李翠芳 朱香膏

圖像表征直觀、形象的特點與小學(xué)生的心理和思維方式相適應(yīng)。在小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中運用圖像表征，可以增強學(xué)生對概念的理解、數(shù)量關(guān)系的分析，促進數(shù)學(xué)知識的建構(gòu)；能多角度激發(fā)學(xué)生的思維，有助于學(xué)生自主探索、發(fā)現(xiàn)再創(chuàng)造，促進深度學(xué)習(xí)的發(fā)生。

在圖像表征的直觀聯(lián)系和推理中逐步形成數(shù)學(xué)模型，引領(lǐng)學(xué)生的學(xué)習(xí)走向深處

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師運用圖像表征教學(xué)要充分尊重學(xué)生的學(xué)習(xí)差異。教師在對不同圖像表征的直觀對比、辨析中，要多維度挖掘不同抽象層次的圖像表征價值，引導(dǎo)學(xué)生在不同表征方式的“互譯”中，逐步領(lǐng)悟、理解所學(xué)數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，形成數(shù)學(xué)模型。以北師大版二年級下冊“搭配中的學(xué)問”為例：馬戲團里的小丑要表演，他有2頂不同的帽子和3條不同的褲子，共有多少種不同的搭配方案？（如下圖所示）

從學(xué)生的表征形式來看有實物表征、圖形表征、符號表征，反映出學(xué)生數(shù)學(xué)表達的思維水平存在差異。教學(xué)時學(xué)生表征形式的呈現(xiàn)次序要符合從具體逐步到抽象的過程。然而在認識和理解多種直觀表征方法后，學(xué)生能否內(nèi)化這些方法的本質(zhì)，就需要“內(nèi)”與“外”的鏈接，課堂教學(xué)中教師還要組織學(xué)生對各類方法進行對比分析。從上圖中第4種和第5種情況來看，學(xué)生選用不同顏色的筆來連線，是為了分類。教師在教學(xué)中要充分挖掘這一直觀形式，引導(dǎo)學(xué)生在“形”與“數(shù)”之間建立聯(lián)系，進而更加理解，搭配不僅要有序，還要符合乘法模型。教師組織學(xué)生試著在自己的方法里找一找是不是也蘊含著“2個3”或“3個2”。如果再增加1、2、3……頂帽子，會增加幾種搭配方法。學(xué)生在直觀的辨析和對比中體會不同表征形式中蘊含的相同思想和方法，問題中蘊含的數(shù)學(xué)模型得以建構(gòu)，同時也促進學(xué)生數(shù)學(xué)表達的一般化。

運用圖像表征搭建學(xué)習(xí)支架，體悟知識內(nèi)在本質(zhì)的一致性

深度學(xué)習(xí)的課堂更加關(guān)注學(xué)生的主動學(xué)習(xí)和主動思考。圖像表征的直觀性為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和思維搭建直觀的學(xué)習(xí)支架，讓抽象的知識本質(zhì)和思考過程在直觀中得以落地和彰顯，知識之間本質(zhì)的一致性在直觀中得以溝通，促進新知的理解和內(nèi)化。

以北師大版四年級下冊“小數(shù)乘整數(shù)”為例，學(xué)生在運用圖像表征探索小數(shù)乘整數(shù)的計算方法時，在直觀的圖像表征引領(lǐng)下變被動為主動，變關(guān)注學(xué)習(xí)知識的結(jié)果為關(guān)注學(xué)習(xí)知識的過程。教師從學(xué)生的學(xué)習(xí)單可以看出：首先，學(xué)生在直觀的表征過程中感知4個0.2是8個0.1，初步感知小數(shù)乘法也是計數(shù)單位的積累過程。其次，學(xué)生探索3×0.4（即3個0.4）的計算方法，從乘法的意義角度，學(xué)生很容易得出3個0.4共12個小格，涂滿一個大格后還要涂2個小格。（1小格為0.1，10個小格為一個大格）學(xué)生在直觀表征中不僅得出結(jié)果，還弄懂了小數(shù)乘法中十分位上滿十要向個位進一的算理。最后，學(xué)生獨立完成4×0.7，依舊在直觀中看出4個0.7的結(jié)果是28個0.1。

在深度學(xué)習(xí)的課堂中，教師更需要借助直觀的圖像表征激發(fā)學(xué)生的高階思維，所以在學(xué)生學(xué)會運用圖像直觀計算小數(shù)乘整數(shù)后，教師拋出核心問題：請同學(xué)們繼續(xù)觀察，除了可以通過數(shù)數(shù)得到0.1的個數(shù)，還可以怎樣得到0.1的個數(shù)？在直觀中，學(xué)生得出不僅可以數(shù)數(shù)，還可以計算：本質(zhì)上就是4個7，只是計數(shù)單位不同。學(xué)生在體會小數(shù)乘法與整數(shù)乘法本質(zhì)的一致性中，學(xué)會小數(shù)乘整數(shù)的計算方法，理解知識之間的聯(lián)系。

在圖像表征問題的過程中探索解題路徑，培養(yǎng)問題解決能力

問題解決能力的培養(yǎng)是小學(xué)數(shù)學(xué)課程核心目標之一，而問題表征是問題解決的基礎(chǔ)。直觀的問題表征方式符合小學(xué)生具體形象的思維特征。在解決問題的過程中，教師可以組織學(xué)生畫解題路徑圖，通過畫圖把頭腦中的問題信息、思考過程、解題步驟，以及解題過程中需要注意的細節(jié)問題逐一以圖像進行表達，從而將學(xué)生的思維過程外顯。為促使學(xué)生的學(xué)習(xí)走向深處，教師還要組織學(xué)生借助解題路徑圖，用抽象的數(shù)學(xué)語言表達自己的解題思路和方法。這樣的過程不僅解決了數(shù)學(xué)問題，還鍛煉了學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的思維。

例如，北師大版五年級下冊“長方體的體積”的學(xué)習(xí)中有這樣一道題：一個長方體水箱的容積是200升，這個水箱的底面是一個邊長為50厘米的正方形，水箱的高是多少？

這道題難倒了很多學(xué)生。該問題蘊含兩個難點：缺少直觀，對于空間想象力弱的學(xué)生來說，難以將長方體水箱的容積與長方體的體積建立聯(lián)系。教師引導(dǎo)學(xué)生運用前面學(xué)過的畫長方體三視圖的方法畫出問題中的長方體草圖，并標出對應(yīng)的數(shù)據(jù)，再引導(dǎo)學(xué)生運用解題路徑圖分析問題。在經(jīng)歷一場思維風(fēng)暴之后，學(xué)生豁然開朗，得出根據(jù)長方體的體積和底面積來求高的結(jié)論。分享交流中，學(xué)生借助直觀的解題路徑圖，思路表達更清晰且再次經(jīng)歷從頭到尾解決問題的思維過程，明晰了思維路徑，進一步培養(yǎng)了解決問題的能力。

圖像表征與抽象數(shù)學(xué)語言的“互譯”，讓學(xué)生的思維在直觀中走向抽象和深度

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)要求，會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界，這三者相輔相成。從數(shù)學(xué)語言價值角度看，觀察和思維需要數(shù)學(xué)語言表達。根據(jù)皮亞杰的智力階段論，小學(xué)階段處于具體形象階段，學(xué)生很難用文字語言表達自己對知識和問題的理解。對此，教師在教學(xué)中要注重圖示語言的表達，用圖像表征這一直觀形式來搭建抽象思維和抽象表達的橋梁。

具體做法是在低段注重學(xué)生“讀圖意”，即在學(xué)生沒有能力運用圖像表征的時候，教師要多組織學(xué)生說一說圖中蘊含的數(shù)學(xué)信息、數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法等。學(xué)生到中高段以后除了“讀圖意”，還需要親自經(jīng)歷圖像表征的過程，這是一個數(shù)學(xué)思維發(fā)展的過程，也是一個圖示語言表達的過程。需要注意的是，太過于依賴直觀難以實現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一般化，因此教師要組織學(xué)生表達自己對圖像表征的看法，還需要再“說圖意”。另外，教師還要在辨析中激發(fā)學(xué)生的高階思維，使其掌握知識的本質(zhì)，走向深度學(xué)習(xí)。

課題組設(shè)計了六年級學(xué)習(xí)單。題目要求：用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識描述圖形之間的關(guān)系。小組成員在直觀圖示的支撐下，基本把圖中蘊含的數(shù)量關(guān)系（倍的知識、比的知識、分數(shù)、百分數(shù)等）整合聯(lián)系起來。教師給定的是圖，發(fā)散的是思維。小組內(nèi)不同層次的學(xué)生都能表達出兩個量之間的關(guān)系。在組內(nèi)交流中，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)兩個量之間的數(shù)量關(guān)系原來有這么多表達方式。學(xué)生在對比分析中領(lǐng)悟到不同數(shù)量關(guān)系之間的內(nèi)在聯(lián)系和本質(zhì)的一致性，即兩個量的倍比關(guān)系。

綜上所述，運用圖像表征這一符合小學(xué)生認知特點的表征方式，可以使煩冗的數(shù)學(xué)信息條理化、清晰化、直觀化，為知識的建構(gòu)提供了可視化的思考路徑，在直觀的辨析、聯(lián)系中不斷發(fā)展學(xué)生的高階思維，促進學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)走向深處。

（本文系2020年度河南省基礎(chǔ)教育教學(xué)研究項目“運用圖像表征促進小學(xué)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的研究”的階段性成果。課題編號：JCJYC20040606）