趙俊杰, 李 博, 杜友武

(江蘇理工學(xué)院, 江蘇 常州 213001)

在航空、電力、經(jīng)濟、制造、網(wǎng)絡(luò)等實際工程領(lǐng)域中,由于各種因素的存在,導(dǎo)致其建立的數(shù)學(xué)模型的結(jié)構(gòu)以及參數(shù)發(fā)生突發(fā)性改變,而Markov 跳變系統(tǒng)是一類受到Markov 鏈約束的混雜系統(tǒng),可用于描述上述系統(tǒng)。 基于此,學(xué)術(shù)界產(chǎn)生了諸多關(guān)于Markov跳變系統(tǒng)的創(chuàng)新性成果。值得注意的是,廣義系統(tǒng)能夠更好地描述上述系統(tǒng),所得結(jié)果應(yīng)用范圍更加廣泛,因此針對廣義Markov跳變系統(tǒng)的研究成為一個熱點。由于廣義系統(tǒng)矩陣的存在,必須同時考慮系統(tǒng)的正則性以及無脈沖性,以確保問題有解以及解的唯一性,這使得廣義系統(tǒng)的研究更為復(fù)雜[1]66,[2]14。另一方面,信息的傳輸往往存在一定的延遲,這使得考慮時滯Markov系統(tǒng)的控制問題變得十分必要[3-5]。在很多實際系統(tǒng)中,由于物理結(jié)構(gòu)等因素的限制,控制量往往有一定的限制,這就導(dǎo)致了執(zhí)行器的飽和,從而帶來非線性問題,使得問題的處理更加復(fù)雜。文獻[6]針對一類離散Markov跳變系統(tǒng),考慮執(zhí)行器飽和存在的情況,設(shè)計了H∞控制器,使得閉環(huán)系統(tǒng)隨機穩(wěn)定并具備一定的抗干擾能力[6]。

針對Markov跳變系統(tǒng)的研究成果較為充分,但值得注意的是,由于網(wǎng)絡(luò)延時導(dǎo)致通信失敗,使得控制器模態(tài)與系統(tǒng)模態(tài)不能保持一致,因此在這種情況下,考慮隱Markov系統(tǒng)的相關(guān)控制問題十分必要。[7],[8]4024。但實際系統(tǒng)中往往會出現(xiàn)時滯、輸入飽和、轉(zhuǎn)移概率不完全已知等情況,因此,圍繞該問題,繼續(xù)進行深入研究具有重要的意義。

綜上所述,本文針對一類廣義Markov跳變時滯系統(tǒng),考慮輸入飽和、轉(zhuǎn)移概率部分未知、切換點狀態(tài)不連續(xù)等實際因素,完成狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計,所得控制器能夠保證閉環(huán)系統(tǒng)均方意義下的指數(shù)穩(wěn)定性。

1 數(shù)學(xué)模型及預(yù)備知識

設(shè)計廣義Markov跳變系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型如下:

sat(u(t))x(j)=η(j),j∈[-max(h,τ(t)),0]

(1)

其中x(t)∈Rn為狀態(tài)變量,u(t)∈Rm為控制輸入,η(j)為系統(tǒng)初始狀態(tài)函數(shù)。分布時滯h為已知常量,時變時滯項τ(t)滿足下列條件:

(2)

為后續(xù)推導(dǎo)方便,對任意r(t)=i∈S,本文定義Ai=A(r(t)),其它系統(tǒng)矩陣作類似定義。

sat(u(t))為輸入飽和,限制條件如下:

-u0i≤sat(ui)≤u0i,u0i>0

(3)

本文基于隱Markov模型設(shè)計如下狀態(tài)反饋控制器:

u(t)=kσ(t)x(t)

(4)

其中kσ(t)∈Rm×n,其跳變概率滿足:

將控制器(4)代入系統(tǒng)(1),可得:

(5)

其中ψ(u(t))=sat(u(t))-u(t)。

考慮到Ei為奇異矩陣,這里存在非奇異矩陣Mi,Ni,使得:

(6)

其中:

主要結(jié)果之前首先給出如下定義及引理。

定義1[1]67:正則性與無脈沖

稱系統(tǒng)(6)為正則的,如果對任意i∈S,有:

稱系統(tǒng)(6)為無脈沖的,如果對任意i∈S,有:

那么系統(tǒng)(6)等價于如下系統(tǒng):

(7)

其中:

2 主要結(jié)果

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

其中:

Φip=(Φi1p,Φi2p,…,ΦiNp),

以及

證明:對任意r(t)=i∈S,選取如下Lyapuonv-Krasovkii函數(shù):

(15)

令r(t)=i,σ(t)=p,可得

(16)

當(dāng)i=j時,由系統(tǒng)(6)易得:

將上式代入式(16)第二行可得:

(17)

若i≠j,則此時需要考慮切換點前后狀態(tài)不一致的問題,由系統(tǒng)(7)可得:

(18)

將式(18)代入(16)第一行可得:

(19)

考慮引理1,進一步可得:

將上述兩式代入式(16)的第二第三行,結(jié)合式(17)、(19)可得:

(20)

(21)

+ξ(t)TOipξ(t)

(22)

(23)

其中:

構(gòu)造如下矩陣:

構(gòu)造如下矩陣:

對定理1中不等式(8)左乘右乘該矩陣及其轉(zhuǎn)置可得:

利用Schur補引理可得:

令:

δ5=λmax(Q1),

易得:

(24)

另一方面由V函數(shù)的結(jié)構(gòu)可以得到:

(25)

由Dynkin引理進一步可得:

(26)

通過伊藤公式可知:

由上述不等式可以得到:

由定義2可知,系統(tǒng)(6)為均方意義下的指數(shù)穩(wěn)定。由條件(11)—(14)并利用Schur補引理可以得到:

(27)

下面證明系統(tǒng)(6)是正則及無脈沖的。令:

由條件(8)可得:

(28)

定理2:對任意r(k)=i∈S,考慮轉(zhuǎn)移概率部分未知,如果存在模態(tài)相關(guān)矩陣Wi,使得條件(10)—(14)以及下列式子成立:

(29)

(30)

(31)

(32)

可將式(32)分為轉(zhuǎn)移概率已知及未知部分,其中已知部分如下:

(33)

未知部分如下:

(34)

后續(xù)證明過程與定理1證明過程類似,此處不再贅述。

證明完畢。

3 數(shù)值算例

考慮具有下列系數(shù)矩陣的時滯廣義Markov系統(tǒng):

選擇

轉(zhuǎn)移概率矩陣如下所示:

通過Matlab中Simulink工具箱搭建系統(tǒng),代入系統(tǒng)模型參數(shù)以及上述控制器參數(shù)得到仿真圖像如圖1—圖3,其中圖1、圖2分別為系統(tǒng)模態(tài)跳變以及控制器模態(tài)跳變曲線,圖3為閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)曲線,由圖可知本文設(shè)計的狀態(tài)反饋控制器能夠保證閉環(huán)系統(tǒng)為均方意義下指數(shù)穩(wěn)定。

圖1 系統(tǒng)模態(tài)跳變曲線

圖2 控制器模態(tài)跳變曲線

圖3 閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)曲線

4 結(jié)語

針對一類廣義Markov跳變系統(tǒng),考慮時變時滯、輸入飽和等情況,從微分的基本方法入手,進一步考慮切換點前后狀態(tài)不一致的問題,并設(shè)計狀態(tài)反饋控制器,保證閉環(huán)系統(tǒng)是均方意義下指數(shù)穩(wěn)定的,并進一步考慮轉(zhuǎn)移概率部分未知的情況,給出了問題有解的充分條件以及控制器的設(shè)計方法。