江蘇省灌云高級中學(xué) (222000) 孫 紅

江蘇省太湖高級中學(xué) (214125) 翟洪亮

美國學(xué)者杜賓斯基等人建立的針對數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的APOS理論，強調(diào)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念需要進行心理建構(gòu)，經(jīng)歷操作(Action)、過程(Process)、對象(Object)、圖式(Schemas)四個階段,APOS理論的應(yīng)用改變概念教學(xué)中靜態(tài)的教學(xué)方式，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，以活動為載體，通過操作使學(xué)生感受概念的形成過程，有利于學(xué)生結(jié)合自身經(jīng)驗，建構(gòu)新的概念體系，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).橢圓的幾何性質(zhì)中概念較多，基于APOS理論的指導(dǎo)，從特殊的橢圓著手，讓學(xué)生實驗操作去感受相關(guān)概念、性質(zhì)的發(fā)生過程，再引導(dǎo)學(xué)生從方程的視角加以研究，現(xiàn)整理如下：

一、教學(xué)實錄

1.問題引入，承上啟下

師：前面我們學(xué)習(xí)了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，完成橢圓教學(xué)的第一任務(wù)：根據(jù)已知條件,求出橢圓的方程.請大家做練習(xí)：

1.已知A(-2,0)，B(2,0)，且CA+CB=8，則點C所在曲線的方程為.

2.已知A(-2,0)，B(2,0)，且ΔABC的周長為12，則點C所在曲線的方程為.

對于第1題，哪位同學(xué)回答一下？

圖1

師：很好！哪位同學(xué)回答一下第2題？

師：答案正確嗎？

生：不正確，如圖2，若要構(gòu)成三角形，則要去掉直線AB上的兩點(-4,0)，(4,0).

圖2

生：由圖2知點C橫坐標(biāo)的取值范圍是-4

師：這是從圖形的視角得到的.若從橢圓方程的視角加以分析，誰能給出它的求解的過程呢？通過橢圓方程,研究橢圓的性質(zhì)，這是橢圓教學(xué)的第二任務(wù).

設(shè)計意圖：通過題組，既鞏固所學(xué)橢圓的方程，又引出橢圓的范圍問題，自然過渡到橢圓的幾何性質(zhì)，即橢圓教學(xué)的第二任務(wù)，旨在提高學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)運算和邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng).

師：這說明橢圓位于直線x=±a和y=±b所圍成的矩形內(nèi).

設(shè)計意圖：從特殊橢圓到一般橢圓，從圖形直觀到方程性質(zhì)，符合學(xué)生的認(rèn)知特點，便于學(xué)生接受新知.旨在提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運算和邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng).

2.妙用舊知，銜接自然

圖3

師：由此能得到什么？

師：請大家將紙片分別沿x軸、y軸對折，看橢圓的兩側(cè)是否重合？

生：重合.

師：這說明猜想是正確的,如何證明呢？

(1)3x2-2y2=1；(2)x2+2xy+3y2=0；

(3)y=3x2+1.

生：(1)3x2-2y2=1所表示的曲線關(guān)于x軸、y軸對稱，關(guān)于原點對稱；(2)x2+2xy+3y2=0所表示的曲線不是關(guān)于x軸、y軸對稱，關(guān)于原點對稱；(3)y=3x2+1所表示的曲線僅關(guān)于y軸對稱.

圖4

師：由拋物線類比到橢圓，兩條對稱軸與它的四個交點都是橢圓的頂點，線段A1A2,B1B2分別叫做橢圓的長軸和短軸，它們的長分別為2a和2b，a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長.現(xiàn)在請大家思考：在求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時，為什么要令a2-c2=b2呢？

生：在圖4中，a，b，c恰是Rt△B2OF2的三邊長，b有特定的幾何意義.

和焦點坐標(biāo)F1(-2,0)，F(xiàn)2(2,0).

設(shè)計意圖：由特殊橢圓上的整點猜想其對稱性，進而推廣到一般橢圓的對稱性證明，通過練習(xí)過渡到拋物線對稱性的判斷，再由拋物線的頂點順利過渡到橢圓的頂點.旨在提高學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)運算和邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng).

3.動畫展示，促進理解

師：請大家拿出圓規(guī)和棉線，通過實驗操作探討下列問題：在保持棉線8個單位長度不變的情況下，當(dāng)焦距AB變長時，橢圓的形狀如何改變？當(dāng)焦距AB變短時，橢圓的形狀如何改變？

生：因為保持棉線長度不變，所以橢圓的長軸長不變.當(dāng)焦距AB變長時，如圖5，橢圓變扁；當(dāng)焦距AB變短時，如圖6，橢圓變圓.(教師同時通過幾何畫板演示)

圖5

圖6

師：當(dāng)焦距AB變長時，焦點離開橢圓中心O越來越遠；當(dāng)焦距AB變短時，焦點離開橢圓中心O越來越近.如何刻畫橢圓焦點離開中心的程度呢？(學(xué)生沉默)我們是如何刻畫直線的傾斜程度呢？

生：利用直線的斜率.

師：直線的斜率是縱坐標(biāo)的變化量與橫坐標(biāo)的變化量之比.當(dāng)甲乙兩人在不同時間跑完不同的路程，我們又是如何比較他們的快慢呢？

生：比較他們的速率(路程與時間之比)，誰的速率大，誰就快.

師：那么如何刻畫焦點離開中心程度呢？

生：也用比率，可用焦距與長軸長的比.

生：橢圓越接近于圓.

師：當(dāng)e越接近于1時，橢圓形狀如何改變？

師：這個問題含金量很高.誰能解答這個問題？

設(shè)計意圖：在保持長軸長不變的情況下，通過改變焦距，讓學(xué)生直觀感受到橢圓的圓扁程度變化，由斜率、速率類比到離心率，讓學(xué)生從原始定義出發(fā)，幫助學(xué)生理解新知，提高學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象等數(shù)學(xué)素養(yǎng).

4.自主探究，鞏固新知

師：我們現(xiàn)在可以利用相關(guān)性質(zhì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.請大家完成練習(xí)：

(1)中心在原點，焦點在x軸上，長軸長等于10，短軸長等于6的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

(2)中心在原點，長軸長等于10，離心率等于0.6的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

設(shè)計意圖：通過練習(xí)，強化學(xué)生利用橢圓性質(zhì)解決問題能力，旨在提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運算和邏輯推理等核心素養(yǎng)．

二、課后感受

1.注重引入，使內(nèi)容過渡自然

核心素養(yǎng)是在特定的情境中表現(xiàn)出來的知識、能力和態(tài)度.基于核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)教學(xué)特別重視情境的創(chuàng)設(shè)和問題的提出.解析幾何教學(xué)解決的兩大任務(wù)：一是根據(jù)所給條件求圓錐曲線的方程；二是根據(jù)圓錐曲線的方程研究圓錐曲線的性質(zhì).橢圓的幾何性質(zhì)是解析幾何中首次比較系統(tǒng)地根據(jù)圓錐曲線的方程研究圓錐曲線的幾何性質(zhì)，這對學(xué)生來說是全新內(nèi)容，本節(jié)課通過兩個相關(guān)習(xí)題，直奔主題，從點滿足橢圓的定義得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程出發(fā)，通過變式引出橢圓的范圍,實現(xiàn)從圖形到方程視角的轉(zhuǎn)變，從等式到不等式的跨越，旨在強調(diào)通過橢圓的方程來研究橢圓的幾何性質(zhì)的目的，讓學(xué)生去初步領(lǐng)略解析幾何的第二任務(wù)，體會它的教學(xué)價值.

2.注重操作，使學(xué)生認(rèn)識深刻

橢圓的幾何性質(zhì)這一節(jié)概念多，為了讓學(xué)生認(rèn)識深刻，通過讓學(xué)生動手操作，在操作中接受多方信息刺激，感悟相關(guān)概念和性質(zhì).如讓學(xué)生通過對所畫特殊橢圓的觀察、整點代入方程驗證，發(fā)現(xiàn)四個特殊整點間的對稱關(guān)系，通過折疊圖形驗證，猜想橢圓的對稱性，再上升到理性的代數(shù)證明.當(dāng)操作中點C位于橢圓短軸時，在直角三角形中易得a2=b2+c2，通過圖形直觀有力地揭示在求橢圓方程時為何要令b2=a2-c2的根源所在，加深學(xué)生對橢圓短軸的理解.在保持橢圓長軸長不變的情況下，通過改變焦距的大小，畫出不同形狀的橢圓，讓學(xué)生直觀感受到橢圓的圓扁程度與焦點離開中心的遠近程度有關(guān)，便于學(xué)生理解離心率的定義.

3.注重類比，使學(xué)生理解容易

著名心理學(xué)家奧蘇泊爾說：“假如讓我把全部教育心理學(xué)僅僅歸結(jié)為一條原理的話，那么，我將一言蔽之：影響學(xué)習(xí)的唯一最重要的因素，就是學(xué)習(xí)者已經(jīng)知道什么.要探明這一點，并應(yīng)據(jù)此進行教學(xué).”這說明教學(xué)應(yīng)從學(xué)生已有的知識、經(jīng)驗和能力出發(fā)，立足最近發(fā)展區(qū)，要注重新舊知識間的類比.注重研究方法的類比.在代數(shù)中研究指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)時都是由特殊的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象著手，歸納得到一般的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì).同樣在解析幾何中，對于橢圓的性質(zhì)研究也可以從特殊橢圓著手，再推廣到焦點在x軸上的一般橢圓的性質(zhì)，從而可以放手讓學(xué)生自主探究焦點在y軸上的一般橢圓的性質(zhì).由拋物線的頂點位置類比到橢圓的頂點位置，銜接自然.注重定義的類比，通過斜率、速率類比到離心率的定義，用比值來刻畫方法是自然的，在后面導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)中平均變化率也是通過比來刻畫的，使學(xué)生深刻地認(rèn)識到數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法是相互連通的，從而發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)眼光，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).