潘小明

(泰州學(xué)院 數(shù)理學(xué)院， 江蘇 泰州 225300)

為深入了解大問題、大概念在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中運(yùn)用的現(xiàn)狀，筆者于2019—2021年帶領(lǐng)江蘇省“青藍(lán)工程”優(yōu)秀數(shù)學(xué)教育教學(xué)團(tuán)隊(duì)對(duì)J省19所中小學(xué)進(jìn)行了實(shí)地調(diào)研，從中發(fā)現(xiàn)了大問題、大概念在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)運(yùn)用中所存在的一些問題。以教學(xué)問題解決為目標(biāo)，研究團(tuán)隊(duì)與中小學(xué)合作開展了行動(dòng)研究，聯(lián)系案例審視了大概念、大問題的教學(xué)價(jià)值及其在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的協(xié)同運(yùn)用，提出了大概念、大問題在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中協(xié)同運(yùn)用的有關(guān)建議。

一、實(shí)地調(diào)研發(fā)現(xiàn)的一些問題

(一)教師的教缺少應(yīng)有的深度與有效性

盡管有一些學(xué)校已經(jīng)組織了與大概念有關(guān)的數(shù)學(xué)教研活動(dòng)，并邀請(qǐng)了校外專家面向校內(nèi)教師開展了有關(guān)的專題講座，但是由于許多教師對(duì)自己所教學(xué)科的內(nèi)容缺少系統(tǒng)、整體的深入理解，在實(shí)際的課堂教學(xué)過程中并未能有效使用那些具有核心或包容性的大概念引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，不當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方式常常將學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)引向表層的數(shù)學(xué)思考或機(jī)械式的問題解決。課堂觀摩表明，從數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)到數(shù)學(xué)認(rèn)知建構(gòu)，不少教師沒有能實(shí)現(xiàn)其作為教學(xué)“指導(dǎo)者”“引導(dǎo)者”的價(jià)值，特別是不能給學(xué)生予以精準(zhǔn)、有效的數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)指導(dǎo)。有不少教師迷信于教學(xué)的“大容量”“快節(jié)奏”，課前不注意對(duì)所教內(nèi)容進(jìn)行深度挖掘，課堂上教師講得多，學(xué)生收獲少。由于對(duì)所教的內(nèi)容缺少“長(zhǎng)時(shí)間有深度的思考”，不少教師在許多稱之為“探究類”“問題解決類”的數(shù)學(xué)活動(dòng)中并沒有能將相應(yīng)的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)形成聯(lián)結(jié)較為密切的結(jié)構(gòu)。

有許多教師為了趕教學(xué)進(jìn)度，設(shè)計(jì)并使用了外觀較為精美的多媒體數(shù)學(xué)教學(xué)課件，由于這些課件主要用于定義、命題、數(shù)學(xué)題目與問題解答的呈現(xiàn)，所以很容易形成一些不正常的教學(xué)常態(tài)——表面上的課堂教學(xué)進(jìn)度、效率得到了提升，但是學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解不夠深入，實(shí)質(zhì)的收獲、效益不斷降低。

(二)學(xué)生的學(xué)缺少大概念整合、大問題探究的意識(shí)

在對(duì)某校初二年級(jí)學(xué)生的調(diào)研中，有近1/5的學(xué)生不能深入地理解所學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)特征，不能建立所學(xué)內(nèi)容和數(shù)學(xué)素養(yǎng)之間的有意義連接，不能從整體上掌握所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)或脈絡(luò)，不能從思想、方法、聯(lián)結(jié)和應(yīng)用等不同層次對(duì)所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行更深入的分析和思考。在對(duì)某校初三年級(jí)學(xué)生的調(diào)研中，有近2/9的學(xué)生未能形成體現(xiàn)深刻性、廣闊性、批判性、靈活性、敏捷性、創(chuàng)新性和反思性的高階思維，未能形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)在的興趣和積極性。就整體而言，所調(diào)研學(xué)校的學(xué)生還沒有能較好地達(dá)成數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中預(yù)設(shè)核心素養(yǎng)培養(yǎng)目標(biāo)。

訪談表明，學(xué)生普遍存在著不能結(jié)合日常學(xué)習(xí)構(gòu)建單元數(shù)學(xué)知識(shí)中核心概念的現(xiàn)象。盡管有不少學(xué)生呈現(xiàn)了一定的問題意識(shí)，但普遍缺少大問題的意識(shí)。在某一單元學(xué)習(xí)結(jié)束之后，有1/3的學(xué)生不能及時(shí)進(jìn)行所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的梳理整合。由于缺少啟發(fā)性數(shù)學(xué)問題的引領(lǐng)，加之?dāng)?shù)學(xué)課堂教學(xué)情境本身的單一，有許多學(xué)生雖然表面上學(xué)過了相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，但是測(cè)試表明他們的學(xué)習(xí)無論過程還是結(jié)果都具有很大的惰性，許多屬于必備的知識(shí)與技能不達(dá)標(biāo)，所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)在新的數(shù)學(xué)情境中遷移應(yīng)用不暢。

(三)高觀點(diǎn)指導(dǎo)沒有實(shí)現(xiàn)預(yù)期的教學(xué)改革效果

為了解決現(xiàn)實(shí)中存在的問題，有一些被調(diào)研的學(xué)校曾積極倡導(dǎo)并踐行了“高觀點(diǎn)的數(shù)學(xué)教育教學(xué)指導(dǎo)”，取得了一定的教學(xué)效果，不過，教學(xué)改革成效離預(yù)期的理想狀態(tài)還有很大的差距。但這并不意味著當(dāng)初開展“高觀點(diǎn)指導(dǎo)”教學(xué)實(shí)踐思路的不正確。許多學(xué)校在開展“高觀點(diǎn)指導(dǎo)”教學(xué)實(shí)踐研究時(shí)，曾組織過論證，也確認(rèn)過“高觀點(diǎn)指導(dǎo)”教學(xué)的合理性，并明確提出了相關(guān)的理論基礎(chǔ)。比如，有學(xué)校教研組曾組織教師學(xué)習(xí)討論了F·克萊因《高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)》的部分內(nèi)容，訪談中許多教師也能談?wù)摬⒄J(rèn)可書中諸如“觀點(diǎn)越高事物就越顯得簡(jiǎn)單”“認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)思想對(duì)于自然科學(xué)及現(xiàn)代文化的重大意義”等觀點(diǎn)[1]。那么，為什么有許多學(xué)校在落實(shí)“高觀點(diǎn)指導(dǎo)數(shù)學(xué)教育教學(xué)”時(shí)并未能取得預(yù)期理想的效果呢？一個(gè)可能的原因是，教師對(duì)于高觀點(diǎn)指導(dǎo)教學(xué)理論的“信奉”與高觀點(diǎn)指導(dǎo)教學(xué)理論的“實(shí)踐”有著很大的差距。例如，有一些學(xué)校的教師坦言，高觀點(diǎn)并非是一種顯性的存在，學(xué)校要求自己“高屋建瓴地審視數(shù)學(xué)教材”“找到相關(guān)內(nèi)容背后深刻的數(shù)學(xué)觀念”“揭示所教內(nèi)容與特定領(lǐng)域現(xiàn)代數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的一致性、和諧性”實(shí)在做不到。有一些學(xué)校的數(shù)學(xué)教師認(rèn)為“說說可以，能不能做是另一回事”。有一些學(xué)校的教師認(rèn)為應(yīng)當(dāng)注意F·克萊因《高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)》一書中諸如“學(xué)校里的講授應(yīng)當(dāng)顧及學(xué)生的心理，不應(yīng)只講究系統(tǒng)”等觀點(diǎn)[2]，不能片面理解“高觀點(diǎn)指導(dǎo)教學(xué)”。有一些學(xué)校的教師認(rèn)為，即使學(xué)校開設(shè)過“高觀點(diǎn)指導(dǎo)中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)”的講座，大多數(shù)教師仍難以掌握專家口中所說的高觀點(diǎn)、大觀念、大問題、大單元。

有一些學(xué)校雖然重視了“高觀點(diǎn)指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)”，但是在具體的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中卻把“原本非常有意義的高觀點(diǎn)指導(dǎo)”異化為“知識(shí)超前性的學(xué)習(xí)”“知識(shí)超綱性的學(xué)習(xí)”“課程教學(xué)內(nèi)容修補(bǔ)式的調(diào)整”，并因此導(dǎo)致了數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中非?，F(xiàn)實(shí)的“不恰當(dāng)”“負(fù)遷移”等行為。也有一些學(xué)校請(qǐng)校內(nèi)外的專家對(duì)數(shù)學(xué)教師用高觀點(diǎn)指導(dǎo)的課堂教學(xué)進(jìn)行了把關(guān)，但是由于相關(guān)專家的“力道不夠”“理實(shí)分離”、相關(guān)干預(yù)沒有“對(duì)癥施策”，特別是沒能找到導(dǎo)致高觀點(diǎn)指導(dǎo)教學(xué)“效果不佳”“方法不恰當(dāng)”“負(fù)遷移”的真正原因，所以專家的教學(xué)介入也沒有能真正有效地激發(fā)學(xué)生或教師在高觀點(diǎn)指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中應(yīng)有的主體性。從總體上看，許多學(xué)校由專家介入形成的一些教學(xué)指導(dǎo)、課堂干預(yù)顯得非常被動(dòng)或者無力。比如，有的專家只是在課程教學(xué)實(shí)施之前給一些準(zhǔn)備參加教學(xué)比賽或上示范課、觀摩課的教師提供一些感性的建議，打一些聽起來“似乎很合理且面面俱到”的“預(yù)防針”，提醒教師哪些內(nèi)容“不應(yīng)講”“需要略講”，有的專家只是當(dāng)參加教改實(shí)驗(yàn)的教師產(chǎn)生了顯著不良的教學(xué)效果后才進(jìn)行正式的教學(xué)指導(dǎo)或干預(yù)，介入的目的主要是對(duì)有問題的老師進(jìn)行必要的“糾偏”“補(bǔ)救”。

二、大概念、大問題教學(xué)運(yùn)用的理性審視

用高觀點(diǎn)指導(dǎo)中小學(xué)雖然有很好的教學(xué)價(jià)值，但是由于沒有將教師高深的數(shù)學(xué)知識(shí)與教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行教學(xué)法的對(duì)接，知識(shí)的學(xué)術(shù)形態(tài)未能有效地向知識(shí)的教學(xué)形態(tài)轉(zhuǎn)換，所以在實(shí)踐中很容易形成進(jìn)退兩難的困境。如何改變呢？一個(gè)可行做法是借鑒“高觀點(diǎn)指導(dǎo)”的教學(xué)思想，在數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)問題的引入、分析上下功夫。事實(shí)上，在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中如果“抓不住關(guān)鍵思想以及不能將大概念與相關(guān)內(nèi)容知識(shí)‘聯(lián)系起來’，留給我們的就只是一些零碎的、無用的知識(shí)，不能起到任何作用”[3]，只有抓住數(shù)學(xué)活動(dòng)中的大概念、大問題，“高觀點(diǎn)指導(dǎo)”才能接到數(shù)學(xué)課堂的“地氣”，數(shù)學(xué)課堂的教與學(xué)才可能改變結(jié)構(gòu)上的“碎片化”、難度上的“隨意化”、手段上的“無效化”，并因此取得真正的高品質(zhì)數(shù)學(xué)教育和學(xué)生的持續(xù)進(jìn)步。

(一)應(yīng)重視大概念的教學(xué)運(yùn)用

之所以強(qiáng)調(diào)大概念的教學(xué)運(yùn)用，是因?yàn)榇蟾拍钍菍⒃S多數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)系為一個(gè)整體的核心。例如，由于函數(shù)是“從一些其他的量經(jīng)過一系列代數(shù)運(yùn)算而得到的，或者經(jīng)過任何其他想象到的運(yùn)算而得到的”[4]，能具體、生動(dòng)地反映了現(xiàn)實(shí)或理念世界中量的變化動(dòng)態(tài)，表示變化著量與量之間的相依關(guān)系，所以函數(shù)會(huì)具有不同于一般數(shù)學(xué)概念的特征，即它作為一種數(shù)學(xué)關(guān)系或者數(shù)學(xué)模型，具有很強(qiáng)的包容性、概括性，能將許多數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)結(jié)為一個(gè)整體。就初中的數(shù)學(xué)教學(xué)而言，函數(shù)可很好地聯(lián)結(jié)著代數(shù)式、方程、不等式等數(shù)學(xué)知識(shí)，在教學(xué)中要避免從形式上掌握函數(shù)的概念或者形式化地講解一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等具體的函數(shù)(包括它們的圖像和性質(zhì))，而是從“函數(shù)”這一大概念、大主題的視角分析分散于不同年級(jí)、不同單元、不同課時(shí)的教學(xué)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生用聯(lián)系和發(fā)展的眼光考察特定的數(shù)學(xué)對(duì)象，探究并理解包含于相關(guān)的變化規(guī)律以及蘊(yùn)含于其中的對(duì)應(yīng)關(guān)系，弄清函數(shù)概念背后的“思想”“方法”“模型”，用“函數(shù)思想”“函數(shù)模型”等觀念統(tǒng)攝與“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，幫助學(xué)生將所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，大概念處于上位、中心、深層的位置，是“少而重要”“強(qiáng)而有力”“可普遍遷移”的數(shù)學(xué)知識(shí)或數(shù)學(xué)觀念。合理利用大概念可以促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。以初一上學(xué)期的數(shù)學(xué)教學(xué)為例，代數(shù)式不僅構(gòu)成了“函數(shù)”“方程”等大概念的基礎(chǔ)，而且本身構(gòu)成了初一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一個(gè)關(guān)鍵性的數(shù)學(xué)概念。這是因?yàn)?，代?shù)式內(nèi)容的學(xué)習(xí)不僅關(guān)涉學(xué)生符號(hào)意識(shí)的建立以及數(shù)學(xué)思維上由算式到代數(shù)的過渡，而且關(guān)涉學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)、數(shù)學(xué)思考和后續(xù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)的夯實(shí)。為了揭示“代數(shù)式”這一大概念的內(nèi)涵以及與其相關(guān)的概念及性質(zhì)，數(shù)學(xué)教學(xué)中要借助現(xiàn)實(shí)情境引導(dǎo)學(xué)生了解代數(shù)式，引導(dǎo)學(xué)生借助觀察、類比、歸納、抽象等方法尋探代數(shù)式的意義，結(jié)合具體問題中簡(jiǎn)單數(shù)量關(guān)系的分析，學(xué)會(huì)用代數(shù)式進(jìn)行表示，通過列代數(shù)式、對(duì)代數(shù)式進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化、求值等活動(dòng)幫助學(xué)生構(gòu)建基于“代數(shù)式”大概念的數(shù)學(xué)思維，建立整式、分式、根式、合并同類項(xiàng)、因式分解等概念與代數(shù)式的關(guān)系，并因此更深入地理解數(shù)與量之間、量與量之間、式與式之間的關(guān)系。

對(duì)學(xué)生而言，經(jīng)由數(shù)學(xué)課堂教學(xué)會(huì)獲得一定的知識(shí)或信息，將它們組織成概念性的框架有利于在更大范圍內(nèi)實(shí)現(xiàn)特定主題知識(shí)學(xué)習(xí)的遷移，基于大概念進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)的組織可以讓學(xué)生更好地聚焦所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)，發(fā)揮大概念在數(shù)學(xué)認(rèn)知中的核心統(tǒng)帥作用。仍以初中代數(shù)式為例，由于代數(shù)式不僅是一種把未知當(dāng)成已知的符號(hào)化數(shù)學(xué)活動(dòng)，而且是利用這種符號(hào)化活動(dòng)進(jìn)行未知數(shù)求解的數(shù)學(xué)方法，所以在小學(xué)階段學(xué)過的結(jié)合律、交換律和分配律等與數(shù)的運(yùn)算律有關(guān)的規(guī)則都可以遷移到代數(shù)式的學(xué)習(xí)中，并因此建構(gòu)基于“代數(shù)式”這一新對(duì)象、新情境的數(shù)學(xué)運(yùn)算律，對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)產(chǎn)生“知識(shí)拓展”“結(jié)論運(yùn)用”“代數(shù)推理”等多方面的積極影響。

對(duì)數(shù)學(xué)教師而言，大概念不僅有利于教師把握并因此突出數(shù)學(xué)課程與教學(xué)在內(nèi)容維度的“重點(diǎn)”，而且有利于教師關(guān)注數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容內(nèi)部的“連貫性”和培養(yǎng)學(xué)習(xí)對(duì)象思維上的“嚴(yán)謹(jǐn)性”。比如，盡管廣大初中數(shù)學(xué)教師能認(rèn)識(shí)到函數(shù)的內(nèi)容貫穿于整個(gè)中小學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)，在初中引導(dǎo)學(xué)生學(xué)好函數(shù)這一大概念，可以更連貫性、更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乩斫庵行W(xué)的數(shù)學(xué)內(nèi)容，但是，函數(shù)教學(xué)價(jià)值的存在性并不能自動(dòng)轉(zhuǎn)化函數(shù)教學(xué)實(shí)踐的有效性。由于函數(shù)這一大概念的學(xué)習(xí)離不開變量這一基本概念的理解，并且變量這一概念又是一個(gè)具有辯證性的概念，所以為了有效實(shí)現(xiàn)函數(shù)教學(xué)預(yù)設(shè)的目標(biāo)，就應(yīng)當(dāng)自覺地關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)思維的辯證性水平。

重視大概念在數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用是國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)課程與教學(xué)改革的一個(gè)重要趨勢(shì)。美國(guó)《學(xué)校數(shù)學(xué)原則和標(biāo)準(zhǔn)》(NCTM，2000)曾強(qiáng)調(diào)“教師要能夠理解數(shù)學(xué)學(xué)科大概念，并能將數(shù)學(xué)表示為一個(gè)連貫而相互聯(lián)系的整體”[5]。我國(guó)2022年頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(以下簡(jiǎn)稱課標(biāo))指出：“為實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)導(dǎo)向的教學(xué)目標(biāo)，不僅要整體把握教學(xué)內(nèi)容之間的關(guān)聯(lián)，還要把握教學(xué)內(nèi)容主線與相應(yīng)核心素養(yǎng)發(fā)展之間的關(guān)聯(lián)?！薄霸诮虒W(xué)中要重視對(duì)教學(xué)內(nèi)容的整體分析，幫助學(xué)生建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、對(duì)未來學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識(shí)體系?！薄皬?qiáng)化對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，關(guān)注數(shù)學(xué)概念的現(xiàn)實(shí)背景，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)概念、原理及法則之間的聯(lián)系出發(fā)，建立起有意義的知識(shí)結(jié)構(gòu)?！薄疤剿鞔髥卧虒W(xué)，積極開展跨學(xué)科的主題式學(xué)習(xí)和項(xiàng)目式學(xué)習(xí)等綜合性教學(xué)活動(dòng)?！盵6]根據(jù)課標(biāo)，大概念是將核心素養(yǎng)目標(biāo)具化為課堂教學(xué)目標(biāo)的重要抓手，數(shù)學(xué)教師不僅要學(xué)會(huì)提取出特定內(nèi)容中的核心概念，而且要學(xué)會(huì)建立不同核心概念之間的聯(lián)系，形成大觀念，基于大觀念提出引導(dǎo)性的數(shù)學(xué)問題，設(shè)計(jì)具有思維挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)認(rèn)知任務(wù)，引導(dǎo)學(xué)生在任務(wù)探究中學(xué)會(huì)更有效地建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)、更深入地理解數(shù)學(xué)知識(shí)、更具創(chuàng)造性運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)。

(二)應(yīng)重視大問題的教學(xué)運(yùn)用

就問題對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)科的認(rèn)識(shí)論意義、方法論意義和價(jià)值論意義而言，大數(shù)學(xué)家希爾伯特曾經(jīng)指出“一門學(xué)科如果能不斷提出問題，那它就充滿活力”[7]，對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)科而言，問題是促使數(shù)學(xué)作為學(xué)科深入發(fā)展的原動(dòng)力，是數(shù)學(xué)的心臟，是呈現(xiàn)數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法等數(shù)學(xué)大概念的最好載體。

就問題對(duì)于教學(xué)的價(jià)值而言，由于數(shù)學(xué)課堂教學(xué)本質(zhì)上也是一個(gè)發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，所以問題對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)具有內(nèi)在的教育教學(xué)價(jià)值，它不僅培養(yǎng)并強(qiáng)化了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的意識(shí)和能力，而且通過相關(guān)意識(shí)和能力的培養(yǎng)，強(qiáng)化了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)推理，發(fā)展了學(xué)生的幾何直觀、空間觀念、數(shù)據(jù)意識(shí)、模型意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，這事實(shí)上也就達(dá)到了學(xué)生核心素養(yǎng)培養(yǎng)的目標(biāo)。由于學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)問題進(jìn)行求解的過程也是建立相關(guān)數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)命題或者運(yùn)用、檢驗(yàn)所學(xué)知識(shí)的過程，所以通過數(shù)學(xué)問題可以辨別、發(fā)現(xiàn)更為一般性的數(shù)學(xué)知識(shí)，揭示相關(guān)數(shù)學(xué)對(duì)象外部的特征或數(shù)學(xué)活動(dòng)內(nèi)部的規(guī)律，這在本質(zhì)上就有利于數(shù)學(xué)大概念的提煉、發(fā)展與運(yùn)用。

之所以強(qiáng)調(diào)大問題對(duì)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的引領(lǐng)作用，另一個(gè)非常重要的原因是大問題本身的特殊性并因此產(chǎn)生認(rèn)識(shí)論、方法論和價(jià)值論的意義。盡管問題對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科與數(shù)學(xué)教學(xué)都具有十分重要的認(rèn)識(shí)論意義、方法論意義和價(jià)值論意義，但是封閉、細(xì)小或碎片化的一般問題對(duì)整體的數(shù)學(xué)認(rèn)知來說又具有十分明顯的局限性。相對(duì)于數(shù)學(xué)活動(dòng)中問題真?zhèn)蔚呐袆e，探索者在數(shù)學(xué)活動(dòng)中很容易迷失對(duì)于問題本質(zhì)、要點(diǎn)或根本的分析，常會(huì)因拘泥于細(xì)節(jié)和單個(gè)的結(jié)點(diǎn)而導(dǎo)致數(shù)學(xué)活動(dòng)中的“見樹木不見森林”，探究者缺少數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)應(yīng)有的格局，學(xué)習(xí)效果不理想。事實(shí)上，許多學(xué)習(xí)主體經(jīng)由數(shù)學(xué)問題解決的學(xué)習(xí)常常滿足于具體結(jié)論的獲得或者停留于表面的操作性程序，而非由“程序”向“觀念”提升以及由“表層性觀念”向“結(jié)構(gòu)性觀念”躍變。類似的情況反映到數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中就形成了數(shù)學(xué)問題解決教學(xué)的局限性，即相關(guān)的問題對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的影響不夠，特別是不利于學(xué)生對(duì)于相關(guān)數(shù)學(xué)主題、序列或數(shù)學(xué)化過程中大概念的建立，有些教師對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)雖然提出了許多問題，但是問題對(duì)于整體性和有深度的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言卻不是一種恰當(dāng)，尤其是不能成為有較高教學(xué)思維價(jià)值的“引領(lǐng)性問題”。

較之于一般的問題，數(shù)學(xué)課程教學(xué)中的大問題有著自身的內(nèi)涵。一方面，這種問題通常超越了單一性的課時(shí)學(xué)習(xí)或局部性的數(shù)學(xué)認(rèn)知，是在更大范圍進(jìn)行教學(xué)內(nèi)容分析、知識(shí)序列梳理、大概念聚焦和數(shù)學(xué)思考拓展的結(jié)果，是有其自身特質(zhì)的真問題。另一方面，這種問題更多的是有著或線性化、或網(wǎng)絡(luò)化、或?qū)哟涡缘汝P(guān)系的結(jié)構(gòu)問題，不僅具有整體的挑戰(zhàn)性和系統(tǒng)的啟思性，與特定的知識(shí)單元具有自然的契合性，與特定的知識(shí)序列或數(shù)學(xué)大概念具有緊密的關(guān)聯(lián)性，統(tǒng)領(lǐng)著特定領(lǐng)域的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，而且能構(gòu)成學(xué)生數(shù)學(xué)思維展開的主線或數(shù)學(xué)活動(dòng)探究的主題，更合理地揭示了特定數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在本質(zhì)，更精準(zhǔn)地指向了數(shù)學(xué)活動(dòng)中核心素養(yǎng)的育人目標(biāo)。

(三)在教學(xué)中要注意大概念、大問題的協(xié)同運(yùn)用

數(shù)學(xué)教育教學(xué)的本質(zhì)既不是教師給學(xué)生傳授了多少具體的數(shù)學(xué)知識(shí)，也不是讓學(xué)生做了多少道數(shù)學(xué)題目，而是通過有效的引領(lǐng)、引導(dǎo)，讓學(xué)生探究或習(xí)得核心的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)原理。根據(jù)荷蘭數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾的現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育主張，師生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中應(yīng)通過積極的“再創(chuàng)造”和深入的“反思”，揭示數(shù)學(xué)活動(dòng)中的大概念和有價(jià)值的大問題，并因此彰顯數(shù)學(xué)教師有指導(dǎo)的數(shù)學(xué)教學(xué)法加工的價(jià)值。為了凸顯數(shù)學(xué)教育教學(xué)本質(zhì)，數(shù)學(xué)教育教學(xué)不僅離不開問題，而且離不開大問題以及大問題與大概念的協(xié)同運(yùn)用。在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，沒有大問題就沒有更加系統(tǒng)、深入的數(shù)學(xué)思考、整體思維，也就沒有數(shù)學(xué)知識(shí)整體性的建構(gòu)與拓展。

為了構(gòu)建數(shù)學(xué)的大概念，數(shù)學(xué)教育教學(xué)需要重視大問題的引領(lǐng)。大問題與大概念如影隨形、相伴相生，數(shù)學(xué)教學(xué)中的大問題促使了數(shù)學(xué)教學(xué)中大概念的形成與發(fā)展，數(shù)學(xué)教學(xué)中的大概念錨定了數(shù)學(xué)教學(xué)中大問題的分析與求解。大問題與大概念在數(shù)學(xué)知識(shí)建構(gòu)、數(shù)學(xué)實(shí)踐拓展的活動(dòng)中兩者互為機(jī)制，構(gòu)成了數(shù)學(xué)教育教學(xué)中核心素養(yǎng)培養(yǎng)的重要價(jià)值取向和具體目標(biāo)落實(shí)的關(guān)鍵機(jī)制。究其根本，大問題與大概念內(nèi)在的整合性、貫通性、建構(gòu)性、統(tǒng)攝力、組織力、遷移力與當(dāng)下核心素養(yǎng)培養(yǎng)的目標(biāo)與要求具有較好的適應(yīng)性和匹配度。以大問題、大概念為引領(lǐng)的數(shù)學(xué)教學(xué)不僅突出了數(shù)學(xué)教學(xué)的知識(shí)序列、關(guān)鍵主題，而且驅(qū)動(dòng)了學(xué)習(xí)者對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)化思考，驅(qū)動(dòng)了數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的組織者、主導(dǎo)者更理性地確定數(shù)學(xué)教學(xué)的主線、脈絡(luò)，有利于學(xué)與教的主體能結(jié)合特定的數(shù)學(xué)教學(xué)主題更精準(zhǔn)地確定以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)內(nèi)容。

三、教學(xué)中協(xié)同運(yùn)用大問題、大概念的建議

(一)明晰大概念對(duì)應(yīng)的大問題及問題求解的過程性要求

以“三角形全等判定”的教學(xué)為例，為幫助學(xué)生形成“三角形全等判定”大概念，教師需引導(dǎo)學(xué)生思考“全等判定”及其對(duì)應(yīng)的大問題，然后再具體地思考“三角形全等判定”所對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)問題，結(jié)合學(xué)生關(guān)于“全等判定”的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)形成要探究的數(shù)學(xué)問題。把問題簡(jiǎn)單化，可結(jié)合生活中的實(shí)際思考如何“制作兩面形狀相同與大小一致的三角形錦旗”“配制兩塊形狀相同與大小一致的三角形玻璃”？深入到數(shù)學(xué)化的條件，需進(jìn)一步思考，根據(jù)一個(gè)對(duì)應(yīng)邊或一個(gè)對(duì)應(yīng)角的條件能不能判斷？根據(jù)兩個(gè)對(duì)應(yīng)邊或兩個(gè)對(duì)應(yīng)角的條件能不能判斷？是不是一定需要三個(gè)對(duì)應(yīng)的條件才能判斷？在什么情況下有兩個(gè)條件就可以判斷？

從“三角形全等判定”的教學(xué)案例中可發(fā)現(xiàn)，為了在數(shù)學(xué)教學(xué)中實(shí)現(xiàn)大問題與大概念的協(xié)同運(yùn)用，教師需在提煉數(shù)學(xué)大概念的基礎(chǔ)上，聚焦大概念對(duì)應(yīng)的大問題，并將目標(biāo)問題進(jìn)行必要的細(xì)化分解。從教學(xué)設(shè)計(jì)的角度分析，只有真正弄清楚了大概念對(duì)應(yīng)的大問題，才能思考如何創(chuàng)設(shè)更加合適、更加有效的問題情境，才能以問題求解為目標(biāo)導(dǎo)向設(shè)計(jì)一系列有深度的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，才能將大問題與大概念的協(xié)同運(yùn)用有效落實(shí)到特定主題的教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)與課堂教學(xué)展開之中。

(二)協(xié)同運(yùn)用大問題、大概念需強(qiáng)化真問題的意識(shí)

與數(shù)學(xué)大概念相對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)大問題是教學(xué)形態(tài)的真問題而非教學(xué)形態(tài)的偽問題。所謂教學(xué)形態(tài)的真問題，是指能促使學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中大概念得以建構(gòu)、顯化或數(shù)學(xué)命題得以進(jìn)入探究視野、被發(fā)現(xiàn)的問題，是對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)具有啟動(dòng)、引導(dǎo)和維持的原始問題。與此相對(duì)，教學(xué)形態(tài)的偽問題是指對(duì)學(xué)生而言沒有數(shù)學(xué)概念建構(gòu)意義、數(shù)學(xué)思維發(fā)展價(jià)值、脫離常識(shí)或者歪曲地反映了數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)的問題。

有教師為了引入“變化率”這一數(shù)學(xué)概念，在教學(xué)中創(chuàng)設(shè)了與“氣球膨脹”相關(guān)的問題：某人向氣球中吹氣時(shí)發(fā)現(xiàn)氣球在慢慢地膨脹著，試探求氣球的半徑增加一定的量后，氣球的體積會(huì)相應(yīng)地增加多少。從教學(xué)角度來審視，這一問題就屬于一個(gè)偽問題。一方面，氣球是一個(gè)非標(biāo)準(zhǔn)的球，其體積計(jì)算本身是一個(gè)比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題；另一方面，在現(xiàn)實(shí)生活中很難有人在吹氣球時(shí)關(guān)心氣球體積精準(zhǔn)性的量變。

數(shù)學(xué)教學(xué)中強(qiáng)化學(xué)生真問題的意識(shí)既不意味著問題僅僅由教師提出，也不意味著問題僅僅由學(xué)生提出，而是強(qiáng)調(diào)師生基于大概念的問題互動(dòng)。為此，既需鼓勵(lì)學(xué)生基于深刻的數(shù)學(xué)理解和實(shí)踐反思進(jìn)行有效的提問，又要重視教師對(duì)于學(xué)生所提問題的引導(dǎo)、啟發(fā)，重視“學(xué)生問題提出、問題探究”與“教師問題引領(lǐng)、概念聚焦”之間的互動(dòng)與平衡，注意以大問題提煉、大概念聚焦為導(dǎo)向進(jìn)行教法學(xué)法的選擇、思維過程的暴露、認(rèn)知結(jié)構(gòu)的優(yōu)化和知識(shí)本質(zhì)的透視。

(三)協(xié)同運(yùn)用大問題、大概念需發(fā)揮不同類別問題的作用

對(duì)此，不僅要發(fā)揮本原性大問題的作用，而且也要發(fā)揮派生性大問題的作用。所謂本原性大問題是指促使包括數(shù)學(xué)大概念在內(nèi)的不同層次數(shù)學(xué)知識(shí)得到創(chuàng)建、演變、復(fù)合、重組、轉(zhuǎn)化、衍生、拓展、群落化、體系化的根源性數(shù)學(xué)問題。所謂派生性大問題是指由已經(jīng)知道或被明確提出的數(shù)學(xué)問題根據(jù)邏輯演繹、推理或自然導(dǎo)出產(chǎn)生的問題。

在初中“統(tǒng)計(jì)調(diào)查”這一主題的教學(xué)中，與學(xué)生有關(guān)的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目以及運(yùn)動(dòng)成績(jī)的數(shù)據(jù)就可設(shè)計(jì)為統(tǒng)計(jì)調(diào)查活動(dòng)中的本原性真問題。通過研究與學(xué)生運(yùn)動(dòng)有關(guān)的數(shù)據(jù)，學(xué)生不僅可評(píng)價(jià)當(dāng)前中小學(xué)學(xué)生的健康狀況，而且可為相關(guān)比賽中參賽選手的選拔提升決策依據(jù)。在此基礎(chǔ)上，師生可進(jìn)一步派生出“如何進(jìn)行既科學(xué)又高效的調(diào)查?”“如何設(shè)計(jì)有價(jià)值的調(diào)查問卷?”“開展相關(guān)調(diào)查最關(guān)鍵的因素是什么？”“調(diào)查多少個(gè)對(duì)象比較合適?”“如何保證抽樣中具有相等的可能性?”“如何結(jié)合所設(shè)計(jì)的調(diào)查方案，從數(shù)學(xué)角度界定調(diào)查中所涉及的對(duì)象？”“如何給自己確認(rèn)的調(diào)查方法進(jìn)行數(shù)學(xué)化的界定?”等問題。前后聯(lián)系起來看，這些本原性或派生性的問題不僅具有整體性，而且具有連續(xù)性，學(xué)生通過這些問題可有效探析抽樣調(diào)查、全面調(diào)查等數(shù)學(xué)方法以及不同方法之間的邏輯關(guān)系，教師通過這些真問題可驅(qū)動(dòng)學(xué)生體會(huì)諸如“數(shù)據(jù)收集與分析”“總體與樣本”“抽樣與隨機(jī)性”等數(shù)學(xué)思想方法。

再以微積分的教學(xué)為例進(jìn)行說明。在數(shù)學(xué)史上，緊接著函數(shù)概念的采用，產(chǎn)生了微積分，它是繼歐幾里德(Euclid)幾何之后，全部數(shù)學(xué)中的一個(gè)最大的創(chuàng)造[8]，微積分作為一個(gè)數(shù)學(xué)大概念不僅是以數(shù)學(xué)化的方式對(duì)連續(xù)變化進(jìn)行深刻理解的重要工具，而且也是在理解與掌握了“無窮”這一數(shù)學(xué)知識(shí)之后創(chuàng)建的一套計(jì)算方法。如何才能讓學(xué)生經(jīng)由數(shù)學(xué)課堂教學(xué)活動(dòng)深刻地理解并掌握微積分這一大概念呢？教師在教學(xué)法加工過程中需要關(guān)注微積分作為一個(gè)“創(chuàng)造”的哪些內(nèi)容呢？相應(yīng)的創(chuàng)造有哪些必要的形成過程？歷史上那些偉大的數(shù)學(xué)家在相關(guān)數(shù)學(xué)活動(dòng)中思考并希望得到解決的基本問題是什么？順著這一思路，就不難看到微積分與如下4個(gè)基本問題緊密相關(guān)，即：怎樣求曲線的切線？怎樣計(jì)算“直線x=a，x=b，y=0，以及曲線y=f(x)所圍曲面圖形”的面積？如何計(jì)算物體在某個(gè)位置上的速度、加速度？如何找出最優(yōu)解——函數(shù)的最大值或最小值問題？正是這些問題構(gòu)成了微積分這一數(shù)學(xué)大概念產(chǎn)生的本原性數(shù)學(xué)大問題。

派生性大問題對(duì)于學(xué)生“微積分”大概念的建立也有著重要的作用。歷史上，阿基米德(Archimedes)“逼近法”算出了球的表面積、球的體積以及拋物線、橢圓的面積。但是，人們?cè)诋?dāng)時(shí)能夠真正精準(zhǔn)計(jì)算出面積的曲邊圖形并不多。由此，在形成“微積分”“不定積分”“定積分”等本原性數(shù)學(xué)問題之后，“如何計(jì)算一個(gè)具體函數(shù)的定積分”就成為一個(gè)“曲邊圖形面積計(jì)算”緊密相關(guān)的派生性問題。這一問題將人們的算法思維由特殊曲邊圖形面積的求解擴(kuò)展到了一般曲邊圖形面積的求解。那么，面積的求解是否已經(jīng)完全解決了呢？顯然不是。這是因?yàn)?，盡管從理論說是可以借助定積分這一概念進(jìn)行所給曲邊圖形面積的求解，不過在實(shí)際進(jìn)行的定積分計(jì)算通常較煩瑣，問題求解者會(huì)遇到許多難以克服的困難。由此，也導(dǎo)致了學(xué)習(xí)者對(duì)不定積分概念產(chǎn)生再審視的要求，把問題求解者的思維導(dǎo)向定積分與被積函數(shù)原函數(shù)或者不定積分之間聯(lián)系的討論。后者的一個(gè)重要貢獻(xiàn)就是導(dǎo)致了微積分基本定理即牛頓-萊布尼茲公式的出現(xiàn)。

(四)協(xié)同運(yùn)用大問題、大概念重在協(xié)同的基礎(chǔ)上突出運(yùn)用

大問題、大概念在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的協(xié)同是指圍繞核心素養(yǎng)育人目標(biāo)落實(shí)，用大概念驅(qū)動(dòng)大問題，讓大問題成為構(gòu)架大概念與關(guān)鍵概念相互聯(lián)系的橋梁，將抽象性、啟思性、統(tǒng)攝性的大問題轉(zhuǎn)化為具有內(nèi)在邏輯關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)活動(dòng)問題鏈，通過大問題引發(fā)關(guān)鍵概念學(xué)習(xí)[9]，強(qiáng)調(diào)師生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中的相互協(xié)作以及大概念與大問題的相互配合，并由此實(shí)現(xiàn)大概念、大問題在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)運(yùn)用中的合目的性與合規(guī)律性。大問題、大概念在協(xié)同基礎(chǔ)上的運(yùn)用是指通過合理、有效的運(yùn)用，強(qiáng)化數(shù)學(xué)課堂教學(xué)活動(dòng)中問題與概念的互動(dòng)與協(xié)進(jìn)，促進(jìn)思維與知識(shí)之間的聯(lián)結(jié)與整合。大問題、大概念在協(xié)同基礎(chǔ)上的運(yùn)用既是為了加深學(xué)生對(duì)于大問題與大概念本身的理解與運(yùn)用，也是為了檢驗(yàn)學(xué)生基于大問題與大概念所建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握程度和所建構(gòu)數(shù)學(xué)能力的遷移水平。

以初中函數(shù)知識(shí)學(xué)習(xí)中大問題與大概念的協(xié)同運(yùn)用為例，在初一時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生直觀地認(rèn)識(shí)、分析變量的概念，根據(jù)函數(shù)圖像分析出實(shí)際問題中變量的信息，基于變量的概念獲得變量依存關(guān)系的感性認(rèn)識(shí)，發(fā)現(xiàn)變量之間的變化規(guī)律，在此基礎(chǔ)上歸納、概括出了函數(shù)定義。在初二時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)函數(shù)的圖像和性質(zhì)進(jìn)行初步探究，結(jié)合函數(shù)圖像分析簡(jiǎn)單實(shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系，初步推測(cè)相關(guān)變量的變化趨勢(shì)，初步掌握函數(shù)研究的一些基本方法。在初三時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)圖像對(duì)一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)及其交點(diǎn)問題進(jìn)行討論，強(qiáng)調(diào)研究交點(diǎn)的實(shí)際意義，同時(shí)將所學(xué)函數(shù)知識(shí)運(yùn)用到幾何圖形變換、相似分析、最值求解等問題。在這一系列的數(shù)學(xué)活動(dòng)過程中，學(xué)生不僅在概念、圖像、性質(zhì)等方面對(duì)函數(shù)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行了建構(gòu)，根據(jù)函數(shù)圖像對(duì)一次函數(shù)和二元一次方程之間關(guān)系、二次函數(shù)與一元二次方程之間關(guān)系進(jìn)行了解釋，利用二次函數(shù)圖像對(duì)一元二次方程近似解進(jìn)行了探求，而且借助于所建構(gòu)的函數(shù)知識(shí)和函數(shù)觀念解決了一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，增強(qiáng)了函數(shù)思想與方法的應(yīng)用意識(shí)。為進(jìn)一步突出函數(shù)的應(yīng)用，在后續(xù)的學(xué)習(xí)中可進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生通過函數(shù)圖像獲取并分析信息，用函數(shù)觀點(diǎn)研究與方程、不等式等有關(guān)的大概念、大問題，運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)解決一些具有綜合性或跨學(xué)科的問題，從中進(jìn)一步拓展函數(shù)大概念的應(yīng)用，建構(gòu)用函數(shù)思想解決不同類別數(shù)學(xué)問題的具體方法或策略。▲