?湖北省棗陽市第一中學(xué) 陳剛明

波利亞說：“為了得到一個(gè)方程，我們必須把同一個(gè)量以兩種不同的方法表示出來，即將一個(gè)量算兩次，從而建立相等關(guān)系.”這就是“算兩次”原理，又稱富比尼原理.近幾年高考解三角形試題中多次出現(xiàn)了“算兩次”原理的應(yīng)用，并從多個(gè)角度“算兩次”，現(xiàn)舉例說明.

1 角度算兩次，破解三邊關(guān)系問題

例1(2021全國新高考第19題)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知b2=ac，點(diǎn)D在邊AC上，BDsin∠ABC=asinC.

(1)證明：BD=b；

(2)若AD=2DC，求cos∠ABC.

例1的第(1)問比較簡(jiǎn)單，過程略.下面主要針對(duì)第(2)問進(jìn)行解析.

在△ABD中，

圖1

化簡(jiǎn)，可得3c2-11b2+6a2=0.

又b2=ac，所以3c2-11ac+6a2=0.

即(c-3a)(3c-2a)=0.

所以，在△ABC中，

同理，可得

以下同解法1.

點(diǎn)評(píng)：本題解法1中分別在兩個(gè)三角形中運(yùn)用余弦定理對(duì)角A的余弦“算兩次”，找出了三邊之間的等量關(guān)系.解法2中運(yùn)用互補(bǔ)角的余弦值互為相反數(shù)(互補(bǔ)角的余弦“算兩次”)找出等量關(guān)系.

2 長(zhǎng)度算兩次，速解邊角關(guān)系問題

(1)求A；

(2)由余弦定理，可得

b2+c2-a2=2bccosA=bc.①

因此角B為直角，即△ABC是直角三角形.

點(diǎn)評(píng)：本題第(2)問中，題目已經(jīng)給出了一個(gè)長(zhǎng)度關(guān)系，此解法中運(yùn)用余弦定理再得到另一個(gè)長(zhǎng)度關(guān)系(長(zhǎng)度“算兩次”)，聯(lián)立兩個(gè)長(zhǎng)度關(guān)系的方程，得出三角形三邊的關(guān)系，命題得以證明.

3 面積算兩次，化解角平分線問題

例3(2018江蘇第13題)在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，∠ABC=120°，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，且BD=1，則4a+c的最小值為.

解法1：如圖2，由S△ABD+S△CBD=S△ABC，結(jié)合BD=1，得

圖2

所以4a+c的最小值為9.

點(diǎn)評(píng)：本題充分利用角平分線的性質(zhì)，從一個(gè)大三角形的面積與將其分割成的兩個(gè)小三角形面積之和兩個(gè)方面進(jìn)行“算兩次”.也可用長(zhǎng)度算兩次

解法2：在△ABD與△BCD中，由正弦定理得

4 位置關(guān)系算兩次，巧解面積最值問題

(1)求B；

(2)若△ABC為銳角三角形，且c=1，求△ABC面積的取值范圍.

(2)分兩種極限情況.

當(dāng)角A為直角時(shí)，如圖3所示.

圖3

圖4

點(diǎn)評(píng)：本題采用了分類討論的思想，找出了所求面積的極限位置，利用位置關(guān)系“算兩次”.