持久探究的熱情與志向,對(duì)學(xué)生今后數(shù)學(xué)科研事業(yè)的發(fā)展產(chǎn)生負(fù)面影響,正如麻省理工學(xué)院數(shù)學(xué)系教授許晨陽(yáng)所言:“數(shù)學(xué)研究中需要許多不同的數(shù)學(xué)能力,數(shù)學(xué)競(jìng)賽培養(yǎng)的能力只是其中的一部分,盡管適度的訓(xùn)練可以在某種程度上發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力,但是過(guò)度的訓(xùn)練卻有可能阻礙學(xué)生數(shù)學(xué)研究所需能力的發(fā)展”[2].

作為一線教師,筆者時(shí)常思考,在競(jìng)賽解題教學(xué)中,在指導(dǎo)學(xué)生理解基本知識(shí)、習(xí)得解題技能、感悟數(shù)學(xué)思想、積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)之外,如何能讓學(xué)生做到如丘成桐教授所倡導(dǎo)的那樣,看到問(wèn)題背后更大范圍的學(xué)問(wèn),以及更加長(zhǎng)遠(yuǎn)的意義.以下結(jié)合問(wèn)題實(shí)例,談?wù)勗诰唧w實(shí)踐中的探索與思考.

2 問(wèn)題呈現(xiàn)

問(wèn)題[3](2019年上海市高三數(shù)學(xué)競(jìng)賽第8 題)已知x,y ∈[0,+∞),則x3+y3-5xy的最小值為____.

解法1由三元均值不等式,得

解法2由二元均值不等式,得x3+y3-5xy≥構(gòu)造f(t)=2t3-5t2,則從而可得f(t)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,故x3+y3-5xy的最小值為.

解法3由二元均值不等式,得

設(shè)t=x+y∈[0,+∞),構(gòu)造,則從而可得g(t)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,故x3+y3-5xy的最小值為.

本題是一道關(guān)于對(duì)稱雙變量(x,y)的無(wú)條件最值問(wèn)題,解法1 通過(guò)添加常數(shù)項(xiàng),配湊出三元均值不等式適用的代數(shù)結(jié)構(gòu)來(lái)直接求得最值.解法2 和解法3 結(jié)合二元均值不等式,先將目標(biāo)函數(shù)分別轉(zhuǎn)化為關(guān)于單個(gè)整體“xy”或“x+y”的單變量函數(shù),繼而利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)分析與處理.三種不同的解法雖然呈現(xiàn)出不同的形式,但本質(zhì)都涉及到競(jìng)賽中處理雙變量函數(shù)的三種基本策略:一為“通過(guò)‘添’、‘拆’、‘拼’等變形技巧實(shí)現(xiàn)代數(shù)式的等價(jià)變形”;二為“通過(guò)‘均值’、‘柯西’、‘琴生’等著名不等式實(shí)現(xiàn)代數(shù)式的不等放縮”;三為“通過(guò)‘代入換元’、‘整體換元’、‘對(duì)稱換元’等消元方法實(shí)現(xiàn)多變量函數(shù)向單變量函數(shù)的轉(zhuǎn)化”.

解題方法的對(duì)比、解題策略的統(tǒng)一可以促使學(xué)生激活已有知識(shí),運(yùn)用已有技能解決眼前問(wèn)題,并為將來(lái)解決類似問(wèn)題積累通性通法層面上的經(jīng)驗(yàn).但筆者認(rèn)為這仍是一種基于競(jìng)賽功利性與效用性的教學(xué)模式,學(xué)生的思維被牢牢局限在競(jìng)賽解題所需的內(nèi)容范圍內(nèi)原地打轉(zhuǎn),無(wú)法看到問(wèn)題背后更大范圍的知識(shí),以及更加長(zhǎng)遠(yuǎn)的意義.在高等數(shù)學(xué)范疇內(nèi),雙變量函數(shù)對(duì)應(yīng)著更高維度的圖像,雙變量方程對(duì)應(yīng)著各種優(yōu)美對(duì)稱的曲線,這些曲線遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了高中教材中圓錐曲線所給予學(xué)生的認(rèn)知范疇,但也正是因?yàn)槌隽私忸}所涉及的知識(shí)與技巧,被普遍認(rèn)為與問(wèn)題的解決“弱關(guān)聯(lián)”,故往往不被提及,教師仍更傾向于教導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用熟悉的不等式或轉(zhuǎn)化為單變量函數(shù)予以解決,所謂的“通性通法”實(shí)質(zhì)變?yōu)榱恕八季S的牢籠”.

3 以史探今

問(wèn)題中雙變量函數(shù)F(x,y)=x3+y3-5xy的結(jié)構(gòu)特征讓人聯(lián)想到一個(gè)著名的、優(yōu)美的代數(shù)曲線方程x3+y3-3axy=0(a＞0),該方程由笛卡爾根據(jù)一簇花瓣和葉形曲線特征,在1638年首次提出,由此被命名為笛卡爾葉形線.筆者嘗試通過(guò)笛卡爾葉形線的歷史典故與圖像性質(zhì),使數(shù)學(xué)悠久的歷史文化和生動(dòng)的教學(xué)現(xiàn)狀相互融合,讓數(shù)學(xué)競(jìng)賽解題教學(xué)成為一種貫穿過(guò)去、現(xiàn)在與將來(lái)的數(shù)學(xué)活動(dòng).

相信大家都聽過(guò)一個(gè)笛卡爾與瑞典公主的有關(guān)“心形線”的愛(ài)情故事,后據(jù)考證,心形線與笛卡爾并無(wú)關(guān)系.雖然笛卡爾與心形線的故事是個(gè)美麗的謊言,但以笛卡爾命名的葉形線卻涉及到解析幾何發(fā)展歷史中一個(gè)真實(shí)趣事.17世紀(jì),在解析幾何創(chuàng)立之初,曲線的切線問(wèn)題逐漸進(jìn)入數(shù)學(xué)家們的視野,笛卡爾與費(fèi)馬各自設(shè)計(jì)了一種求切線的方法,但笛卡爾對(duì)律師兼議員的業(yè)余數(shù)學(xué)家費(fèi)馬頗感不屑,認(rèn)為費(fèi)馬的方法無(wú)法與自己的方法相提并論.于是他用自己研究頗深的葉形線向?qū)Ψ教岢隽颂魬?zhàn),要求費(fèi)馬在任意點(diǎn)找到該曲線的切線,笛卡爾以為費(fèi)馬會(huì)知難而退,但費(fèi)馬最終用自己的方法解決了笛卡爾的問(wèn)題,業(yè)余數(shù)學(xué)家戰(zhàn)勝了專業(yè)數(shù)學(xué)家,從此笛卡爾葉形線聞名于世[4].

這個(gè)故事發(fā)生在這兩位偉大的數(shù)學(xué)家苦苦構(gòu)思坐標(biāo)軸及解析幾何之時(shí),笛卡爾最終也只在正象限中找到了正確的曲線形狀.時(shí)至今日,笛卡爾葉形線在代數(shù)曲線中仍具有廣泛意義,如圖1,文獻(xiàn)[5] 給出了方程x3+y3-3axy=0(a＞0)的完整圖像,以及曲線的漸進(jìn)線方程:x+y+a=0[5].

圖1

學(xué)生在感到新奇有趣的同時(shí),也頓感疑惑,故事中的笛卡爾葉形線方程x3+y3-5xy=0 與問(wèn)題中雙變量函數(shù)F(x,y)=x3+y3-5xy的最小值之間如何產(chǎn)生聯(lián)系呢?

4 技術(shù)成像

比起17世紀(jì)的笛卡爾,現(xiàn)在的我們通過(guò)數(shù)學(xué)技術(shù)軟件,能夠直觀地觀察感知圖像的形態(tài)與變化.筆者運(yùn)用GeoGebra(以下簡(jiǎn)稱GGB)軟件,描繪出隨著方程x3+y3-5xy=t中的常數(shù)t從0 向逐漸變小時(shí),方程x3+y3-5xy=t所表示曲線的形態(tài)變化,通過(guò)構(gòu)建問(wèn)題的直觀模型,探索解決問(wèn)題的全新思路.

從圖2 到圖3,隨著t變?yōu)樨?fù)數(shù),笛卡爾葉形線分裂成兩個(gè)部分,一部分為一個(gè)類似“橢圓”的封閉圖形,另一部分為一條中間“凸起”,兩端逼近漸近線的曲線;從圖3 到圖4,隨著t的逐漸變小,“橢圓”不斷變小,另一條曲線不斷逼近漸近線;從圖4 到圖5,隨著t接近,“橢圓”幾乎消失不見,另一條曲線幾乎與漸近線重合;從圖5 到圖6,隨著t變小至小于,“橢圓”已經(jīng)消失不見,另一條曲線向漸近線的另一側(cè)“凸起”.

圖2

圖3

圖4

圖5

圖6

運(yùn)用GGB 輔助教學(xué),建立數(shù)與形的聯(lián)系,促使學(xué)生從具體的事物中抽象出一般規(guī)律與結(jié)構(gòu),生成如下猜想:當(dāng)x3+y3-5xy取到最小值λ時(shí),方程x3+y3-5xy=λ表示的圖像應(yīng)為一條直線(斜率為-1 且經(jīng)過(guò)第二、三、四象限)和一個(gè)點(diǎn)(位于第一象限且橫、縱坐標(biāo)相等).用數(shù)學(xué)語(yǔ)言予以表征,即當(dāng)x3+y3-5xy取到最小值λ時(shí),三次方程x3+y3-5xy-λ=0 可分解成一個(gè)表示直線的一次方程和一個(gè)表示點(diǎn)的二次方程.

5 探究成果

基于以上猜想,學(xué)生首先想到如下分解:設(shè)x3+y3-5xy-λ=(x+y+b)[(x-a)2+(y-a)2],但右邊的展開式中含有三次項(xiàng)xy2和x2y,故等式兩邊不可能等價(jià),第一次嘗試以失敗告終.學(xué)生繼而將表示點(diǎn)的兩次方程(x-a)2+(y-a)2=0 調(diào)整為0,從而有效消除了展開式中的xy2”和“x2y兩項(xiàng).

解法4設(shè)x3+y3-5xy的最小值為λ,則,

利用數(shù)學(xué)圖形描述、分析數(shù)學(xué)問(wèn)題,讓學(xué)生感悟到幾何直觀是發(fā)現(xiàn)、提出、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要手段,是探索和形成論證思路、進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ).

6 結(jié)束語(yǔ)

隨著社會(huì)發(fā)展與客觀需求的變化,數(shù)學(xué)教學(xué)中總會(huì)涌現(xiàn)出各種教學(xué)“熱潮”.數(shù)學(xué)競(jìng)賽、數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)軟件都是當(dāng)下“熱潮”,筆者認(rèn)為競(jìng)賽“熱潮”不應(yīng)趨于功利,文化“熱潮”不應(yīng)趨于盲目,軟件“熱潮”不應(yīng)趨于表面.

在本文中,筆者應(yīng)用數(shù)學(xué)史與GGB 于數(shù)學(xué)競(jìng)賽解題教學(xué)中,創(chuàng)新了問(wèn)題解法,生動(dòng)了教學(xué)過(guò)程,確切做到了英國(guó)數(shù)學(xué)史家福弗爾曾提出的幾點(diǎn)教學(xué)目標(biāo):(1)增加學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī);(2)改變學(xué)生的數(shù)學(xué)觀;(3)因?yàn)橹啦⒎侵挥兴麄冏约河欣щy,因而會(huì)感到欣慰;(4)使數(shù)學(xué)不那么可怕;(5)有助于保持對(duì)數(shù)學(xué)的興趣;(6)給予數(shù)學(xué)以人文的一面;(7)通過(guò)古今方法的對(duì)比,確立現(xiàn)代方法的價(jià)值;(8)為學(xué)生提供探究的機(jī)會(huì)[6],從而促進(jìn)了學(xué)生思維能力、實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)的發(fā)展,增強(qiáng)了學(xué)生探索事物規(guī)律,從事數(shù)學(xué)研究的熱情與志向,有利于高中數(shù)學(xué)拔尖創(chuàng)新人才的培養(yǎng).