楊會(huì)新

直線對(duì)稱問題經(jīng)常出現(xiàn)在解析幾何試題中.這類問題主要考查中點(diǎn)的坐標(biāo)公式、點(diǎn)到直線的距離公式、直線的斜率公式、平行線之間的距離公式等的應(yīng)用.下面主要談一談三類直線對(duì)稱問題的解法.

一、兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱問題

若兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則該直線就是對(duì)稱軸，那么這兩個(gè)點(diǎn)的中點(diǎn)在對(duì)稱軸上，且這兩點(diǎn)所在的直線與對(duì)稱軸相互垂直，根據(jù)直線的斜率公式與中點(diǎn)的坐標(biāo)公式建立關(guān)系式，即可解題.

例1.已知經(jīng)過點(diǎn)[M（-3，4）]的入射光線，被直線[l：x-y+3=0]反射后經(jīng)過點(diǎn)[N（2，6）]，求反射光線所在直線的方程.

解：設(shè)點(diǎn)[M（-3，4）]關(guān)于直線[l：x-y+3=0]對(duì)稱的點(diǎn)為[M（a，b）]，

則反射光線所在的直線經(jīng)過[M（a，b）]，

又因?yàn)榉瓷涔饩€經(jīng)過點(diǎn)[N（2，6）]，

所以反射光線所在直線的方程為[y-0=6（x-1）]，即[6x-y-6=0].

解答本題，要注意：（1）兩點(diǎn)M、[M]所在的直線與直線l互相垂直，據(jù)此求得[MM]的斜率；（2）兩點(diǎn)M、[M]的中點(diǎn)在直線l上，據(jù)此求得[MM]上一點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程求直線[MM]的方程.

二、直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱問題

若直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則這兩條直線平行，且點(diǎn)到兩直線的距離相等.可根據(jù)兩平行線之間的距離公式進(jìn)行求解；也可以在直線上任取一點(diǎn)，將問題轉(zhuǎn)化為直線上的一點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的問題來求解.

例2.已知直線[l：2x+11y+16=0]，求直線[l]關(guān)于點(diǎn)[P（0，1）]對(duì)稱的直線[l]的方程.

或[c=16]（舍去），所以直線[l]的方程為[2x+11y-38=0].

通過分析題意，可以發(fā)現(xiàn)兩條對(duì)稱直線平行，根據(jù)對(duì)稱中心到兩條直線的距離相等建立方程，求得c的值，就可以得到直線[l]的方程.

三、直線關(guān)于直線對(duì)稱問題

兩條直線關(guān)于某一條直線對(duì)稱的問題，一般可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的問題.先求得所求直線上某一點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)；然后根據(jù)直線的斜率公式與中點(diǎn)坐標(biāo)公式建立關(guān)系式，即可求出對(duì)稱直線的方程.

例[3].求直線[L：x-y-2=0]關(guān)于直線[3x-y+3=0]對(duì)稱的直線方程.

解：在[L：x-y-2=0]上任取一點(diǎn)[P1（x1，y1）]，該點(diǎn)關(guān)于直線[3x-y+3=0]對(duì)稱的點(diǎn)為[P2（x，y）]，

又因?yàn)閇3x-y+3=0]的斜率為[3]，

將其代入[x1-y1-2=0]，得[7x+y+22=0]，

所以所求直線的方程為[7x+y+22=0].

我們將直線對(duì)稱問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱問題，取直線[L：x-y-2=0]上的一點(diǎn)[P1]，并將其與對(duì)稱點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)代入對(duì)稱軸[3x-y+3=0]，這樣便可用更為簡便的方式獲得問題的答案.

總而言之，解答直線對(duì)稱問題，需明確點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與線、線與線之間的位置關(guān)系，確定其對(duì)稱中心、對(duì)稱軸，靈活運(yùn)用對(duì)稱圖形的性質(zhì)建立關(guān)系式.