揚州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(225002)汪韶 陳算榮

直覺與聯(lián)想思維是數(shù)學(xué)思維的重要組成部分,是一種與嚴(yán)密的邏輯思維不同的思維活動.數(shù)學(xué)直覺思維是人腦對于數(shù)學(xué)對象的某種直接的領(lǐng)悟或洞察,其往往產(chǎn)生于經(jīng)驗、觀察、歸納、類比和聯(lián)想[1].數(shù)學(xué)聯(lián)想思維是在人腦內(nèi)記憶表象系統(tǒng)中由于某種誘因使不同表象發(fā)生聯(lián)系的一種思維活動[2].其主要表現(xiàn)在對數(shù)學(xué)知識的遷移及數(shù)學(xué)方法的聯(lián)系.本文結(jié)合新高考Ⅰ卷的試題實例,探討直覺與聯(lián)想思維在解題中的運用.

1 例析直覺思維的運用

例1若過點(a,b)可以作曲線y=ex的兩條切線,則

A.eb ＜aB.ea ＜b

C.0＜a ＜ebD.0＜b ＜ea

這是2021年新高考Ⅰ卷的第7 題,是一道單選題,條件簡單明了,以雙切線模型為背景,求一個未知點的坐標(biāo)(a,b)參數(shù)所對應(yīng)的代數(shù)式的大小關(guān)系.常規(guī)思路是設(shè)出切點,構(gòu)建函數(shù),通過代數(shù)轉(zhuǎn)化進(jìn)行求解,這一過程避免不了較為復(fù)雜的導(dǎo)數(shù)運算及代數(shù)推理,要完整地解出答案有一定的難度.但是如果我們對題目條件進(jìn)行簡單地分析,不難發(fā)現(xiàn)曲線y=ex是熟知的指數(shù)函數(shù),容易畫出指數(shù)函數(shù)的圖象(如圖1所示),觀察圖象,可以直觀地感知到過點(a,b)作曲線y=ex的兩條切線,則點(a,b)應(yīng)在曲線y=ex的下方,從而得到b ＜ea,觀察選項,快速地鎖定正確選項D.

圖1

在上述試題中,如果學(xué)生能夠根據(jù)題目所給條件直覺預(yù)測結(jié)論,將能夠大大提高解題速度,并為后續(xù)的代數(shù)證明提供有效的思路.

例2寫出與圓x2+y2=1 和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一條直線的方程____.

這是2022年新高考Ⅰ卷的第14 題,是一道填空題,答案是開放的,只需學(xué)生寫出滿足條件的其中一條直線方程,題目條件很簡單,與已知的兩個圓均相切.根據(jù)以往的解題經(jīng)驗,我們不難想到數(shù)形結(jié)合的方法,借助圖形直觀地感知切線的位置.但我們通常借助的圖形是徒手在草稿紙上畫的草圖,且高考中的學(xué)生也是無法使用除尺規(guī)之外的精細(xì)畫圖工具的,因此,我們想要從草圖中獲取較強(qiáng)的直觀性,就需要充分感知題目條件,從已有的信息中挖掘更多的隱含條件.以圖2、圖3、圖4 所呈現(xiàn)的三種草圖為例,分析不同草圖激發(fā)出的求解思路的差異.觀察草圖不難發(fā)現(xiàn),圖2 呈現(xiàn)的直觀性最弱,數(shù)形結(jié)合中“形”的作用無法體現(xiàn),完整地解題需要復(fù)雜的代數(shù)運算.圖3 的直觀性較強(qiáng),“形”的作用得到體現(xiàn),通過兩圓外切能夠順利找到滿足題意的切線所在,而完整地解題只需聯(lián)立兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,即可求得切線方程6x+8y-10=0.圖4 的直觀性最強(qiáng),“形”的作用在該題發(fā)揮得淋漓盡致,通過圖形直接鎖定一條滿足題意的直線方程x=-1,可謂“勢如劈竹”.進(jìn)一步深入分析可知,這些不同的草圖背后反映地則是學(xué)生不同的直覺思維水平,正如上述三種不同解題過程的差異,直覺思維水平較低的學(xué)生缺乏深入分析的意識,通過題目所給條件感知到的往往是淺顯的信息,而直覺思維水平較高的學(xué)生能夠“見微知著”,感知到題目背后的本質(zhì)內(nèi)容.

圖2

圖3

圖4

本題作為填空題的第二小題,難度系數(shù)并不高,但從上述分析不難看出,學(xué)生直覺思維水平的高低直接影響了他們的解題過程,進(jìn)而影響解題效率.

2 例析聯(lián)想思維的運用

例3記ΔABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知b2=ac,點D在邊AC上,BDsin ∠ABC=asinC.

(1)證明:BD=b;

(2)若AD=2DC,求cos ∠ABC.

這是2021年新高考Ⅰ卷的第19 題,是一道解三角形的題目.第(1)問證明較為基礎(chǔ),利用正弦定理即可解決,重點討論第(2)問.首先根據(jù)題目條件畫出草圖(如圖5所示).

圖5

要求解∠ABC的余弦值,結(jié)合題中的條件和第(1)問結(jié)論中邊的關(guān)系,可以聯(lián)想到余弦定理cos ∠ABC=想要確定cos ∠ABC的值,還需確定a與c的關(guān)系,即將雙變量轉(zhuǎn)化為單變量.下述為確定a與c的關(guān)系的兩種聯(lián)想.

聯(lián)想1再次觀察條件,由(1)得BD=b,又AD=2DC,根據(jù)以往的解題經(jīng)驗可以聯(lián)想到互補角余弦值互為相反數(shù),得到cos ∠ADB=-cos ∠BDC.在ΔCDB中,則,化簡得11b2=6a2+3c2.又b2=ac,得11ac=6a2+3c2.解得c=3a,或分別代入,得

解在ΔADB中,(舍),或.

聯(lián)想2由AD=2DC聯(lián)想到平面向量,從而利用平面向量的工具解題.

解在ΔABC中,平方得解得cos ∠ABC=又因為在ΔABC中,cos ∠ABC=所以又b2=ac,解得c=3a,或.

聯(lián)想的角度與方向是發(fā)散的,任何條件與結(jié)論的特征都可觸發(fā)聯(lián)想.本題的聯(lián)想角度遠(yuǎn)不止以上兩種,觀察條件,不難發(fā)現(xiàn)題目本身并沒有給出圖形,在解決過程中需要我們根據(jù)條件畫出草圖,雖然這并不是難點,但是不同的草圖會激發(fā)我們不同的聯(lián)想.根據(jù)本題條件,我們也可能畫出如圖6所示的草圖.

聯(lián)想3在圖6 的直觀感受下容易聯(lián)想到平行線,即過點D作邊BC的平行線,利用∠BED+∠ABC=180°確定a與c的關(guān)系.

解如圖7所示,過點D作DE//BC交AB于E.在ΔABC中,因為AD=2DC,所以分別在ΔBED和ΔABC中運用余弦定理表示出cos ∠BED和cos ∠ABC,又cos ∠BED=-cos ∠ABC,解得c=3a或.

數(shù)學(xué)解題是一個不斷聯(lián)想、多次轉(zhuǎn)化的過程.本題在思考過程中涉及多次聯(lián)想:首先由問題聯(lián)想到余弦定理,其次從雙變量聯(lián)想到“減元思想”,再次是根據(jù)我們以往解題經(jīng)驗的不同或構(gòu)造的草圖不同聯(lián)想到“補角余弦值互為相反數(shù)”、“平面向量”和“平行線”三種方法.

例4已知點A(2,1)在雙曲線C:1(a ＞1)上,直線l交C于P,Q兩點,直線AP,AQ的斜率之和為0.

(1)求l的斜率;

這是2022年新高考Ⅰ卷的第21 題,考查雙曲線,考查內(nèi)容“看似平平無奇,實則暗藏玄機(jī)”,當(dāng)我們按照常規(guī)思路真正去求解的時候會發(fā)現(xiàn)在第(1)問就對運算能力提出了高要求,而第(2)問求ΔPAQ的面積,同樣避免不了繁瑣的運算過程,讓人“食之無味,棄之不舍”.

但是,如果我們能夠認(rèn)真分析此題,嘗試打破常規(guī)思維,聯(lián)想到直線方程中參數(shù)的幾何意義,借助直線的參數(shù)方程進(jìn)行求解便可大大減少運算量,更有趣地,我們會發(fā)現(xiàn)第(2)問在第(1)問參數(shù)方程的基礎(chǔ)上可以直接運用參數(shù)面積公式求出ΔPAQ的面積,可謂“水到渠成”.

解(1)設(shè)直線AP的傾斜角θ,則直線AQ的傾斜角π-θ.設(shè)直線AP:則直線AQ:因為點A(2,1)在雙曲線上,所以解得a2=2.所以雙曲線方程為將直線AP的參數(shù)方程代入雙曲線方程得,(2+t1cosθ)2-2(1+t1sinθ)2-2=0.化簡得,4t1(cosθ-sinθ)+t12(cos2θ-2sin2θ)=0.解得,同理可得,則

將t1,t2代入上式化簡求得kl=-1.

上述求解思路不僅簡化了直接利用韋達(dá)定理的繁瑣運算,而且巧妙地解決了求ΔPAQ的面積問題,從第(1)問的簡便計算到第(2)問的順利求解,一氣呵成.而這樣做的前提在于我們能夠聯(lián)想到參數(shù)方程的相關(guān)內(nèi)容,進(jìn)行知識遷移并準(zhǔn)確運用.

3 發(fā)展直覺和聯(lián)想思維的幾點思考

3.1 挖掘知識本質(zhì),尋找內(nèi)在聯(lián)系

扎實的知識基礎(chǔ)是直覺和聯(lián)想思維產(chǎn)生的源泉.數(shù)學(xué)直覺思維并非憑空臆想,而是以扎實的知識儲備為基礎(chǔ).在上述四道考題中,直覺和聯(lián)想思維都來源于頭腦中對相應(yīng)知識(或模型)的準(zhǔn)確識別.因此,教師在解題教學(xué)中要善于挖掘數(shù)學(xué)知識的本質(zhì),幫助學(xué)生理解與掌握數(shù)學(xué)方法.

尋找和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)材料的內(nèi)在聯(lián)系,是進(jìn)行直覺想象和聯(lián)想的又一途徑.例如,在例4 中,通過整體分析聯(lián)想到直線參數(shù)方程的幾何意義,利用參數(shù)方程簡便計算.因此,教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中,應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生尋找數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系,培養(yǎng)全局觀.

3.2 鼓勵數(shù)學(xué)猜想,拓展聯(lián)想空間

數(shù)學(xué)猜想是數(shù)學(xué)直覺思維的直接結(jié)果.例如,在例1 中,直覺思維的直接結(jié)果是我們針對問題條件,進(jìn)行簡單分析之后,通過圖象直觀猜想得出結(jié)論.因此,教師在教學(xué)中要重視數(shù)學(xué)猜想,有意識地進(jìn)行探索,引導(dǎo)學(xué)生大膽設(shè)問,合理猜想,促使他們的直覺思維不斷得到發(fā)展和提升.

聯(lián)想是由此及彼的思考方法,是知識遷移能力的體現(xiàn).例如,在例3 中,把平面向量和平行線的相關(guān)知識遷移到解三角形的問題中來.因此,教師在教學(xué)中要不時地引導(dǎo)學(xué)生對所面臨的問題展開多角度、多方位、多層次的聯(lián)想,從而拓展學(xué)生的聯(lián)想空間.

3.3 關(guān)注關(guān)鍵環(huán)節(jié),抓住思維靈感

觀察、聯(lián)想、對比、分析等都是學(xué)生解題的關(guān)鍵環(huán)節(jié),這些環(huán)節(jié)為直覺和聯(lián)想思維的產(chǎn)生提供了強(qiáng)有力的動力[3].例如,在例2 中,學(xué)生通過觀察分析題目中的隱含條件便能快速地感知結(jié)論.因此,教師在解題教學(xué)中要重視這些關(guān)鍵環(huán)節(jié),以其為著力點培養(yǎng)學(xué)生的直覺和聯(lián)想思維.

直覺和聯(lián)想思維往往是相伴相隨,共同作用的,直覺誘發(fā)聯(lián)想的產(chǎn)生,聯(lián)想為直覺的產(chǎn)生創(chuàng)造條件.因此,教師在解題教學(xué)中可同時培養(yǎng)學(xué)生的直覺和聯(lián)想思維,適當(dāng)?shù)淖寣W(xué)生在課堂上開展頭腦風(fēng)暴,幫助學(xué)生抓住迸發(fā)的靈感,并給予學(xué)生一定的思維空間.