鄧建華 馮煥煥 葛婷

摘要： 針對(duì)現(xiàn)有交通元胞自動(dòng)機(jī)模型運(yùn)行初始不穩(wěn)定，數(shù)據(jù)輸出存在較長(zhǎng)時(shí)間的初始波動(dòng)問(wèn)題，基于Fisher-Yates算法原理，設(shè)計(jì)出一種新的交通流初始化方法。該方法可以確保車(chē)輛從進(jìn)入元胞空間到隨后的演化更新，其位置及更新時(shí)機(jī)的隨機(jī)性。通過(guò)對(duì)采用新交通流初始化方法的模型進(jìn)行演化實(shí)驗(yàn)，結(jié)果表明：任意空間占有率條件下交通流的初始波動(dòng)區(qū)間都在50步以?xún)?nèi)；當(dāng)演化更新總步數(shù)達(dá)到3 600步時(shí)，模型剔除初始波動(dòng)區(qū)間的輸出數(shù)據(jù)已充分收斂，這時(shí)模型運(yùn)行已足夠穩(wěn)定。

關(guān)鍵詞： 元胞自動(dòng)機(jī)；交通流初始化；Fisher-Yates算法；初始波動(dòng)區(qū)間

中圖分類(lèi)號(hào)： U491.1文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A

收稿日期： 2021-12-01；修回日期：2022-03-18

基金項(xiàng)目： 國(guó)家自然科學(xué)基金（51808370）；蘇州科技大學(xué)基金項(xiàng)目（341311108;XKQ201305）

第一作者： 鄧建華（1972-），男，湖南永興人，碩士，副教授，主要研究方向?yàn)榻煌◤?fù)雜系統(tǒng)仿真。

Influence of the Initialization Method on the Stability of Traffic Cellular Automata Model

DENG Jianhua， FENG Huanhuan， GE Ting

（College of Civil Engineering， Suzhou University of Science and Technology， Suzhou 215011，China）

Abstract：Aiming at the initial instability of the existing traffic cellular automata model and the initial fluctuation of data output for a long time， a new traffic flow initialization method is designed based on the principle of Fisher-Yates algorithm. This method can ensure the randomness of the location and update timing of the vehicle from entering the cell space to the subsequent evolution and update. Through the evolution experiment of the model using the new traffic flow initialization method， the results show that the initial fluctuation range is within 50 steps under the condition of arbitrary space occupancy; When the evolution update reaches 3600 steps， the output data of the model after excluding the output of the initial fluctuation interval has converged enough， and the operation of the model is stable enough.

Key words： cellular automata; traffic flow initialization; Fisher-Yates algorithm; initial fluctuation range

0 引言

元胞自動(dòng)機(jī)是一類(lèi)時(shí)空離散的網(wǎng)格動(dòng)力學(xué)模型［12］，是交通流建模的主要工具之一。交通元胞自動(dòng)機(jī)模型的元胞單元、鄰域結(jié)構(gòu)、元胞空間及演化規(guī)則一旦確定，作為人工設(shè)計(jì)的方法，交通流初始化是否合理就可能是影響模型穩(wěn)定性的主要因素。現(xiàn)有的交通流初始化方法源自于Nagel和Schreckenberg［3］1992年提出的NaSch模型。NaSch模型用一個(gè)單維的元胞單元數(shù)組構(gòu)成的元胞空間來(lái)表示一段單車(chē)道公路，并為它設(shè)計(jì)了開(kāi)放性、周期性?xún)煞N邊界條件。開(kāi)放性邊界設(shè)計(jì)有兩個(gè)開(kāi)放端：一端為車(chē)輛駛?cè)攵?，另一端為駛離端；周期性邊界使元胞空間構(gòu)成一個(gè)兩端首尾相連的環(huán)。在此基礎(chǔ)上，NaSch模型對(duì)這兩種邊界條件提出了相應(yīng)的交通流初始化方法：對(duì)于開(kāi)放性邊界條件，模型首先生成一個(gè)隨機(jī)數(shù)列，該數(shù)列元素值與車(chē)輛輸入時(shí)刻相關(guān)聯(lián)，數(shù)列的大小等于輸入的車(chē)輛總數(shù)。模型演化時(shí)，車(chē)輛按照該數(shù)列的元素值所示的時(shí)刻進(jìn)入元胞空間，如果駛?cè)攵说氖讉€(gè)元胞單元為空，則把車(chē)輛布置到該元胞單元，如此反復(fù)，直到所有車(chē)輛進(jìn)入元胞空間，則完成了模型的交通流初始化過(guò)程。該初始化方法實(shí)現(xiàn)了車(chē)輛進(jìn)入元胞空間在時(shí)間上的隨機(jī)性；對(duì)于周期性邊界條件，模型首先按照待輸入車(chē)輛總數(shù)生成一個(gè)與每輛車(chē)輸入位置相關(guān)聯(lián)的隨機(jī)數(shù)列，然后，根據(jù)該數(shù)列每位元素值所標(biāo)示位置把車(chē)輛一次性布置到元胞空間，從而完成模型的交通流初始化。這時(shí)，車(chē)輛的初始位置是隨機(jī)的。NaSch模型的交通流初始化方法的原理清晰，實(shí)現(xiàn)過(guò)程簡(jiǎn)單，是現(xiàn)有交通流元胞自動(dòng)機(jī)模型交通流初始化的通用方法［4］。但是，按照上述兩種方法完成交通流初始化以后，模型還需要通過(guò)遍歷元胞空間來(lái)對(duì)所有的車(chē)輛進(jìn)行狀態(tài)更新，越靠近車(chē)流下游的車(chē)輛越會(huì)優(yōu)先得到更新［45］。這種僅能確保車(chē)輛初始時(shí)刻或初始位置隨機(jī)分布的交通流初始化方法，也帶來(lái)了其它相關(guān)問(wèn)題，如：元胞空間內(nèi)前導(dǎo)車(chē)的更新時(shí)機(jī)總會(huì)優(yōu)先于跟馳車(chē)輛，導(dǎo)致跟馳效應(yīng)的削弱［6］。為改善這些缺陷則需增加額外的演化規(guī)則，如：隨機(jī)減速規(guī)則、隨機(jī)慢啟動(dòng)規(guī)則等，才能再現(xiàn)車(chē)輛跟馳過(guò)程中的時(shí)走時(shí)停、遲滯等交通現(xiàn)象［710］。20世紀(jì)末，RICKERT等［11］提出了著名的STCA雙車(chē)道模型，隨后DAOUDIA等［12］提出了三車(chē)道模型，他們都沿用了NaSch模型的交通流初始化方法，隨后也被其它多車(chē)道元胞自動(dòng)機(jī)模型沿用至今［1316］。如前述，交通流經(jīng)初始化后，車(chē)輛的演化更新需通過(guò)遍歷元胞空間來(lái)實(shí)現(xiàn)，該過(guò)程也對(duì)多車(chē)道模型中的換道行為描述產(chǎn)生不利影響，如，換道沖突事件會(huì)被忽略掉，而這種因換道產(chǎn)生的車(chē)輛沖突在現(xiàn)實(shí)多車(chē)道交通流中卻很常見(jiàn)［17］。綜上所述，僅能使車(chē)輛初始時(shí)刻或初始位置隨機(jī)分布的交通流初始化方法，會(huì)導(dǎo)致模型對(duì)車(chē)輛個(gè)體行為描述的偏差，這種偏差既會(huì)影響車(chē)輛運(yùn)行狀態(tài)數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性也會(huì)延緩交通流的自組織過(guò)程［18］。

基于Fisher-Yates算法［19］的基本原理，本文提出了一種新的交通流初始化方法，該方法可以確保車(chē)輛從進(jìn)入元胞空間到隨后的演化更新，其位置及更新時(shí)機(jī)的隨機(jī)性，基本還原現(xiàn)實(shí)交通流中車(chē)輛運(yùn)動(dòng)行為的時(shí)空隨機(jī)特性，理論上也可加快交通流的自組織過(guò)程，提高模型運(yùn)行的穩(wěn)定性。為進(jìn)一步驗(yàn)證該觀點(diǎn)，本文對(duì)新提出的交通流初始化方法進(jìn)行較為詳細(xì)的實(shí)驗(yàn)研究，并結(jié)合實(shí)驗(yàn)研究所得到的初始波動(dòng)區(qū)間值對(duì)模型演化更新總步數(shù)提出了建議。

1 模型的元胞空間及演化規(guī)則

1.1 模型的元胞空間

為表示本文提出的交通流初始方法具有通用性，這里選擇構(gòu)建一個(gè)多車(chē)道元胞自動(dòng)機(jī)模型的元胞空間。該空間由一個(gè)二維Moore型鄰域的單位元胞數(shù)組來(lái)描述，以表示一段多車(chē)道路段。如圖1所示，假設(shè)該元胞空間由n×m元胞單元構(gòu)成，則它可表示為CA［n，m］，其中x軸表示道路縱向；y軸表示道路橫向。單位元胞橫向?qū)挾扰c車(chē)道同寬，單位元胞長(zhǎng)度根據(jù)車(chē)輛的最大加（減）速度來(lái)設(shè)置（參見(jiàn)后續(xù)的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)）。一輛車(chē)可能占據(jù)多個(gè)元胞單元，車(chē)輛所處的位置用其前保險(xiǎn)杠所處的元胞單元來(lái)標(biāo)識(shí)，如車(chē)輛Q［k］的位置在元胞單元CA［i，j］。這里的Q［k］為待輸入系統(tǒng)的車(chē)輛隊(duì)列Q［w］中的一個(gè)元素，k=0，…，w-1，其中w為車(chē)輛總數(shù)。

為控制設(shè)定的演化更新步數(shù)內(nèi)元胞空間中的車(chē)輛數(shù)恒定，以觀察、分析系統(tǒng)的穩(wěn)定情況，本文的元胞空間采用周期性邊界條件。

1.2 模型的演化規(guī)則

該多車(chē)道元胞自動(dòng)機(jī)模型的跟馳規(guī)則采用NaSch模型的基本規(guī)則，以盡可能減少規(guī)則冗余對(duì)模型的穩(wěn)定性產(chǎn)生影響；換道規(guī)則采用文獻(xiàn)［20］提出的可以處理?yè)Q道沖突的換道決策模型。設(shè)元胞空間CA［i，j］單元上的車(chē)輛Q［k］從t→t+1演化更新一步的具體演化規(guī)則為：1）加速，vk（t+1）→min（vk（t）+1，vmax）；2）確定性減速，vk（t+1）→min（vk（t），dk）；3）隨機(jī)慢化，當(dāng)概率p，vk（t+1）→min（vk（t）－1，0）；4）換道決策，確定換道目標(biāo)；5）目標(biāo)位置更新，xk（t+1）→xk+vk（t+1）。其中，dk為跟車(chē)間距；隨機(jī)慢化概率p=0.01；加（減）速度值為1單位元胞長(zhǎng)/步2，可以表示為1cell/s2。單位“步”用“s”表示，下同。車(chē)輛更新后的速度為vk（t+1），位置為xk（t+1）。

2 基于Fisher-Yates算法原理的交通流初始化方法

模型演化更新前需要進(jìn)行交通流初始化。Fisher-Yates算法［19］是一種復(fù)雜度不高的亂序算法，它可快速生成一個(gè)無(wú)偏、無(wú)重復(fù)元素的隨機(jī)數(shù)列。基于Fisher-Yates算法原理，本文提出了新的交通流初始化算法，其具體描述為：

1）開(kāi)始。這時(shí)模型的元胞空間CA［n，m］，邊界條件與規(guī)則已確定。

2）初始化CA［n，m］與車(chē)輛隊(duì)列Q［w］。設(shè)兩個(gè)數(shù)組的元素初始值為零。

3）創(chuàng)建臨時(shí)一維數(shù)組A［n×m］。它有n×m個(gè)元素，元素值依次為0到n×m-1。

4）把A看作一副有n×m張的撲克牌，對(duì)A進(jìn)行亂序洗牌，然后開(kāi)始抓牌。第k次抓到的牌值Q［x］正是車(chē)輛Q［k］將要布置在元胞空間的位置。如此反復(fù)，直到w張牌抓完、車(chē)輛布置完，表示該初始化過(guò)程結(jié)束。完整的算法流程如圖2所示。

以上以周期性邊界條件為例進(jìn)行了算法描述，但該算法也適用于開(kāi)放性邊界條件的交通流初始化。當(dāng)元胞空間為開(kāi)放性邊界條件時(shí)，算法僅需把數(shù)組A的大小設(shè)置為完成所有車(chē)輛輸入需花費(fèi)的演化更新步數(shù)，其余保持不變。

按照該算法流程進(jìn)行交通流初始化以后，車(chē)輛隊(duì)列Q［w］中的車(chē)輛Q［k］被隨機(jī)布置在元胞單元CA［i，j］，并設(shè)CA［i，j］=1表示有車(chē)占據(jù)。同時(shí)CA［i，j］的位置信息也被回傳給車(chē)輛Q［k］。這樣，Q［k］始終與當(dāng)前所處的元胞單元形成一一映射關(guān)系。由于Q［w］的每輛車(chē)一直保留著它們?cè)谠臻g中的當(dāng)前位置信息，交通流初始化以后的車(chē)輛演化更新可通過(guò)遍歷Q［w］來(lái)實(shí)現(xiàn)，該過(guò)程使元胞空間中車(chē)輛的狀態(tài)更新與現(xiàn)實(shí)交通流中車(chē)輛的運(yùn)動(dòng)行為改變具有基本一致的隨機(jī)時(shí)空分布特性。這從根本上解決了遍歷元胞空間需按一定時(shí)空順序更新車(chē)輛的問(wèn)題。

3 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

3.1 實(shí)驗(yàn)?zāi)康呐c任務(wù)

模型演化更新時(shí)，車(chē)輛從交通流初始化設(shè)定的狀態(tài)瞬間改為由規(guī)則驅(qū)動(dòng)，該過(guò)程必然會(huì)造成車(chē)輛行駛狀態(tài)的明顯波動(dòng)?？紤]到這種波動(dòng)會(huì)對(duì)研究成果產(chǎn)生潛在的影響，大多數(shù)學(xué)者采用了盡可能延長(zhǎng)演化更新步數(shù)且僅截取演化尾端數(shù)據(jù)的做法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。但是，因?yàn)槌跏疾▌?dòng)區(qū)間未知，學(xué)者們?cè)谠O(shè)置演化更新總步數(shù)及尾端截取區(qū)間上不統(tǒng)一，常見(jiàn)設(shè)置的演化更新總步數(shù)為104～106 s、尾端數(shù)據(jù)截取區(qū)間為103～104 s［2123］。演化更新步數(shù)和截取區(qū)間設(shè)置不合理會(huì)造成計(jì)算資源的浪費(fèi)，結(jié)合本文研究目的，把確定初始波動(dòng)區(qū)間及合適的演化更新總步數(shù)作為本實(shí)驗(yàn)任務(wù)。

3.2 實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置

為排除小尺度元胞空間對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生潛在干擾，設(shè)元胞空間周長(zhǎng)L=20 000個(gè)元胞，單位元胞長(zhǎng)度設(shè)置為0.98 m，則L的實(shí)際長(zhǎng)度為19.6 km。單位元胞橫寬為3.75 m，等于車(chē)道寬。實(shí)驗(yàn)場(chǎng)景假設(shè)為一段三車(chē)道的城市主干路，其設(shè)計(jì)計(jì)算速度為60 km/h。道路上的車(chē)輛為單一類(lèi)型的小汽車(chē)，車(chē)身長(zhǎng)為4.9 m，相當(dāng)于5個(gè)單位元胞長(zhǎng)。

設(shè)空間占有率D表示為

D=∑wk=1lkLanes×L0

其中，lk為第k輛車(chē)的長(zhǎng)度，Lanes為車(chē)道數(shù)。

3.3 實(shí)驗(yàn)過(guò)程

某D值條件下，完成設(shè)定演化更新步數(shù)的演化過(guò)程稱(chēng)為一次實(shí)驗(yàn)。將D值區(qū)間劃分為20等份，同一演化更新步數(shù)的20等份的D值所對(duì)應(yīng)的20次實(shí)驗(yàn)構(gòu)成一組實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)過(guò)程總體上按組進(jìn)行，第1組演化更新步數(shù)最短，設(shè)為600 s。必要時(shí)可按每600 s遞增重新做一組實(shí)驗(yàn)，如第2組實(shí)驗(yàn)可設(shè)演化更新步數(shù)為1 200 s重新進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。每做一組實(shí)驗(yàn)，都可進(jìn)行初始波動(dòng)區(qū)間的觀察和輸出數(shù)據(jù)的收斂情況分析。

輸出數(shù)據(jù)的收斂判定，采用公式（2）：

1－ε

其中，ε為收斂閾值，設(shè)ε=5%。f、f+1分別表示前一組、當(dāng)前組實(shí)驗(yàn)； i為各空間占有率等分值所對(duì)應(yīng)的序號(hào)，即i=0，…，19；則afi、af+1i分別為前一組、當(dāng)前組相應(yīng)D值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)值。

按照上述實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，先確定初始波動(dòng)區(qū)間，再確定合適的演化更新步數(shù)。在確定合適的演化更新步數(shù)時(shí)，把初始波動(dòng)區(qū)間輸出的數(shù)據(jù)剔除，這樣的研究分析結(jié)果會(huì)更準(zhǔn)確，數(shù)據(jù)收斂更快。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與討論

4.1 初始波動(dòng)區(qū)間分析

按照實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，首先需要通過(guò)觀察20個(gè)不同D值下輸出的時(shí)斑圖，分析確定初始波動(dòng)的區(qū)間范圍。限于篇幅，在不影響觀察規(guī)律的情況下，這里僅等距列出了5個(gè)D值的時(shí)斑圖，如圖3所示。時(shí)斑圖中：豎軸t表示演化更新步數(shù)，輸出范圍t=0～100 s；橫軸x表示車(chē)輛行駛的距離，輸出范圍x=0～200 cells。圖3中間部分黑色斜線(xiàn)表示車(chē)輛的行駛軌跡，處于波動(dòng)區(qū)間的車(chē)輛軌跡會(huì)交叉形成局部聚集不均勻黑斑和空出的白斑，在圖3的右上角用EI標(biāo)識(shí)了能觀察到的波動(dòng)區(qū)間范圍。從圖3中可看出：D≤0.1或D≥0.9時(shí)車(chē)輛的初始波動(dòng)很難觀察到，這應(yīng)該與低占有率情況下的車(chē)輛處于不受其它車(chē)輛干擾的自由行駛狀態(tài)及高占有率情況下的車(chē)輛處于其它車(chē)輛嚴(yán)格約束的全阻塞狀態(tài)有關(guān)；波動(dòng)較明顯的D值區(qū)間在D=0.3～0.7，且EI范圍都不超過(guò)50 s，遠(yuǎn)小于目前大部分研究所設(shè)定的剔除范圍［2123］。

4.2 模型穩(wěn)定性分析與合適的演化更新總步數(shù)

按照前述的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，重新從600 s開(kāi)始進(jìn)行分組實(shí)驗(yàn)，每次數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)先剔除EI=50 s區(qū)間的輸出數(shù)據(jù)，并繪制“速度-D圖”與“流率-D圖”，分別見(jiàn)圖4和圖5。從圖4，5可以看出：曲線(xiàn)在D=0.4～0.8區(qū)間仍存在一些波動(dòng)，當(dāng)初始波動(dòng)排除之后，該部分波動(dòng)可以理解為模型演化過(guò)程中車(chē)輛受模型規(guī)則驅(qū)動(dòng)的自組織過(guò)程。當(dāng)演化更新總步數(shù)達(dá)到3 600 s時(shí)，曲線(xiàn)與前一組（2 400 s）曲線(xiàn)已基本重合。把這兩組曲線(xiàn)的數(shù)據(jù)按照公式（2）列于表1中進(jìn)行判定，發(fā)現(xiàn)：流率曲線(xiàn)最大實(shí)際ε=2.99%，速度曲線(xiàn)最大實(shí)際ε=3.63%，都在5%以?xún)?nèi)，說(shuō)明這時(shí)的模型輸出已充分收斂，模型運(yùn)行已相當(dāng)穩(wěn)定。

5 結(jié)論

本文提出了一種交通元胞自動(dòng)機(jī)模型交通流初始化的新方法，該方法可以確保車(chē)輛從進(jìn)入元胞空間到隨后的演化更新，其位置及更新時(shí)機(jī)的隨機(jī)性，較已有交通流初始化方法能更好地還原現(xiàn)實(shí)交通流中車(chē)輛行進(jìn)過(guò)程中行為的隨機(jī)時(shí)空分布特性。對(duì)模型進(jìn)行反復(fù)演化實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)新方法的初始化過(guò)程加快了交通流的自組織過(guò)程：交通流的初始波動(dòng)區(qū)間都在50 s以?xún)?nèi)；當(dāng)演化更新總步數(shù)達(dá)3 600 s時(shí)，模型輸出的數(shù)據(jù)已充分收斂，表明這時(shí)模型的演化更新已相當(dāng)穩(wěn)定。本文實(shí)驗(yàn)研究所獲得的初始波動(dòng)區(qū)間及模型演化更新總步數(shù)可供相關(guān)研究參考。

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（責(zé)任編輯 耿金花）