陳益龍

求異面直線之間的距離問題的難度一般不大，此類問題側重于考查異面直線之間的距離的定義、簡單空間幾何體的性質，點、線、面之間的位置關系.下面結合一道題，探討一下求異面直線之間距離的幾個“妙招”.

題目：已知正方體[ABCD-A1B1C1D1]的棱長為1，求異面直線[A1D]與[AC]之間的距離.

該題目中的條件較為簡單，需先根據(jù)圖形明確題目中點、線、面之間的位置關系；然后運用公垂線法、轉化法、構造函數(shù)法、等體積法、向量法求解.

一、利用公垂線法

異面直線之間的距離是指異面直線之間的公垂線段的長.而求異面直線之間的距離，關鍵是找出兩條異面直線之間的公垂線.通常可根據(jù)簡單空間幾何體的性質，點、線、面之間的位置關系尋找兩條異面直線的垂線或公垂線.再通過構造直角三角形，利用勾股定理求得公垂線的長.

解：如圖1，取[AD]的中點[M]，連接[MD1， MB]，分別交[A1D， AC]于點[E，F(xiàn)]，連接[BD1].

因為[ABCD-A1B1C1D1]為平行四邊形，

由[A1D⊥AD1， A1D⊥AB]可得[A1D⊥平面ABD1]，

則[A1D⊥BD1]，同理可得[AC⊥BD1]，

所以[EF⊥A1D，EF⊥AC]，

即[EF]為異面直線[A1D]與[AC]的距離，

運用公垂線法解題，往往要找準公垂線段，不可只憑借直觀猜想確定公垂線，需要結合線面垂直的判定定理、面面垂直的性質定理等進行證明、檢驗.

二、采用轉化法

有時我們無法直接畫出或者找到異面直線之間的公垂線，此時不妨采用轉化法，過其中一條直線所在的平面作另外一條直線的平行線，將異面直線之間的距離轉化為直線到與其平行的平面之間的距離，或兩個平行平面之間的距離.

解法1.如圖2，連接[A1C1，C1D]，則[AC//平面A1C1D].

設[AC，BD]交于點[O]，[A1C1，B1D1]交于點[O1]，連接[O1D]，作[OE⊥O1D]于點[E]，

由[A1C1⊥平面BB1D1D]可知[A1C1⊥OE]，

所以[OE⊥平面A1C1D].

所以[OE]為異面直線[A1D]與[AC]的距離.

在[RtΔOO1D]中，[OE?O1D=OD?OO1]，

通過添加輔助線，即可發(fā)現(xiàn)[AC//平面A1C1D]，而[A1D?平面A1C1D]，那么找到[AC與平面A1C1D]的垂線OE，求得OE的長即可求得異面直線[A1D]與[AC]的距離.

解法2.如圖3，連接[AB1，CB1A1C1，DC1，BD1]，

由正方體的性質可知平面[A1C1D][//平面ACB1]，

則異面直線[A1D]與[AC]的距離等于平面[A1C1D]與平面[ACB1]的距離，

而[BD1⊥平面ACB1，BD1⊥平面A1C1D]，

所以[BD1]被平面[ACB1]和平面[A1C1D]三等分，

根據(jù)正方體的性質可知平面[A1C1D][//平面ACB1]，而[AC?平面ACB1]，[A1D?平面A1C1D]，這樣便將異面直線之間的距離轉化為兩個平行平面之間的距離.

三、構造函數(shù)

異面直線之間的距離即為兩異面直線上任意兩點之間的最小距離.在求異面直線之間的距離時，通常可先根據(jù)點、線、面之間的位置關系，求得兩異面直線上任意兩點之間距離的表達式；再將該表達式視為函數(shù)式，將問題轉化為求該函數(shù)式的最小值，從而求得異面直線之間的距離.

解：如圖4，在[A1C]上任取一點[E]，作[EM⊥AC]于點[M]，作[MF⊥AD]于點[F]，連接[EF]，則[EM⊥FM]，

則[∠EMF=90°]，設[MC=x，則ME=x，AM=1-x]，

在[RtΔAMF]中，[∠FAM=45°]，

運用構造函數(shù)法求異面直線之間的距離，需通過構造函數(shù)，將問題轉化為函數(shù)最值問題來求解.這樣便能轉換解題的思路，從新的途徑求得異面直線之間的距離.

四、采用等體積法

運用等體積法求異面直線之間的距離，需先將異面直線的距離視為三棱錐的高，構造三棱錐；然后根據(jù)已知條件求得三棱錐其他底面和高，從而求得三棱錐的體積；再根據(jù)三棱錐的體積相等，更換三棱錐的底面，求得相應的高，即可求得異面直線之間的距離.

解：如圖5，連接[AB1，B1C，B1D]，則[A1D//平面AB1C]，

設異面直線[A1D]與[AC]之間的距離為[h]，

則點[D]到平面[AB1C]的距離也為[h].

五、運用向量法

解：以[B1]為原點，[A1B1]為x軸，[B1C1]為y軸建立空間直角坐標系，

設異面直線[A1D]和[AC]的公垂線的方向向量為[n=（x，y，z）]，

此方法的適用范圍較廣，解題的關鍵在于建立合適的空間直角坐標系，求出公垂線段的方向向量.一般地，根據(jù)正方體、長方體、直棱柱的結構特征，來尋找三條互相垂直的直線，并將其作為坐標軸，來構造空間直角坐標系.

可見，求異面直線之間的距離的方法較多.在解題時，同學們需根據(jù)解題需求和幾何圖形的特征，選擇與之相應的方法進行求解.