文|劉 留

特級(jí)教師蔣守成執(zhí)教的《省刻度尺》一課是對(duì)人教版四年級(jí)上冊(cè)“數(shù)學(xué)廣角—優(yōu)化”內(nèi)容的拓展延伸，旨在豐富學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容，形成統(tǒng)籌優(yōu)化的思想方法。在教學(xué)過程中，先從常見的刻度尺談起，再逐一省略掉某些刻度，要求依然保持刻度尺完整的測量功能，隨后通過開展系列探究活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“省刻度尺”進(jìn)行認(rèn)知辨析和自主設(shè)計(jì)，最終體會(huì)到“省”是一門學(xué)問，更是一種創(chuàng)新。一方面，“省刻度尺”注重幫助學(xué)生建構(gòu)知識(shí)之間的橋梁，聚焦主題從零散走向整體，學(xué)會(huì)系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化地思考問題；另一方面，它還注重?cái)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)與現(xiàn)實(shí)生活的良性互動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)運(yùn)用數(shù)學(xué)原理解釋生活現(xiàn)象，不斷獲得新見解、拓展新思路、提出新問題，實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)的自然生長。

片斷一：打破常規(guī)，換一種方式思考

師：同學(xué)們，今天的數(shù)學(xué)研究要從一把5cm 長的直尺說起，如果想量出3cm 的長度，可以怎么量？

生：可以從0 刻度量到3cm 處。

師：現(xiàn)在讓我們省去了直尺上的刻度“3”，但是仍然要一下子量出3cm，該怎么辦呢？

生：可以先量出5cm，再減去2cm，剩下的線段長度就是3cm 了。

生：不行！這樣一來就不是一下子量出來的，而是量了兩次。我們可以從刻度“2”開始量，到刻度“5”的長度就是3cm。（如圖1）

生：還可以從刻度“1”開始，量到刻度“4”就是3cm 長。（如圖1）

圖1

師：大家聰明極了！這兩種方法都不是從“0”刻度開始量，卻都能量出3cm 長?？磥?，我們?cè)跍y量物體的長度時(shí)可以從刻度“0”量起，也可以從刻度“1”、刻度“2”……開始量起。如果省去這把直尺上的刻度“2”，還能量出2cm 長嗎？其他長度呢？

生：可以！刻度“1”到刻度“3”的長度就是2cm。

生：還可以是刻度“3”到刻度“5”。（多數(shù)學(xué)生點(diǎn)頭表示贊同）

生：用這把尺子還可以量出“1cm”“3cm”“4cm”和“5cm”的長度。

師：原來省去了刻度“2”，依然可以量出所有的整厘米數(shù)。大膽地猜想，如果同時(shí)省去了刻度“2”和刻度“4”，還能量出哪些長度呢？如果省去三個(gè)刻度呢？請(qǐng)有序地寫在《作業(yè)單1》上。（如圖2）

圖2

生：刻度“0”到刻度“1”的長度是1cm；刻度“3”到刻度“5”的長度是2cm；刻度“0”到刻度“3”的長度是3cm；刻度“1”到刻度“5”的長度是4cm；刻度“0”到刻度“5”的長度是5cm，所有的長度都能量出來。

師：說得很完整。

生：如果刻度尺上再省去3cm 這個(gè)刻度就不能量出1cm 到5cm 所有的長度了，只能量出1cm、4cm 和5cm。

【賞析：打破常規(guī)，建立聯(lián)系，在“破”與“立”的交織過程中激活學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)。一般來說，學(xué)生在用刻度尺測量物體的長度時(shí)，會(huì)習(xí)慣性地將物體一端與“0”刻度線對(duì)齊，另一端對(duì)準(zhǔn)刻度幾，那么物體長度就是幾厘米。有時(shí)候熟練的操作方式也會(huì)羈絆學(xué)生的思維步伐，蔣老師抓住這一點(diǎn)設(shè)計(jì)出本節(jié)課，凸顯換一種方式思考的育人價(jià)值。當(dāng)刻度尺上省去了刻度“3”，仍要量出3cm 長，學(xué)生開始覺得不自然；當(dāng)刻度尺上又省去了刻度“2”和“4”甚至是三個(gè)刻度，這種不自然的感覺又裹挾著挑戰(zhàn)。學(xué)生充分調(diào)用所有本領(lǐng)應(yīng)對(duì)這樣的劣構(gòu)性問題，嘗試新思路、優(yōu)化原方法，突破常規(guī)認(rèn)知的約束。英國詩人布萊克說，打破常規(guī)的道路指向智慧之宮，學(xué)生在換一種方式應(yīng)對(duì)挑戰(zhàn)的過程中學(xué)會(huì)用“測量的最終讀數(shù)-測量的起始讀數(shù)”的方法量出物體長度，在新舊知識(shí)間建立聯(lián)系，讓思維更具靈活性?！?/p>

片斷二：深入理解，為創(chuàng)新積淀力量

師：到目前為止，我們一共看見了三把刻度尺（指著PPT），你認(rèn)為哪一把最神奇呢？

生：我覺得第二把最神奇，它省去了兩個(gè)刻度依然可以量出1cm 到5cm 所有的長度。

生：同意，第一把尺子只省去了一個(gè)刻度，它只能算比較神奇。

師：給這把尺子起個(gè)名字吧！

生：神奇的尺子。（學(xué)生笑）

生：省刻度尺。

師：告訴大家，這叫“省刻度尺”，在100 多年前，一位英國的數(shù)學(xué)游戲大師發(fā)明了它，想看看嗎？

生：想?。úシ乓曨l，如圖3）

圖3

師：大家聽明白了嗎？什么樣的尺子才能稱為“省刻度尺”？

生：刻度要省得最多，而且要能夠量出所有的刻度。

生：第一把尺子省得太少。而第三把尺子由于省得太多，不能量出所有的刻度，只有第二把尺子省得剛剛好。

【賞析：“省刻度尺”最早由數(shù)學(xué)游戲大師杜登尼提出，是“以少表示多”的經(jīng)典問題，蘊(yùn)含統(tǒng)籌優(yōu)化的思想方法。在教學(xué)片斷中，蔣老師精心設(shè)計(jì)了三個(gè)層次的教學(xué)，夯實(shí)學(xué)生的基礎(chǔ)，為數(shù)學(xué)創(chuàng)新積聚力量。第一層次，請(qǐng)你判斷哪一把尺子最神奇？學(xué)生堅(jiān)定不移地認(rèn)為是第二把尺子，因?yàn)榈谝话殉咦硬粔颉笆　?，還可以再優(yōu)化；第三把尺子過于“省”，不能量出所有長度，“最優(yōu)意識(shí)”逐漸印在了他們心中。第二層次，請(qǐng)你給這把尺子取個(gè)名字。學(xué)生脫口而出——“省刻度尺”，可見概念習(xí)得是本質(zhì)理解基礎(chǔ)上自然生長的結(jié)果，挪威作家喬斯坦·賈德指出，真正的知識(shí)來自內(nèi)心，而不是別人的傳授。第三層次，觀看“省刻度尺”的由來，拓展學(xué)生的認(rèn)知邊界，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，幫助他們知其然更知其所以然?！?/p>

師：看來大家已經(jīng)知道了什么是“省刻度尺”，也知道了“省刻度尺”的標(biāo)準(zhǔn)是什么。請(qǐng)你說一說這把是不是省刻度尺？（出示圖4）

圖4

下面這把7 厘米長的直尺，0 和7之間只有兩個(gè)刻度，想一想它是不是省刻度尺？并說出理由。

生：它不是“省刻度尺”，因?yàn)槿绻?cm，2+3=5（cm），要利用刻度“5”，現(xiàn)在尺子上沒有5，所以量不出3cm，它就不是“省刻度尺”。

師：3cm 量不出來，其他的長度呢？

生：1cm 可以用刻度“6”到“7”，2cm 可以用刻度“0”到“2”，4cm 可以用刻度“2”到“6”，5cm 可以用刻度“2”到“7”，6cm 可以用刻度“0”到“6”，7cm 可以用刻度“0”到“7”。

師：現(xiàn)在請(qǐng)你添上一個(gè)刻度，讓它成為“省刻度尺”，試試看吧！

生：添上刻度“4”，刻度“4”到刻度“7”的長度就是3cm。

生：還可以添刻度“3”，刻度“0”到刻度“3”的長度也是3cm。

生：還可以添刻度“5”，刻度“2”到刻度“5”的長度也是3cm。

師：大家的思維很敏捷，這把刻度尺的中間還有很多不同的填法，要盡量按順序填才不會(huì)亂。（如圖5）

圖5

【賞析：“省刻度尺”適用于自我探究和發(fā)現(xiàn)。學(xué)生根據(jù)自己的理解判斷出含有“0”“2”“6”“7”刻度的直尺不是“省刻度尺”，因?yàn)樗鼰o法量出3cm 的長度。蔣老師順勢引導(dǎo)學(xué)生不妨再添加一個(gè)刻度，使得它成為真正的“省刻度尺”。雖然大多數(shù)學(xué)生找到了部分答案，但是缺乏完整性，蔣老師鼓勵(lì)學(xué)生按一定順序?qū)⑺锌赡艿那闆r進(jìn)行列舉，學(xué)生體悟到這樣的方法能做到不重復(fù)、不遺漏，讓紛繁復(fù)雜的可能性變得條理化，思維也趨向結(jié)構(gòu)化，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出“有效的教學(xué)活動(dòng)是學(xué)生學(xué)和教師教的統(tǒng)一”，教師關(guān)鍵性的點(diǎn)撥往往會(huì)讓學(xué)生的數(shù)學(xué)理解再上新臺(tái)階，達(dá)到新高度?！?/p>

片斷三：遷移鏈接，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)

師：難度提升，我們需要?jiǎng)?chuàng)造一把“省刻度尺”，請(qǐng)?jiān)? 到6 之間添上最少的刻度，設(shè)計(jì)成一把省刻度尺，然后把一次能量出的長度有序記錄在《作業(yè)單2》上。

生：我原來寫的是刻度“2”“4”和“5”，后來發(fā)現(xiàn)刻度“4”是多余的，去掉刻度“4”后仍然可以量出所有的長度。

生：我從添加刻度“1”“2”開始嘗試，按刻度“1”“3”、刻度“1”“4”試下去，發(fā)現(xiàn)添加刻度“1”“4”可以變成“省刻度尺”，就寫了上去。

師：蔣老師特別欣賞他說的一個(gè)詞“嘗試”，很多時(shí)候試著試著就有靈感了。我們?cè)趪L試找所有符合的情況時(shí)，要注意有序地思考，做到不重復(fù)、不遺漏。

師：我們發(fā)現(xiàn)，5cm、6cm 的刻度尺上都只要添加兩個(gè)刻度就變成“省刻度尺”；7cm、8cm 的刻度尺上都添加三個(gè)刻度就變成“省刻度尺”；9cm 的刻度尺上仍然是添加三個(gè)刻度就變成“省刻度尺”。它的背后隱含著什么規(guī)律呢？等待大家繼續(xù)探索。（出示圖6）

圖6

生：可以用“0°”和“30°”量出30°的角，用“30°”和“80°”量出50°的角，用“10°”和“80°”量出70°的角，用“0°”和“80°”量出80°的角……

師：你瞧！刻度省了，仍然可以量出更多的長度；角度省了，仍然可以量出更多的角度。我們使用的人民幣面值除了有1 元、5 元、10元，還有2 元，將它們組合起來使用就是數(shù)學(xué)知識(shí)在生活中的運(yùn)用啊?。ǔ鍪緢D7）“省”是一門學(xué)問，“省”是一種智慧，“省”讓不可能成為了可能！

圖7

【賞析：從認(rèn)識(shí)“省刻度尺”，到理解“省刻度尺”，再到創(chuàng)造“省刻度尺”，學(xué)生慢慢體會(huì)到了“省”是一門學(xué)問，是一種創(chuàng)新！蔣老師鼓勵(lì)學(xué)生在0 到6 之間添上最少的刻度，自主設(shè)計(jì)出一把“省刻度尺”，讓先前埋下的“思維種子”自然生長，學(xué)生嘗試按一定的順序?qū)ふ掖鸢?，剔除無效值，保留有效值，追求完整地解決問題，養(yǎng)成了有序思考的習(xí)慣。本節(jié)課注重從兩個(gè)維度促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)，一是知識(shí)創(chuàng)新，從“測量長度”向“測量角度”遷移、從數(shù)學(xué)知識(shí)向現(xiàn)實(shí)生活跨越，原本孤立的知識(shí)不斷聯(lián)結(jié)拓展，學(xué)生的思維更具系統(tǒng)性、結(jié)構(gòu)性，讓課堂再次掀起了思維的浪潮；二是認(rèn)知?jiǎng)?chuàng)新，在日常生活中，學(xué)生常常對(duì)于人民幣面值會(huì)有這樣的疑惑，為什么人民幣沒有3元、6 元的面值……呢？我相信《省刻度尺》一課已經(jīng)給了他們答案，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)接通生活的源泉，也再次鞏固了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，實(shí)現(xiàn)彼此的雙向交流。杭州師范大學(xué)張華教授說：“我們不做知識(shí)的搬運(yùn)工，要做知識(shí)的生產(chǎn)者。教育只有一門學(xué)科，那就是完整表現(xiàn)生活。知識(shí)的本質(zhì)是觀念，觀念的本質(zhì)是實(shí)踐，讓知識(shí)流向生活很重要?！睅椭鷮W(xué)生真正學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界?！?/p>