譚春榮

三次函數(shù)較為特殊，其最高次數(shù)為三次.解答三次函數(shù)問題，需重點研究函數(shù)的解析式、性質(zhì)、圖象.下面一起來探討求解三次函數(shù)問題的思路.

一、三次函數(shù)的切線問題

解答三次函數(shù)的切線問題，通常需根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求三次函數(shù)圖象在切點處的斜率.我們知道，函數(shù)f（x）在點x0處的導(dǎo)數(shù)[f（x0）]的幾何意義是在曲線y＝f（x）上點P（x0，y0）處的切線的斜率，此時切線的方程為y－y0＝[f（x0）（x-x0）].對三次函數(shù)求導(dǎo)后，將切點的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)數(shù)式，即可根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得三次函數(shù)圖象在切點處的斜率.

例1.若過點[0，2]可作曲線[y=x3+3x2+ax+a-2]的三條切線，則[a]的取值范圍是（? ? ?）.

A. [-3，-1]? ? ?B. [-2，2]? ? ? C. [4，5]? ? ? D. [4，6]

解：設(shè)切點的坐標(biāo)為[Px0，x30+3x20+ax0+a-2]，

由函數(shù)[y=x3+3x2+ax+a-2]，

可得[y=3x2+6x+a]，則[y|x=x0=3x20+6x0+a]，

所以切線的方程為[y-x30+3x20+ax0+a-2=3x20+6x0+ax-x0]，

因為切線過點[0，2]，所以[2-x30+3x20+ax0+a-2]

[=3x20+6x0+a0-x0]，

整理得[2x30+3x20+4-a=0]，

設(shè)[gx=2x3+3x2][+4-a]，所以[gx=6x2+6x]，

由[gx>0]得[x<-1]或[x>0]，由[gx<0]得[-1

所以[gx]在[-∞，-1]上單調(diào)遞增，在[-1，0]上單調(diào)遞減，在[0，+∞]上單調(diào)遞增，

所以[a]的取值范圍是[4，5]．故本題選C項．

先設(shè)出切點的坐標(biāo)[Px0，x30+3x20+ax0+a-2]；然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得切線的斜率和方程，即可根據(jù)切線過點[0，2]，得到[2x30+3x20+4-a=0]；再設(shè)[gx=2x3+3x2][+4-a]，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系判斷出函數(shù)[gx]單調(diào)性和極值，便可建立關(guān)于a的不等式組.

二、三次函數(shù)的單調(diào)性問題

判斷三次函數(shù)的單調(diào)性，往往需先對函數(shù)求導(dǎo)，然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系進(jìn)行判斷.若導(dǎo)函數(shù)大于0，則函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增；若導(dǎo)函數(shù)小于0，則函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞減.

（2）若[f（x）]在區(qū)間[（m，+∞）]上有極小值，求實數(shù)[m]的取值范圍．

（2）由（1）知[f′（x）=0]，即[x2+mx-1=0]，

當(dāng)[xx2]時，[f′（x）>0]，當(dāng)[x1

所以函數(shù)[f（x）]在[（-∞，x1），（x2，+∞）]上單調(diào)遞增，在[（x1，x2）]上單調(diào)遞減，

因此函數(shù)[f（x）]在[x2]處取得極小值，

求解這類三次函數(shù)單調(diào)性、極值問題，應(yīng)先根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系判斷出函數(shù)在各個區(qū)間上的單調(diào)性；再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和極值的定義確定極值.必要時可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性畫出相應(yīng)的圖象，借助函數(shù)的圖象來解題.

三、三次函數(shù)的零點問題

函數(shù)的零點問題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)與x軸的交點問題.在求解三次函數(shù)的零點問題時，可先根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系判斷出函數(shù)的單調(diào)性、極值；然后畫出函數(shù)的圖象，通過研究函數(shù)圖象與x軸的交點，求得問題的答案.

例3.已知函數(shù)[fx=x3-3x]，則函數(shù)[hx=ffx-c]，[c∈-2，2]的零點個數(shù)為（? ? ?）.

A. 3? ? ? B. 5? ? ? C. 10? ? ? D. 9

解：令[hx=ffx-c=0]，

則[ffx=c]，

令[fx=t]，即[ft=c]，

可知[fx=3x2-3]，由[fx>0]，得[x>1]或[x<-1]，由[f′x<0]得[-1

所以函數(shù)[fx]在區(qū)間[-∞，-1]和[1，+∞]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞減，畫出如圖所示的圖象.

因為[c∈-2，2]，所以方程[ft=c]有[t1，t2，t3]三個解，

當(dāng)[0

當(dāng)[c=0]時，[-2

當(dāng)[-2

當(dāng)[-2

當(dāng)[0

當(dāng)[1

故函數(shù)[hx]有[9]個零點.故選D項.

對于嵌套函數(shù)[hx=ffx-c]的零點問題，通常需先換元，即令[fx=t]，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)[ft]的圖象和直線[y=c]的交點問題；然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系判斷出函數(shù)的單調(diào)性、極值，畫出函數(shù)的圖象，便可借助三次函數(shù)的圖象來進(jìn)行分析，快速確定零點的個數(shù).

四、三次函數(shù)對稱問題

三次函數(shù)的圖象為中心對稱圖形.一般來說，三次函數(shù)的對稱中心的橫坐標(biāo)即為二次導(dǎo)函數(shù)的零點.在解題時，需根據(jù)中心對稱圖形的性質(zhì)，以及三次函數(shù)的解析式來確定對稱中心的坐標(biāo)、參數(shù)的值或取值范圍.

例4.已知任意三次函數(shù)的圖象必存在唯一的對稱中心.若函數(shù)[fx=x3+ax2+bx+c]，且[Mx0，fx0]為曲線[y=fx]的對稱中心，則必有[gx0=0（]其中函數(shù)

A. [-4]? ? ? ?B. [-3]? ? ? ?C. [-2]? ? ? ?D. [-1]

解：令[fx=x3+6x2+13x]，則[fx=3x2+12x+13]，

令[hx=3x2+12x+13]，[hx=6x+12=0]，

解得[x=-2]，

又[f-2=（-2）3+6×（-2）2+13×-2=-10]．

所以函數(shù)[fx]的圖象關(guān)于點[-2，-10]對稱．

又[f′x=3x2+12x+13=3x+22+1>0]，

所以函數(shù)[fx=x3+6x2+13x]在[R]上單調(diào)遞增，

所以[m+n=2×-2=-4]. 故選A項．

求三次函數(shù)的對稱中心，只需對三次函數(shù)進(jìn)行兩次求導(dǎo)，便可根據(jù)拐點的定義確定函數(shù)圖象的對稱中心，其橫坐標(biāo)即為二次導(dǎo)函數(shù)的零點.

五、三次函數(shù)不等式問題

三次函數(shù)不等式問題比較常見.在解題時，通常要先根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)來研究三次函數(shù)的單調(diào)性、極值，以畫出函數(shù)的大致圖象；然后利用三次函數(shù)的單調(diào)性、對稱性、圖象來求不等式的解集、證明不等式成立、求參數(shù)的取值范圍.

例5.已知三次函數(shù)[fx=x3-3x].若對于區(qū)間[-3，2]上任意兩個[x1，x2]，都有[fx1-fx2≤t]，求實數(shù)t的最小值.

解：令[fx=0]解得[x=±1]，

當(dāng)[-30]，

所以函數(shù)[fx]單調(diào)遞增；

當(dāng)[-1

而[f-3=-18， f-1=2，f1=-2， f2=2]，

所以在區(qū)間[-3，2]上，[fxmax=2， fxmin=-18]，

則在[-3，2]上要使[fx1-fx2≤t]，

需使[fx1-fx2≤fxmax-fxmin=20]，

所以[t≥20]，所以[t]的最小值是20.

解答本題，需先根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最大值、最小值，確保[fx1-fx2≤fxmax-fxmin]，即可確定t的最小值.

從以上分析可以看出，解答三次函數(shù)問題，需注意：（1）重點研究三次函數(shù)的解析式、圖象與性質(zhì)，利用其解析式、圖象、性質(zhì)解題；（2）學(xué)會利用導(dǎo)數(shù)知識來判斷三次函數(shù)的單調(diào)性、求三次函數(shù)的最值.