■河南省臨潁縣南街高級(jí)中學(xué) 趙先舉

一、選擇題(本題共12 小題,每小題5分,共計(jì)60 分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求。)

1.在一次面試中,面試官?gòu)奶崆皽?zhǔn)備好的10道題目中抽出3道題讓考生回答,若考生小張能回答其中6 道,則小張面試時(shí)恰好能正確回答2道題的概率為( )。

2.已知隨機(jī)變量ξ～N(μ,σ2),若函數(shù)f(x)=P(x≤ξ≤x+3)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱,則μ=( )。

3.在一次課堂上,老師計(jì)劃在班內(nèi)隨機(jī)選取一名學(xué)生回答問(wèn)題,已知該班共有50人,其中女生20人,在女生中有6人住在306宿舍,則在回答問(wèn)題的學(xué)生為女生的條件下,該學(xué)生來(lái)自306宿舍的概率為( )。

4.小趙在駕校一次通過(guò)科目二考試的概率是未通過(guò)的5 倍,令隨機(jī)變量X=則P(X=0)=( )。

5.隨機(jī)變量X的分布列如表1所示,若a,b,c成等差數(shù)列,且

表1

則P(X≥4)=( )。

6.甲、乙兩人進(jìn)行羽毛球比賽,比賽采取5局3勝制,無(wú)論哪一方先勝3 局比賽都結(jié)束,假定甲每局比賽獲勝的概率均為,則甲以3∶1比分獲勝的概率為( )。

7.已知隨機(jī)變量X的分布列如表2所示。

表2

設(shè)Y=2X+3,則D(Y)等于( )。

8.設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量,則下列不能成為X的概率分布列的一組數(shù)據(jù)是( )。

9.為喜迎“改革開(kāi)放45周年”,某中學(xué)將于2023年5 月10 日在全校舉行“改革開(kāi)放知識(shí)”競(jìng)賽。在本次競(jìng)賽中共有40 道選擇題,每道選擇題都有4個(gè)選項(xiàng),其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的。評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定:每題只選一個(gè)選項(xiàng),答對(duì)得5分;不答或答錯(cuò)倒扣2分。某學(xué)生每道題答對(duì)的概率都為,則該學(xué)生在本次競(jìng)賽時(shí)得分的均值為( )。

A.96 B.132 C.172 D.186

10.某無(wú)人機(jī)配件廠商從其所生產(chǎn)的某種無(wú)人機(jī)配件中隨機(jī)抽取了一部分進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè),其某項(xiàng)質(zhì)量測(cè)試指標(biāo)值X服從正態(tài)分布N(18,4),且X落在區(qū)間[20,22]內(nèi)的無(wú)人機(jī)配件個(gè)數(shù)為2 718,則可估計(jì)所抽取的這批無(wú)人機(jī)配件中質(zhì)量指標(biāo)值X低于14的個(gè)數(shù)大約為( )。

附:若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤ξ≤μ+3σ)≈0.997 3。

A.228 B.455 C.27 D.40

11.若隨機(jī)變量ξ～N(0,1),φ(x)=P(ξ≤x),其中x＞0,則下列等式成立的有( )。

①φ(-x)=1-φ(x);

②φ(2x)=2φ(x);

③P(|ξ|≤x)=2φ(x)-1;

④P(|ξ|＞x)=2-φ(x)。

A.①② B.②③

C.①③D.②④

12.多項(xiàng)選擇題給出的四個(gè)選項(xiàng)中會(huì)有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分,有選錯(cuò)的得0分,部分選對(duì)的得2分。若選項(xiàng)中有i(其中i=2,3,4)個(gè)選項(xiàng)符合題目要求,隨機(jī)解答該題時(shí)(至少選擇一個(gè)選項(xiàng))所得的分?jǐn)?shù)為隨機(jī)變量ξi(其中i=2,3,4),則有( )。

A.E(ξ2)+2E(ξ4)＜3E(ξ3)

B.E(ξ2)+2E(ξ4)＞3E(ξ3)

C.2E(ξ2)+E(ξ4)＜3E(ξ3)

D.2E(ξ2)+E(ξ4)＞3E(ξ3)

二、填空題(本題共4小題,每小題5分,共計(jì)20分。)

14.已知隨機(jī)變量X～N(2,σ2),如圖1 所示,若P(X＜a)=0.32,則P(a≤X≤4-a)=____。

圖1

15.如圖2,將一個(gè)各面都涂了油漆的正方體,切割成125個(gè)同樣大小的小正方體。經(jīng)過(guò)攪拌后,從中隨機(jī)取出一個(gè)小正方體,記它的涂油漆面數(shù)為X,則X的均值為_(kāi)____。

圖2

16.盒中有2 個(gè)白球,3 個(gè)黑球,從中任取3個(gè)球,以X表示取到白球的個(gè)數(shù),η表示取到黑球的個(gè)數(shù)。給出下列各項(xiàng):

說(shuō)法正確的項(xiàng)有____。(填上所有正確項(xiàng)的序號(hào))

三、解答題(本大題共6小題,第17題10分,其他題每題12分,共計(jì)70分。解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟。)

17.(本小題10 分)現(xiàn)有來(lái)自甲、乙兩班學(xué)生共7名,從中任選2名都是甲班的概率為

(1)求7名學(xué)生中甲班的學(xué)生數(shù);

(2)設(shè)所選2 名學(xué)生中甲班的學(xué)生數(shù)為ξ,求ξ≥1的概率。

18.(本小題12分)為了了解疫情后夜市經(jīng)濟(jì)推廣效果,某地對(duì)夜市消費(fèi)情況進(jìn)行了一次隨機(jī)調(diào)查,得到每次逛夜市的平均消費(fèi)情況,如表3所示。

表3

(1)根據(jù)上表,估計(jì)男、女顧客每次平均消費(fèi)大于50元的概率;

(2)若在夜市上隨機(jī)選取一名男顧客和一名女顧客,記X為消費(fèi)大于50元的人數(shù),求X的分布列與數(shù)學(xué)期望。

19.(本小題12分)為做好黨的二十大宣講工作,某地從三所高校選取一部分大學(xué)生作為宣講志愿者。已知來(lái)自甲高校的學(xué)生有12名,其中女生8 名;來(lái)自乙高校的學(xué)生10名,其中女生4 名;來(lái)自丙高校的學(xué)生9 名,其中女生3名。

(1)若從參與宣講的學(xué)生中選取一人作為隊(duì)長(zhǎng),求在選取甲高校學(xué)生的條件下,該學(xué)生為女生的概率;

(2)若從某一高校參與宣講的同學(xué)中隨機(jī)選取2人在網(wǎng)上進(jìn)行直播,求這2人恰好是一男一女的概率。

20.(本小題12 分)某 貧困地區(qū)扶貧辦積極貫徹落實(shí)國(guó)家精準(zhǔn)扶貧的政策要求,帶領(lǐng)廣大農(nóng)村地區(qū)人民群眾奔小康。經(jīng)過(guò)奮力拼搏,新農(nóng)村建設(shè)取得巨大進(jìn)步,農(nóng)民年收入也逐年增加,為了制定提升農(nóng)民收入的工作計(jì)劃,該地扶貧辦統(tǒng)計(jì)了2020年50位農(nóng)民的年收入并制成頻率分布直方圖(圖3)。

圖3

(1)根據(jù)頻率__分布直方圖,估計(jì)50 位農(nóng)民的年平均收入(單位:千元)(同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點(diǎn)值表示)。

(2)由頻率分布直方圖,可以認(rèn)為該地區(qū)農(nóng)民收入X服從正_態(tài)分布N(μ,σ2),其中μ近似為年平均收入近似為樣本方差s2,經(jīng)計(jì)算得s2=6.92,利用該正態(tài)分布,求:

①在扶貧攻堅(jiān)工作中,若使該地區(qū)約有84.14%的農(nóng)民的年收入高于扶貧辦制定的最低年收入標(biāo)準(zhǔn),則最低年收入大約為多少千元?

②為了調(diào)研“精準(zhǔn)扶貧,不落一人”的政策要求落實(shí)情況,扶貧辦隨機(jī)走訪了1 000位農(nóng)民。若每位農(nóng)民的年收入互相獨(dú)立,記這1 000位農(nóng)民中的年收入高于12.14千元的人數(shù)為ξ,求E(ξ)。

P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3。

21.(本小題12 分)某校在2023 年4 月舉行春季運(yùn)動(dòng)會(huì),已知小趙同學(xué)在運(yùn)動(dòng)會(huì)定點(diǎn)投籃比賽項(xiàng)目中每次投籃命中的概率都為,且每次投籃是否命中相互獨(dú)立。

(1)求該同學(xué)在3 次投籃中至少命中2次的概率;

(2)若該同學(xué)在10次投籃中恰好命中k次(k=0,1,2,…,10)的概率為Pk,k為何值時(shí),Pk值最大?

22.(本小題12分)一個(gè)袋中分別裝著20個(gè)標(biāo)號(hào)為1的小球和10個(gè)標(biāo)號(hào)為2的小球(所有小球除了標(biāo)號(hào),大小形狀完全相同)。若從袋中隨機(jī)取出一個(gè)小球,標(biāo)號(hào)為1,則放回袋中;若標(biāo)號(hào)為2,則不再放回,另補(bǔ)一個(gè)標(biāo)號(hào)為1的小球放入袋中。在進(jìn)行n次重復(fù)這樣的試驗(yàn)后,記袋中所有小球標(biāo)號(hào)之和為xn。

(1)求x2的分布列和數(shù)學(xué)期望。

(2)若xn的數(shù)學(xué)期望為E(xn)。

①求證:{E(xn)-30}為等比數(shù)列;

②求E(xn)。