劉舉

多元最值問題中往往涉及多個(gè)變量，無法直接利用簡(jiǎn)單基本函數(shù)的性質(zhì)以及圖象來求解，需從已知條件和目標(biāo)式的結(jié)構(gòu)特征入手，靈活運(yùn)用三角換元法、消元法、基本不等式法等求解.下面結(jié)合實(shí)例談一談求解多元最值問題的幾種措施.

一、消元

消元法是解答多元最值問題的重要方法，即根據(jù)變量之間的關(guān)系，用其中某個(gè)變量來表示其他變量，從而達(dá)到消元的目的，進(jìn)而將題目轉(zhuǎn)化為單變量最值問題，利用函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)法進(jìn)行求解即可.

例[1].已知[a>0，b>0，c>0]，且[ab=1，a2+b2+c2=4]，求[ab+bc+ac]的最大值.

解：由[a2+b2+c2=4]可得[4-c2=a2+b2≥2ab=2]，

則[ab+bc+ac=1+ca+b]

二、三角換元

運(yùn)用三角換元法解答二元最值問題，通常要用[sinα、cosα、tanα]來替換問題中的變量，然后通過三角恒等變換化簡(jiǎn)目標(biāo)式，從而將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值來求解.在進(jìn)行三角換元時(shí)，往往要尋找或構(gòu)造與同角的三角函數(shù)關(guān)系式[sin2α+cos2α=1]結(jié)構(gòu)一致的式子.

例[2].已知實(shí)數(shù)[x，y]滿足[x2+y2≤1]，求[x2+2xy-y2]的最大值.

解：令[x=rcosθ，y=rsinθ]，且[0

則[x2+2xy-y2=r2cos2θ-sin2θ+2sinθcosθ]

由[x2+y2≤1]可以聯(lián)想到同角的三角函數(shù)關(guān)系式[sin2θ+cos2θ=1]，于是令[x=rcosθ，y=rsinθ]，且[0

三、利用基本不等式

解：因?yàn)閇x>y>z>0]，

通過觀察、分析，可發(fā)現(xiàn)目標(biāo)式為兩個(gè)單項(xiàng)式的和，后一項(xiàng)的分母由兩項(xiàng)的積構(gòu)成，于是將[x-z]配湊成[（x-y）+（y-z）]，使其與后一項(xiàng)的分母相乘為常數(shù)，這樣便可直接利用基本不等式求得目標(biāo)式的最值.

求解多元最值問題，要仔細(xì)研究變量之間的關(guān)系，將其與目標(biāo)式關(guān)聯(lián)起來，通過消元、三角換元，或利用基本不等式，順利求得最值.