李 響 李德煦 王俊偉 郝天鐸 曹興龍

(1.沈陽科技學(xué)院 沈陽 110000;2.93363部隊 沈陽 110000;3.國防科技大學(xué) 合肥 230000;4.93175部隊 長春 130000)

0 引言

波形設(shè)計是雷達的關(guān)鍵技術(shù)之一。在實際情況中,由于環(huán)境的非平穩(wěn)特性和先驗知識估計方法的原因,使得雜波和目標(biāo)的先驗知識并不準(zhǔn)確,造成所設(shè)計波形與實際目標(biāo)和雜波不匹配從而降低波形估計性能。因此,為了有效防止波形的估計性能下降,需考慮進行穩(wěn)健波形的設(shè)計。此外,為了增強發(fā)射機對發(fā)射功率的利用率,現(xiàn)有文獻往往會考慮恒模約束。然而,恒模波形雖然是理想的發(fā)射波形,但其約束過于苛刻,往往為了便于實現(xiàn),會轉(zhuǎn)向低峰均比(Peak-to-Average Power Ratio, PAR)約束下的波形設(shè)計[1]。因此,PAR約束下的穩(wěn)健發(fā)射波形設(shè)計已成為認(rèn)知雷達亟待解決的重要問題之一。

文獻[2]～[8]在先驗知識不準(zhǔn)確時,對穩(wěn)健波形的設(shè)計進行了研究,其所運用的準(zhǔn)則主要基于最小克拉美羅界(Cramer-Rao bound,CRLB)準(zhǔn)則、最大互信息(mutual information, MI)準(zhǔn)則和最小均方誤差(Minimum Mean Square Error,MMSE)準(zhǔn)則。文獻[2]～[5]以最小CRLB為優(yōu)化準(zhǔn)則進行穩(wěn)健波形設(shè)計。張向陽[1]和周子昂[3]在MIMO雷達系統(tǒng)中對相關(guān)問題進行了研究,在白噪聲背景下,將信道誤差限定在一個超球體構(gòu)成的不確定集內(nèi),分別采用不同的方法實現(xiàn)了非凸優(yōu)化問題到凸問題的轉(zhuǎn)換,進而得到了MIMO雷達的穩(wěn)健波形。H. Y. Wang[4-5]進一步假定信號與雜波無關(guān),在雜波背景下采用半正定松弛(SemiDefiniteRelaxation,SDR)方法對MIMO雷達穩(wěn)健波形協(xié)方差矩陣進行了設(shè)計。然而,這些文獻只考慮了信號無關(guān)雜波。此外,文獻[6]～[8]基于最大MI準(zhǔn)則和MMSE準(zhǔn)則對雷達穩(wěn)健波形設(shè)計問題進行了研究。Y. Yang等人[6]較早地對此類問題展開研究,當(dāng)目標(biāo)的先驗知識不準(zhǔn)確時,假定目標(biāo)功率譜密度位于一個上、下界均已知的不確定集內(nèi),基于極大極小化準(zhǔn)則進行了穩(wěn)健波形設(shè)計E. Grossi[7]將目標(biāo)的散射系數(shù)和目標(biāo)的分布協(xié)方差矩陣限制在一個不確定集內(nèi),根據(jù)Schur補充定理[9]將非凸優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為凸問題進行穩(wěn)健波形的設(shè)計。但文獻[6]～[7]均未考慮雜波的影響。而T. Naghibi[8]彌補了這方面的不足,在其信號模型中加入了信號相關(guān)雜波,在目標(biāo)散射系數(shù)不確定集范圍內(nèi)進行了穩(wěn)健波形設(shè)計。需要說明的是,以上文獻均未對波形進行恒?；蛘逷AR約束。當(dāng)對波形加以恒?；蛘逷AR約束后,會使穩(wěn)健波形設(shè)計問題變得較為復(fù)雜,現(xiàn)有文獻很少對此類問題進行研究。

針對該問題,以雜波沖激響應(yīng)(Clutter Impulse Response, CIR)和目標(biāo)沖激相應(yīng)(Target Impulse Response,TIR)協(xié)方差矩陣特征值的不確定集表征CIR和TIR的波動范圍,基于極大極小化準(zhǔn)則構(gòu)建MI準(zhǔn)則下的問題模型,在不確定集范圍內(nèi)給出了MI最差情況下CIR和TIR的取值,并結(jié)合序列線性規(guī)劃(Sequence Linear Programming, SLP)方法實現(xiàn)了PAR約束下的穩(wěn)健波形設(shè)計。

1 信號模型

本文主要以擴展目標(biāo)為研究對象,考慮信號相關(guān)雜波背景下的波形設(shè)計問題。文中,用CIR表征相關(guān)雜波特性[11],用TIR表征目標(biāo)散射特性[10],則時域信號模型如圖1所示。

圖1 相關(guān)雜波下的信號模型

圖1中,長度為Ns的發(fā)射波形用s∈Ns×1表示;TIR和CIR分別用t∈Nt×1和c∈Nc×1表示[12];噪聲和接收機權(quán)值分別用n∈Nn×1和h∈Nh×1表示;目標(biāo)和環(huán)境的回波用x表示,其長度Nx=Nh=Ns+Nt-1。信號模型可表示為

x=t*s+c*s+n=Ts+Cs+n
=St+Sc+n=st+sc+n

(1)

y=hHx

(2)

(3)

同理,矩陣S亦可表示為

(4)

文中假定噪聲向量n服從均值為0,協(xié)方差矩陣為單位陣的復(fù)高斯分布,也即n～CN(0Nn,Rn),其中,0Nn∈Nn×1的含義為Nn×1維零向量,Rn的含義為Nn×Nn維的非奇異Hermitian矩陣。如果噪聲為高斯白噪聲,則有其協(xié)方差矩陣取大于零的固定值,INn∈Nn×Nn代表Nn×Nn維單位陣);如果Rn不是單位陣,則代表Rn為高斯色噪聲。CIR可以認(rèn)為是服從高斯分布的,即c～CN(0Nc,Rc),Rc代表Nc×Nc維的非奇異Hermitian矩陣。同時,假定隨機分布下TIR的目標(biāo)向量t服從均值為0Nt,協(xié)方差矩陣為Rt的圓對稱復(fù)高斯分布[13],即t～CN(0Nt,Rt)。

2 波形設(shè)計方法

2.1 基于互信息方法的問題描述

從信息論的觀點出發(fā),通過設(shè)計發(fā)射波形,使雷達回波中包含更多的目標(biāo)信息,從而實現(xiàn)目標(biāo)參數(shù)的有效估計[14]。因此,可采用目標(biāo)與雷達回波之間互信息的大小作為對目標(biāo)估計性能的度量,互信息越大,對目標(biāo)參數(shù)的估計就越準(zhǔn)確。本文以最大化MI為優(yōu)化準(zhǔn)則進行波形設(shè)計,目標(biāo)t和回波x之間的互信息可表示為

I(x;t|S)=h(x|S)-h(x|t,S)

(5)

其中h(x|S)表示S已知時回波信號x的熵,而h(x|t,S)則表示S和t均已知時x的熵。其中,t和x服從聯(lián)合高斯分布且可表示為[15]

(6)

令Rx=SRtSH+SRcSH+Rn,x的概率密度函數(shù)可表示為

(7)

則h(x|S)和h(x|t,S)可分別表示為

=ln det(SRtSH+SRcSH+Rn)+Nxlnπ+Nx

(8)

=ln det(SRcSH+Rn)+Nxlnπ+Nx

(9)

將式(8)和式(9)代入式(5),可得互信息為

I(x;t|S)=ln det[INx+SRtSH(SRcSH+Rn)-1]

(10)

可以看出,互信息是波形矩陣S的函數(shù),可通過優(yōu)化波形提高I(x;t|S),從而增強雷達的估計性能。接下來,對波形加以能量和PAR約束,并且在目標(biāo)和雜波先驗知識不準(zhǔn)確的情況下進行穩(wěn)健波形設(shè)計。

2.2 低峰均比穩(wěn)健波形設(shè)計

考慮到需要對波形的幅度加以PAR約束,PAR一般定義為[16]

(11)

(12)

2.2.1 問題模型構(gòu)建

結(jié)合式(10),同時考慮式(12)所示波形的PAR約束,則MI準(zhǔn)則下的波形設(shè)計問題模型可表示為

(13)

其中,波形矩陣S的結(jié)構(gòu)如式(4)所示。

可以看出,問題P的目標(biāo)函數(shù)是非凸的,且兩個不等式約束條件是非齊次的,同時優(yōu)化問題中的矩陣變量S是波形向量s經(jīng)過F函數(shù)映射的Toeplitz卷積矩陣,因此該優(yōu)化問題較為復(fù)雜,很難直接得到波形的解析解。

首先,為了使問題P得以求解,需對其目標(biāo)函數(shù)進行轉(zhuǎn)化,應(yīng)用矩陣求逆引理[18],可得

(14)

(15)

因此,PAR約束下基于極大極小化準(zhǔn)則的穩(wěn)健波形設(shè)計問題可表示為

(16)

2.2.2 不確定集下的穩(wěn)健波形設(shè)計

對Rc和Rt進行特征值分解,則Rc和Rt可分別表示為[19]

Rc=UΣcUH

(17)

Rt=UΣtUH

(18)

其中Σc=diag(λc,1,…,λc,Nc),Σt=diag(λt,1,…,λt,Nt),其對角元素為Rc和Rt的特征值,同時也代表CIR和TIR功率譜密度的采樣。由于Nt=Nc,則酉矩陣U可表示為

(19)

假定Rt和Rc的特征值在一定區(qū)間內(nèi)波動,該波動區(qū)間與反饋信息的估計精度有關(guān),于是不確定集可表示為

(20)

同理,高斯噪聲也可表示為

Rn=VΣnVH

(21)

其中Σn=diag(λn,1,…,λn,Nn),V為Nn×Nn維的酉矩陣,其元素可通過式(19)表示(將Nt用Nn代換)。

將式(17)、式(18)和式(21)代入式(16)所示問題中的目標(biāo)函數(shù),可得

(22)

式(22)所示極大極小化問題的目標(biāo)函數(shù)是非凸的,且第二個約束條件屬于非齊次不等式約束,因此該問題是一個非凸問題[20]。

由于式(22)所示優(yōu)化問題中波形與噪聲、CIR和TIR的協(xié)方差矩陣是互相獨立的,因此目標(biāo)函數(shù)中的極大化和極小化的位置可互換,因此其目標(biāo)函數(shù)也可轉(zhuǎn)換為

(23)

此外,當(dāng)λt,i和λc,i已知時,根據(jù)Hadamard不等式[21],若要使目標(biāo)函數(shù)取得極大值,波形矩陣S應(yīng)滿足如式(24)結(jié)構(gòu)。

(24)

其中Λs=diag(λs,1,…,λs,Nt)。將式(24)代入式(22)所示問題的目標(biāo)函數(shù),則優(yōu)化問題可轉(zhuǎn)化為

(25)

可以看出,式(25)所示問題的目標(biāo)函數(shù)與λc,i成反比,而與λt,i成正比,于是內(nèi)部極小化問題所示目標(biāo)函數(shù)可表示為

(26)

因此,優(yōu)化問題可轉(zhuǎn)換為

(27)

3 仿真實驗與分析

(28)

(29)

其中ui表示服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機變量,于是不確定集變化范圍可表示為圖2所示。

圖2 目標(biāo)和雜波特性不確定集區(qū)間

圖3 不同估計波形穩(wěn)健性能對比

圖4 優(yōu)化波形的MI隨PAR約束的變化

圖5展示的是不同PAR值下波形的實部和虛部,μ=Ns表示在只有能量約束時所求的波形,可以看出點此時分布半徑較大,也間接說明波形峰值幅度較大,發(fā)射端功率利用率低,實用性較差。而當(dāng)μ=1時,此時所形成的是一個原圓,說明波形的幅度是恒定的;而當(dāng)μ=2時,圓的分布半徑略大于μ=1時波形,且波形的MI高于恒模波形。從圖4和圖5可以看出,低PAR波形(例如μ=2)不僅能較好地兼顧發(fā)射機的效能(μ=2時分布半徑較小,說明峰值幅度較小),亦可以使雷達具有較好的估計性能(比恒模波形有更高的MI),說明低PAR波形實用性較強。

圖5 不同PAR約束下波形的實部和虛部

此外,對算法的有效性進行驗證。將優(yōu)化波形與相位編碼波形和線性調(diào)頻(Linear Frequency Modulation, LFM)波形進行對比,如圖6所示,其中LFM波形可表示為[10]

(30)

圖6為不同發(fā)射能量下優(yōu)化波形與常用波形的對比,從圖6可以看出,隨著發(fā)射能量增加,三種波形的MI取值逐漸增大,產(chǎn)生的優(yōu)化波形對應(yīng)的MI要優(yōu)于相位編碼波形和線性調(diào)頻波形,驗證了所提方法有效性。

圖6 不同波形估計性能對比

4 結(jié)束語

為了提高雷達功率放大器的效能,增強波形在TIR和雜波先驗知識不準(zhǔn)確時的穩(wěn)健性能,基于極大極小化準(zhǔn)則,研究了任意PAR約束下的認(rèn)知雷達穩(wěn)健波形設(shè)計問題。以CIR和TIR協(xié)方差矩陣特征值的不確定集表征CIR和TIR的波動范圍,基于極大極小化準(zhǔn)則構(gòu)建MI準(zhǔn)則下的問題模型,在不確定集范圍內(nèi)給出了MI最差情況下CIR和TIR的取值,并結(jié)合SLP方法實現(xiàn)了PAR約束下的穩(wěn)健波形設(shè)計。仿真結(jié)果表明,與常用波形相比,優(yōu)化波形具有更好估計性能,在目標(biāo)和信號相關(guān)雜波不確定集范圍內(nèi),所求波形具有較好的穩(wěn)健性能。