孔令春

二元最值問題看似較為簡單，解答起來卻非常復雜.這類題目中給出的條件往往比較少，卻涉及兩個變量，很多同學在解題時不知該如何下手.下面結(jié)合幾道二元最值問題，談一談解答此類問題的兩種途徑.

一、消元

消元法是解答二元最值問題的常用方法.通常可直接根據(jù)題目中的已知條件或隱含條件，用其中的一個變量去表示另外一個變量，將目標式化為只含有一個變量的式子，即可將二元最值問題轉(zhuǎn)化為常規(guī)的單變量最值問題，再利用函數(shù)的單調(diào)性、導數(shù)法、基本不等式求最值，即可解題.

因為[x，y>0]，所以[y>1]，

根據(jù)已知關系式用y表示x，即可將目標式化為關于y的函數(shù)式，再利用基本不等式求最值即可.

例3.已知[x，y>0]，且[xy（x+y）=4]，求[2x+y]的最小值.

將已知關系式中的[x]視為主元，將[y]視為參數(shù)，即可將問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題，再根據(jù)求根公式求得x的表達式和目標式，即可將目標式化為只含x的式子，再利用基本不等式即可順利求得最值.

二、構造齊次式

當且僅當[t=2，y=2x]時，等號成立.

構造齊次式的關鍵在于通過配湊、做除法，使得分子、分母中變量的次數(shù)一致，這樣便可通過整體代換，將問題轉(zhuǎn)化為常規(guī)函數(shù)最值問題來求解.

由此可見，解答二元最值問題，需注意：（1）將已知關系式和目標式關聯(lián)起來；（2）通過消元、齊次化等方式來減元；（3）靈活運用求最值的方法，如函數(shù)性質(zhì)法、導數(shù)法、基本不等式法.