文|羅永軍（特級教師） 許兆琛

在小學數(shù)學中，有哪一項運算定律特別重要，但又讓學生常撓頭、教師很抓狂？相信很多教師都會說，是乘法分配律。

它為什么特別重要？因為乘法分配律在運算中處于樞紐地位，是連通四則運算的關鍵節(jié)點。在加減乘除運算中，減法可以用“想加做減”來算，而除法相當于“乘倒數(shù)”，也就是說，小學的四則運算實際上可以歸并到兩個更為基礎的運算：加法和乘法。連接這兩個運算的定律即乘法分配律，而且是唯一的一個算術定律。乘法分配律的這個特性為多位數(shù)乘法，比如多位數(shù)乘一位數(shù)，多位數(shù)乘兩位數(shù)、乘多位數(shù)提供了算理和算法。不僅如此，更為之后的代數(shù)運算提供了基礎，比如合并同類項。對于乘法分配律的作用，有學者認為，它的發(fā)現(xiàn)使數(shù)學從“石器時代”發(fā)展到了“鐵器時代”。

如此重要的數(shù)學定律，對于學生來說，難學嗎？

一、痛點：學生為什么反復錯

其實在正式學習之前，小學生有很多機會接觸乘法分配律。比如在學乘法口訣時，把二三得6、三三得9，組合成三五15；學習一位數(shù)乘多位數(shù)時，如4 乘12 即4 個10 加上4 個2 合并得到48；還有長方形周長計算、兩積之和的應用問題，等等。也就是說，學生在學習乘法分配律之前，已經(jīng)有了一定的數(shù)學基礎和應用經(jīng)驗，學起來應該不費勁。可是，現(xiàn)實情況不容樂觀。

湖北宜昌天問學校的劉玉華老師曾做過大樣本調(diào)研，結(jié)果顯示，學生在學習乘法分配律時關注的是定律的“形”，如果改變一下乘數(shù)位置，如5×3+5×7，把5×3交換位置，變成3×5+5×7，學生的錯誤率馬上上升，有寫成3×（5+7）的，有寫成5×（3+7）×5 的，還有把分配律和之前學過的結(jié)合律混起來，對連乘算式也進行了分配。學生從開始學，一直到五年級還是不斷出錯[1]。用類似的問卷，筆者對本校進行了調(diào)研，得到了相近結(jié)果。

為什么會錯？以學生典型作答（30+4）×25=30+4×25 為例，從數(shù)學的角度來看，這當然是錯的，但從兒童的視角來看，這又是“合理”的，因為在（30+4）×25 這個算式中，我們看到的是三個數(shù)，因此和它等價的算式“自然”也是三個數(shù)，比如30+4×25，這種基于視覺的數(shù)量守恒性就是學生的思維自然結(jié)構(gòu)。而要形成正確結(jié)果30×25+4×25 則需要思維進行加工，這是人的思維的加工結(jié)構(gòu)，當兩者不一致時，錯誤就會產(chǎn)生[2]。另外，乘法分配律由于涉及到了兩級運算，常常放在更為簡單的乘法（加法）結(jié)合律之后教學，因此會因“同形繼承”而受其干擾[3]，實際上這同樣是由于學生的思維自然結(jié)構(gòu)（基于視覺的形狀守恒性）與思維的加工結(jié)構(gòu)沖突所致。

二、疑點：教材是否給力

要讓學生的思維沖破藩籬，建起新的結(jié)構(gòu)不容易，作為重要教學資源的教材給出了哪些教學提示呢？從現(xiàn)行各版本教材給出的樣例來看，主要方式是提供情境支撐，如在呈現(xiàn)求桌椅總價、植樹總?cè)藬?shù)、鋪地磚求總面積等情境中[4]，學生看圖列式，發(fā)現(xiàn)算式a×（b+c）與算式a×b+a×c 的結(jié)果相同，從而得出a×（b+c）=a×b+a×c或a×b+a×c=a×（b+c）。

“呈現(xiàn)情境—看圖列式—比較算式—尋找規(guī)律”的學習路徑在運算定律的教學中不斷重復，我們可能已經(jīng)習以為常了。誠然，通過比較算式的異同來概括出定律的學習方式有利于學生快速認識乘法分配律“是什么”，不過對于定律“為什么”卻難以解釋，這會讓學生只關注到定律的“形”，局限于“形”的記憶，一旦遇到“變形”，就會混亂，并且連“原形”也會被打碎，這正是學生反復出錯的原因。

小學數(shù)學運算類知識屬于程序性知識，程序性知識不僅要清楚“是什么”，還要理解“為什么”，更要明白“怎么變”?，F(xiàn)行研究表明，對于學生目前的認知水平而言, 只有直觀的才是他們?nèi)菀桌斫夂驼嬲斫獾腫5]。現(xiàn)行教材在這方面給出的教學提示還不夠充分。

乘法分配律需要怎樣的直觀？乘法分配律反映的是運算中數(shù)與數(shù)之間的組合關系，實際上它是對兩個（或多個）獨立的乘法算式進行了相應的組合，形成了一個新的乘法算式。這樣的組合是可逆的，也可以由一個乘法算式分解成多個獨立的乘法算式。因此，學生需要意義理解：

1.什么樣的乘法算式（因式）是可以組合的？

2.多個獨立的因式是如何組合成一個因式的（或者相反）？

3.因式合并（或分解）前后有什么變化？

進一步考查上述三個認知訴求，我們發(fā)現(xiàn)這實際上就是《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）提出的“三會”[6]要求，即我們需要讓學生用數(shù)學的眼光觀察事實和現(xiàn)象，從而感悟什么樣的因式是可以組合的；用數(shù)學的思維思考這些因式是如何合并（或分解）的；用數(shù)學的語言表達因式合并或分解的過程，概括出乘法分配律。

理念的關聯(lián)還需要實踐來契合，那么，如何為乘法分配律設計“三會”學習路徑呢？

三、著力點：“三會”如何來破局

（一）會觀察：在操作中“看到”現(xiàn)象

我們希望學生在情境中能夠完整地體驗到乘法分配律的生成過程，是以一種親身經(jīng)歷的“觀察”，而不僅僅是對算式的視覺層面的“觀察”。怎樣讓學生能沉浸其中呢？為此，我們設計了一個“動手做”的項目，學生在解決問題中，邊做邊想，發(fā)現(xiàn)關系。

連連看：哪些長方形可以連在一起，拼成一個更大的長方形？

師：同學們玩過“水果連連看”嗎？都玩過呀，喜歡嗎？大家是不是都想自己來玩一玩？（呈現(xiàn)圖形）這些長方形等著你來“連連看”呢。

生：我覺得②號和③號可以連在一起。

生：看上去好像可以。還不知道這些長方形的長和寬是多少呢。

（教師適時補上數(shù)據(jù)，學生進一步觀察判斷。之后學生兩人一組動手操作拼擺長方形卡片，驗證猜測，操作后交流）

師：成功了嗎？你是怎樣選擇的，誰愿意來分享？

生：我發(fā)現(xiàn)①號和③號可以連在一起，連成后是一個長8 厘米、寬2 厘米的長方形。

生：①號還能和②號拼在一起，拼成后是一個邊長為5 厘米的正方形。

生：把②號和③號連在一起就是一個長7 厘米、寬3 厘米的長方形。

師：大家為什么不用上④號長方形呢？

生：它的長和寬與其他長方形都不一樣。

生：④號與其他長方形的長和寬對不上，會多出一截。

小結(jié)：通過交流，我們發(fā)現(xiàn)了連接成功的關鍵是：當兩個長方形有一條邊相等時，這兩個長方形就能拼成一個更大的長方形。而④號長方形與其他長方形的長和寬都不相同，所以無法拼成一個長方形。

【設計說明：相較于看圖寫算

式的引入方式，由學生動手實踐而生成的學習素材既能讓學生經(jīng)歷知識的生成過程，又能使學生做思結(jié)合近距離地觀察現(xiàn)實材料，從而有利于學生用“數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界”，發(fā)展空間觀念和幾何直觀水平?！?/p>

（二）會思考：在解析中“識到”關系

找一找：對照算式和圖形，你發(fā)現(xiàn)了什么？

師：想一想拼好之后的圖形，在框里畫一畫。用算式表示拼組過程，對照算式和圖形，你能發(fā)現(xiàn)什么？

生：我發(fā)現(xiàn)可以把兩個乘法算式拼成一個乘法算式。

生：我覺得兩個乘法算式中如果有一個乘數(shù)相同，就能拼成一個乘法算式。

生：要有一個數(shù)相同，這樣才能拼在一起，5×2+4×6 就不能寫成一個乘法算式。

師：看來，④號長方形有點孤單。如果我們?yōu)樗湟粋€長方形，讓它也能連成更大的長方形，你準備怎么配？長和寬分別是多少？請你擺一擺。

（圖略，學生根據(jù)④號長方形的長和寬配出了相應的長方形，在操作中思考，進一步感悟了乘法分配律的意義）

【設計說明：乘法分配律不僅能刻畫算式的運算規(guī)律，也能反映圖形的運動規(guī)律。在教學中，將“算式變化”和“圖形運動”互通共融，形象生動地展現(xiàn)了因式合并的條件和方法，讓學生的運算能力、空間觀念和幾何直觀水平得到同步發(fā)展。在學生有了初步感悟之后，教師放慢了教學節(jié)奏，繼續(xù)增加素材讓學生積累經(jīng)驗，深入思考，理解關系。】

（三）會表達：在各種應用中“悟到”規(guī)律

1.呈現(xiàn)乘法算式

5×4 8×67×5 4×10

9×6 ?×6 9×? △×4

師：同學們看到的這些乘式，哪兩個可以“連連看”，連成一個乘式？你也可以把兩個乘數(shù)看成長方形的長和寬，把乘式想象成一個長方形。

生：5×4 和7×5 可以連成5×（4+7），8×6 和9×6 可以連成（8+9）×6，4×10 和5×4 可以連成4×（10+5），因為它們都有相同的乘數(shù)，其他的都不行。

生：8×6 和?×6 好像也可以，但是不知道?是多少。假設?是1，那連成的是6×（8+1）。

生：其實不用管?是多少，只要有一個乘數(shù)相同，就可以拼成一個更大的長方形，是6×（?+8）。

生：這樣的話，4×10 和△×4也可以連在一起，是4×（10+△）。

生：我覺得?×6 和9×?也可以連在一起，是?×（6+9）。

【設計說明：在初步感知乘法分配律的特點后，我們進一步提供“算式”素材，借助幾何直觀，深化對乘法分配律的意義理解。這里“算式”中的乘數(shù)，既有具體的數(shù)，又有抽象的符號，發(fā)展了學生的代數(shù)思維，從而更好地感悟乘法分配律的結(jié)構(gòu)?！?/p>

2.補算式：如果算式不全，你還能連嗎？

5×8+5×____=5×（8+2）

8×6+____×____=8×（6+4）

9×____+____×____=9×（3+7）

3×（2+5）=__________

3.這樣的算式還能表示數(shù)學中、生活中的其他問題嗎？

（1）選一選，哪幅圖能表示3×（2+5）=3×2+3×5？

（2）請你來畫一畫：3×（2+5）=3×2+3×5。

【設計說明：在變式應用中，一方面變化“式”的不同形態(tài)，使學生積聚運算結(jié)構(gòu)的思考，另一方面始終強調(diào)“式”“形”互通，即從“算式”想到“圖形”、由“圖形”歸為“算式”，使學生既熟悉乘法分配律的形式，又理解其意義。同時，學生的應用意識也得到了提升?！?/p>

4.建立結(jié)構(gòu)

師：我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律可以怎樣表示？你能不能用文字、字母、符號等方法來表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律？

小結(jié)歸納：ɑ×b+ɑ×c=ɑ×（b+c）或ɑ×（b+c）=ɑ×b+ɑ×c。

師：非常棒！我們把這樣的運算規(guī)律稱為“乘法分配律”?？吹匠朔ǚ峙渎勺屇阆氲搅耸裁?？在以前的數(shù)學學習中，你遇到過嗎？

生：我想到了前幾節(jié)課中學過的“長方形周長”，長×2+寬×2=（長+寬）×2。

生：我的鉛筆盒上有乘法口訣表，乘法口訣中也有分配律，比如7×9 可以看成是由3×9 和4×9加起來得到的。

生：我想到了動畫片中的“黑貓警長抓老鼠”，警長ɑ 分別去抓2 只老鼠b 和c，相當于ɑ×b+ɑ×c，抓到老鼠后關進籠子里就好比ɑ×（b+c），這就是ɑ×b+ɑ×c=ɑ×（b+c）。

5．回顧反思，提出新問題

學生回顧過程，并提出新問題：乘法對減法有分配律嗎？除法對加法有分配律嗎？乘法分配律除了計算，還有什么用處呢？

【設計總述：2022年4月，作為學?！鞍倌晷c展示活動”的數(shù)學專場，我們線上線下相結(jié)合，對省內(nèi)外廣大數(shù)學教師分享了這節(jié)課，得到了廣泛鼓勵。

與典型的“看圖寫式—比較算式—概括規(guī)律”重視運算律形式的教學相比，這節(jié)課更強調(diào)學生的運算能力和幾何直觀水平同步發(fā)展，更強調(diào)運算律的意義構(gòu)建，以“三會”來貫穿教學：一是學習素材讓學生自主創(chuàng)生。學生自己動手操作生成的學習材料，讓學生能夠親歷“會用數(shù)學的眼光觀察”，理解知識的來源與形態(tài)。二是意義建構(gòu)體現(xiàn)了數(shù)學本質(zhì)。在教學中不斷促進學生“會用數(shù)學的思維思考”算式與圖形之間的對應，通過幾何直觀，促進概念之間的聯(lián)系。學生在思考中自己分析、解決問題，對乘法分配律的幾何意義和運算規(guī)律有了較為深入的理解。三是數(shù)學應用凸顯了變式體驗。在教學中通過多角度理解，有層次推進，深入感悟，在此基礎上讓學生“會用數(shù)學的語言表達”乘法分配律的結(jié)構(gòu)和表現(xiàn)形式?；仡櫿麄€教學，我們體會到新課標提出的“三會”要求，既是學生素養(yǎng)發(fā)展的目標，又可以作為我們教學設計的方法論，以此來設計教學路徑和學習素材，能夠更好地達成教與學的一致性。】

基于“三會”要求，設計“三會”路徑，發(fā)展“三會”素養(yǎng)，我們還只是初步嘗試，旨在拋磚引玉，期待更多的教師來創(chuàng)意實踐、智慧分享。