摘" 要：概率論與數(shù)理統(tǒng)計是一門應(yīng)用性很強(qiáng)的學(xué)科，教學(xué)實例能將理論與實際問題直接聯(lián)系起來，因此在概率統(tǒng)計課堂教學(xué)中利用教學(xué)實例教學(xué)很有必要。教學(xué)實例一般來源于生活、專業(yè)、數(shù)學(xué)史和自己撰寫，跟教學(xué)案例相比，教學(xué)實例更為普遍，教學(xué)方法也更為靈活。在教學(xué)實踐中，教學(xué)實例常用的教學(xué)方法有：講授法、啟發(fā)式教學(xué)、討論式、案例教學(xué)以及演示和實驗教學(xué)法，隨著科技進(jìn)步，相應(yīng)的教學(xué)手段也在改革，在傳統(tǒng)的教材、黑板和粉筆的基礎(chǔ)上，增添了多媒體、網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺等。在課堂中融入教學(xué)實例，教師精心設(shè)計教學(xué)方法，再充分利用現(xiàn)代化的教學(xué)手段，大大提高了教學(xué)效果，有助于更好地完成教學(xué)目標(biāo)。

關(guān)鍵詞：概率論與數(shù)理統(tǒng)計；教學(xué)實例來源；教學(xué)方法；教學(xué)手段

中圖分類號：G642.0" " 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A" " 文章編號：1673-7164（2023）02-0049-04

概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機(jī)現(xiàn)象和統(tǒng)計規(guī)律的一門數(shù)學(xué)學(xué)科，跟實際聯(lián)系非常緊密，21世紀(jì)以來，它已經(jīng)滲透到很多領(lǐng)域，如電力通信系統(tǒng)、軟件系統(tǒng)、金融、生物醫(yī)學(xué)等。概率統(tǒng)計的基本概念一般都有其實際意義，將實例融入教學(xué)就顯得尤為必要，有趣和實用的教學(xué)實例與精心設(shè)計的教學(xué)方法相結(jié)合，再選擇現(xiàn)代化的教學(xué)手段，更能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，加深學(xué)生對知識的掌握，挖掘?qū)W生的創(chuàng)造力，提高學(xué)生解決實際問題的能力。

一、教學(xué)實例的定義與教學(xué)案例的異同

教學(xué)實例和教學(xué)案例是不同的概念，教學(xué)實例指用于教學(xué)的實際存在的例子，教學(xué)案例是指真實又典型的富有多種意義且?guī)в袉栴}的事件陳述，一般要具備幾個要素：背景、主題、細(xì)節(jié)、結(jié)果、評析。案例必須是實例，但不等同于實例。教學(xué)實例范圍更為廣，在課堂教學(xué)中使用更為普遍，教學(xué)方法更為靈活多樣。

二、教學(xué)實例的來源

“工欲善其事，必先利其器”，使用教學(xué)實例首先要尋找教學(xué)實例。概率論與數(shù)理統(tǒng)計不僅需要高等數(shù)學(xué)中的極限、微積分、級數(shù)等知識，還需要線性代數(shù)中的一些內(nèi)容，教材內(nèi)容抽象、概念也較多，只講理論，學(xué)生會認(rèn)為難學(xué)又無用。實際上，概率統(tǒng)計非常貼近現(xiàn)實社會，在教學(xué)中使用教學(xué)實例可以直接體現(xiàn)這門課程的應(yīng)用性，教學(xué)實例往往來源于以下幾個方面：

（一） 從生活中尋找教學(xué)實例

數(shù)學(xué)來自生活又服務(wù)于生活，早在16世紀(jì)，數(shù)學(xué)家卡丹諾首先發(fā)現(xiàn)賭博輸贏雖然是隨機(jī)的，但當(dāng)賭博次數(shù)比較多的時候，隨機(jī)現(xiàn)象會呈現(xiàn)一定的規(guī)律性。后來的保險問題、誤差理論、產(chǎn)品檢驗等又促進(jìn)了概率論的發(fā)展。在日常生活中，隨機(jī)現(xiàn)象也十分普遍，人們可以運用概率論與數(shù)理統(tǒng)計的相關(guān)知識，對這些現(xiàn)象進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，從而做出合理的決策［1-2］。

例：一次聚會，一共有23人，問至少有兩人同生日的概率是多大？

解：生日是在一年365天的某一天，假設(shè)是等可能的，所以 23 人的生日共有36523 種可能結(jié)果，考慮事件A：“任何兩人生日不同”，要使 A發(fā)生，共有365 364" ... （36522）種可能，因此：

這個概率超過了50%，因此聚會的23人中有生日相同并不奇怪. 進(jìn)一步計算后發(fā)現(xiàn)，這個概率隨著人數(shù)的增加而迅速地增加，如下表，其中P為至少有兩人同生日的概率，見表1：

從表1發(fā)現(xiàn)，當(dāng)人數(shù)為 23時，至少有兩人同生日的概率gt;50%，此時打賭說有生日相同是有利的。

（二）從專業(yè)中尋找教學(xué)實例

概率論與數(shù)理統(tǒng)計是高等院校開設(shè)的一門重要的公共基礎(chǔ)課。教師可以針對學(xué)生的專業(yè)，尋找跟專業(yè)相關(guān)的教學(xué)實例［3］，這樣不僅有利于學(xué)生掌握概率統(tǒng)計課程知識，還有利于學(xué)生進(jìn)一步掌握專業(yè)課的內(nèi)容。

例：如何確定投資決策方向，某人有一筆資金，想在A、B兩個項目中選擇一個投資，經(jīng)過調(diào)查，A、B的收益X與Y（萬元）的分布列分別為：

問此人應(yīng)該投資哪個項目？

解： 先算A、B兩個項目各自的平均收益，

E（X）=5 0.6+2 ×0.3+（-1） ×0.1=3.5（萬），

E（Y）=6 0.7+（-2）×0.3=3.6（萬） ＞E（X）。

再分別計算出A、B兩項目收益的標(biāo)準(zhǔn)差。

如上，A項目收益比B項目收益少0.1萬元，但投資A項目的風(fēng)險比投資B項目風(fēng)險小，因此，權(quán)衡收益和風(fēng)險，該人投資A項目更合適。

（三）從數(shù)學(xué)史中尋找教學(xué)實例

了解數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史，對掌握和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法都有深刻的意義。應(yīng)用數(shù)學(xué)史教學(xué)實例也有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和不怕挫折的精神［4］。

例如圓周率，從古埃及的萊茵德紙草書到古希臘的阿基米德，再到中國的劉徽、祖沖之…最后到日本的近藤茂，得到圓周率小數(shù)點后的位數(shù)越來越多?？蓪?shù)學(xué)史中圓周率發(fā)展的歷史展現(xiàn)給學(xué)生，然后介紹用蒙特卡羅模擬法求圓周率的估計值。

點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)為區(qū)間［0，1］之間的兩個隨機(jī)數(shù)，如圖隨機(jī)生成1萬個點，有n個點是落在半徑為1的1/4圓內(nèi)，從而計算出四分之一圓的面積s。

s/邊長為1的正方形面積≈n/10000" " （1）

隨機(jī)落點越多， （1）式越接近于相等。

又知由于半徑為1的1/4圓的面積為：

s＝（π/4）r r =π/4（由于r=1）" " "（2）

由（1）（2）式可以算出π的值，

即有：π＝（4 n）/10000

（四）自己撰寫教學(xué)實例

在撰寫教學(xué)實例前，先要明確這一節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，學(xué)生需要掌握或者了解哪些知識與技能，圍繞這個目標(biāo)設(shè)計教學(xué)實例。首先描述教學(xué)實例的情境，素材要客觀，可以根據(jù)教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)實踐的需要，將教學(xué)實例抽象或者理想化；然后提出本次教學(xué)實例要解決的問題，如果有若干個小問題，要注意各小問之間層次分明，由易而難。

三、教學(xué)方法的探索

教無定法，貴在得法，人們對教學(xué)方法的探索一直沒有停止過。在實際教學(xué)中，總結(jié)有如下幾種常用方法：

（一）講授法

講授法是指教師通過口頭語言向?qū)W生傳授知識的方法，也是最基本的一種教學(xué)方法。它的缺點是學(xué)生容易陷入被動接收，難以發(fā)揮主觀能動性。優(yōu)點是通俗化和直接性，教師在備課時，已經(jīng)對知識進(jìn)行二次加工，講授的語言也經(jīng)過打磨，使得知識更容易為學(xué)生直接吸收。跟其他方法相比，講授法在相同時間內(nèi)獲得的知識容量更大。從教學(xué)內(nèi)容上看，講授法適合講授與事實相關(guān)的知識，也適用于抽象程度高、內(nèi)容復(fù)雜的內(nèi)容；從教學(xué)規(guī)模上看，講授法適合于大班課。如在大班講授泊松分布時導(dǎo)入教學(xué)實例，醫(yī)院一天接到呼救電話的次數(shù)。接到電話這件事情在任意時刻隨機(jī)發(fā)生，也就是該事件每次發(fā)生都是獨立的，跟時間無關(guān)。將時間平均分割成n段，當(dāng)時間被分割成足夠小，接電話這件事情在每段時間里可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，并且事件發(fā)生的概率p很小，如果n趨向于無限，p趨向于0。我們就得到了二項分布的極限——泊松分布。

（二）啟發(fā)式教學(xué)法

啟發(fā)式教學(xué)是指在教學(xué)過程中教師根據(jù)教學(xué)目標(biāo)和學(xué)習(xí)的客觀規(guī)律，利用各種教學(xué)手段，采用啟發(fā)誘導(dǎo)的辦法傳授知識，可培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)能力，使學(xué)生積極主動學(xué)習(xí)，促進(jìn)其身心發(fā)展。和傳統(tǒng)的講授教學(xué)法不一樣，它強(qiáng)調(diào)教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體地位。教師多提問、多啟發(fā)，學(xué)生勤動腦，沒有思考就沒有收獲。

某企業(yè)要通過筆試、面試和技能考核這三道程序來招聘人才，假設(shè)筆試的通過率為20%，在筆試通過的基礎(chǔ)上，面試的通過率為50%，在筆試面試都通過的基礎(chǔ)上，技能考核通過率為80%，問該企業(yè)錄用合格人才的概率是多少？教師先引導(dǎo)學(xué)生思考，通過筆試和面試兩道程序的概率是多少？再考慮通過三道程序的概率是多少？如何正確地用符號表示各事件？各個事件之間的關(guān)系是什么？等等不同的設(shè)問，啟發(fā)學(xué)生思考、解決問題。

（三）討論教學(xué)法

討論教學(xué)法是指為實現(xiàn)一定的教學(xué)目標(biāo)，在教師的精心準(zhǔn)備和指導(dǎo)下，對教學(xué)內(nèi)容通過全班或分組討論，發(fā)表看法，進(jìn)行辯論，從而獲得知識的一種教學(xué)方法。該方法中，學(xué)生的學(xué)習(xí)始終處于“問題—思考—探索—解答”的積極狀態(tài)。優(yōu)點為促進(jìn)學(xué)生相互合作，集思廣益，活躍學(xué)生思維，加深對知識的理解；缺點為討論小組分組不合理會影響討論結(jié)果。

（四）案例教學(xué)法

哈佛商學(xué)院的經(jīng)典教學(xué)案例一般分為三種類型：問題評價型、分析決策型與理論發(fā)展型，并且有一套相對固定的實施程序：情景介紹、學(xué)生討論、方案設(shè)計、教師點評［5］。以大學(xué)生的身高為例：

【劃分小組】小組的劃分要考慮學(xué)生學(xué)習(xí)的能力和性格，盡量縮小各組間的差異，小組各成員優(yōu)勢互補，性格互補。組建學(xué)習(xí)討論的小組，跟學(xué)生強(qiáng)調(diào)全面合作，要求每個學(xué)生都能經(jīng)歷問題的各個細(xì)節(jié)。

【問題描述】考慮我國大學(xué)生中男性的身高（數(shù)據(jù)來源于有關(guān)統(tǒng)計資料），這個教學(xué)實例沒有復(fù)雜的專業(yè)背景，身高也是生活中一個平常數(shù)據(jù)，學(xué)生能體會到概率統(tǒng)計知識的應(yīng)用就在身邊。將教學(xué)實例與生活緊密相連，能淡化其理論性、抽象性，入手解決問題時，學(xué)生沒有畏難情緒。

【建立模型】在這個過程，學(xué)生查資料，小組討論，陳述自己的觀點；教師根據(jù)需要隨時介入，傾聽并和學(xué)生一起分析觀點的異同；學(xué)生不斷修改問題的數(shù)學(xué)模型，對問題的思考也會更加周全，進(jìn)一步完善模型。學(xué)生可能會遇到自己無法解決的困難，此時教師要提出指導(dǎo)方向。

【模型求解】問題解決的過程，教師只是少量的介入，甚至不介入，如果學(xué)生遭受挫折，不能繼續(xù)堅持時，要不斷鼓勵學(xué)生繼續(xù)查資料，相互討論，這個探索的過程能讓學(xué)生體驗挫折感和成就感。通過這種形式，一方面學(xué)生繼續(xù)維持對知識的探索熱情，另一方面鼓勵學(xué)生在挫折中繼續(xù)奮進(jìn)。

【知識拓展】圍繞教學(xué)內(nèi)容，強(qiáng)化數(shù)學(xué)理論理解，再進(jìn)一步拓展知識點。這個教學(xué)實例中用到的知識點有正態(tài)分布、概率密度、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布、定積分的近似公式等，使用數(shù)學(xué)軟件matlab或者其他編程工具。圍繞這部分內(nèi)容，回顧連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布，后面將會進(jìn)一步學(xué)習(xí)多維隨機(jī)變量。

（五）演示和實驗教學(xué)法。

演示和實驗教學(xué)法是指利用一定的儀器、設(shè)備操作，學(xué)生通過觀察和分析事物的變化以直接獲取知識的一種教學(xué)方法，優(yōu)點是縮短理論與實踐的距離。教師可以利用Excel、SPSS、Matlab、R軟件等工具，對教學(xué)實例進(jìn)行分析和仿真，把結(jié)論形象地展現(xiàn)出來，真正提高教學(xué)效果。有學(xué)者把實驗分成三類：物理操作性實驗、統(tǒng)計操作性實驗和隨機(jī)模擬實驗［5］。

例如高爾頓釘板問題，可以用高爾頓釘板進(jìn)行實驗，或者借助網(wǎng)上視頻，學(xué)生很容易得到二項式分布，在實驗小球足夠多時，它們在底板堆成近似正態(tài)的密度函數(shù)圖形。再如用Excel做拋擲一枚均勻的硬幣，求正面向上的概率問題，可以得到隨機(jī)事件在大量重復(fù)試驗中呈現(xiàn)出的頻率的穩(wěn)定性。如前面求圓周率用Matlab做仿真實驗，看到實驗結(jié)果即值，極大調(diào)動學(xué)生的興趣和進(jìn)一步探索的意愿。

在用教學(xué)實例實際授課時，不同的教學(xué)方法往往不是獨立使用，有時會交叉使用，或者綜合運用。不管教師采用哪一種方法，都是希望用教學(xué)實例調(diào)動學(xué)生的主觀能動性，感受這門課程的應(yīng)用性，從而積極參與課堂教學(xué)活動，提高實踐能力。

四、教學(xué)手段的改革

教學(xué)手段是指師生教學(xué)相互傳遞信息的工具、媒體或設(shè)備。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，教學(xué)手段也在不斷改革。除了常規(guī)的教材、黑板、粉筆等，增添了多媒體、網(wǎng)絡(luò)和教學(xué)平臺，計算機(jī)等等。多媒體具有集成性，可以綜合處理文字、圖片、聲音。教育家和生理學(xué)家的實驗已經(jīng)證明，人通過聽覺獲得的信息，長期記憶有15%，通過單一視覺獲得信息的長期記憶有25%，如果通過視覺和聽覺的結(jié)合，信息的長期記憶可以達(dá)到85%。實驗表明，人類只有在全神貫注的條件下，接收的信息在大腦皮停留8～20秒才能儲存起來［6］。使用多媒體可以擴(kuò)大信息容量，更好地完成教學(xué)任務(wù)。網(wǎng)絡(luò)和教學(xué)平臺的使用增加與學(xué)生線上的互動，比如分組討論問題時，各組可以直接利用平臺把自己的想法展示出來，全班一起分享，提高了課堂教學(xué)效率。至于計算機(jī)，可以在實踐課中使用，或者直接在課堂上演示教學(xué)。教師的教學(xué)方法與現(xiàn)代化的教學(xué)手段相結(jié)合是很有必要的。

五、結(jié)語

概率論與數(shù)理統(tǒng)計這門課程的實用性和應(yīng)用性很強(qiáng)，非常適合利用教學(xué)實例教學(xué)，化解大學(xué)數(shù)學(xué)“重理論、輕應(yīng)用”這一難題。當(dāng)然教學(xué)實例的選擇不僅要以應(yīng)用性為切入點，還要側(cè)重專業(yè)需求，教學(xué)實例的教法設(shè)計是完成教學(xué)任務(wù)的關(guān)鍵，綜合運用不同的教學(xué)方法，再結(jié)合現(xiàn)代化的教學(xué)手段，可以大大增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性，提高課堂效果，切實可行地提高學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識、解決實際問題的能力。教學(xué)實例在實踐教學(xué)中取得了明顯效果，當(dāng)然實例庫也要與時俱進(jìn)，不斷增補和完善，教學(xué)方法和手段也會在不斷反思中進(jìn)一步改進(jìn)。

參考文獻(xiàn)：

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［2］ 郭翠平. 大學(xué)概率統(tǒng)計課程教學(xué)存在的問題與對策［J］. 課程教育研究，2017（20）：131-132.

［3］ 劉顯全. 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)實驗教學(xué)的應(yīng)用與實踐［J］. 科技視界，2021（32）：39-41.

［4］ 馬金鳳. 將數(shù)學(xué)史及實際案例融入概率統(tǒng)計課程的教法研究［J］. 數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2010，29（04）：57-58+60.

［5］ 馬金鳳. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計實踐教學(xué)方法研究［J］. 石河子大學(xué)學(xué)報（哲學(xué)社會科學(xué)版），2011，25（S1）：6-7.

［6］ 張民悅. 工科《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課程的教改研究［J］. 教育教學(xué)論壇，2013（26）：21-23.

（責(zé)任編輯：鄒宇銘）