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        例析數(shù)列不等式常見的證明方法

        2023-03-27 13:29:22南京大學附屬中學江蘇南京顧翔薈
        中學數(shù)學 2023年5期
        關鍵詞:歸納法通項單調(diào)

        ?南京大學附屬中學(江蘇南京) 顧翔薈

        數(shù)列不等式一直是高中數(shù)學中較復雜的一類問題,其通常是指含有通項an或者前n項和Sn的相關不等式.遞推式是數(shù)列不等式中常見的表達形式,蘊含著多層次的知識點與數(shù)學思想,因此經(jīng)常以壓軸題型出現(xiàn)在高考數(shù)學中.由于學生對數(shù)列不等式問題的學習較為分散,不具備系統(tǒng)性的理解和分析,故往往不能采取針對性思路解答這類問題.本文中將結(jié)合具體實例歸納、分析與數(shù)列不等式問題有關的不同證明方法,以此提供系統(tǒng)性的理論知識,幫助學生更有針對性地解答數(shù)列不等式問題.

        1 數(shù)學歸納法

        數(shù)學歸納法是證明數(shù)列不等式問題的常見方法之一.數(shù)學歸納法通常用來證明具體命題在規(guī)定自然數(shù)范圍內(nèi)成立,同樣適用于數(shù)列不等式問題的證明.運用數(shù)學歸納法解數(shù)列不等式問題時,具體解題思路可以概括為:①對問題進行分析,結(jié)合已知條件證明n取初始值1時數(shù)列不等式成立;②假設當n=k時,對應的數(shù)列不等式成立;③利用假設的數(shù)列不等式,驗證n=k+1時對應的具體數(shù)列不等式是否成立;④通過假設、驗證進行歸納總結(jié),證明待證數(shù)列不等式成立,即可對問題做出具體解答.如下例題所示.

        例1已知f(x)=x2-2x-3,定義數(shù)列{xn}如下:x1=2,xn+1是過兩點P(4,5)和Qn(xn,f(xn))的直線PQn與x軸交點的橫坐標.

        (1)證明:2≤xn

        (2)求數(shù)列{xn}的通項公式.

        ③當n=k+1時,

        所以,xk+2-xk+1

        即xk+2>xk+1,所以2≤xk+1

        故n=k+1時,不等式2≤xn

        綜上所述,對任意的正整數(shù)n,均有不等式2≤xn

        ②假設當n=k(k≥2,k∈N*)時,命題成立,即

        當n=k+1時,則有

        所以當n=k+1時,命題仍然成立.

        2 放縮法

        靈活運用放縮法,能使數(shù)列不等式問題的解答更加直觀有效.放縮法具體是指將不等號一側(cè)的數(shù)列表達式放大或者縮小,證明放縮后的不等式成立從而得到原數(shù)列不等式成立的證明方法.運用放縮法解答數(shù)列不等式問題的主要解題思路為:①分析題意,將需證明的數(shù)列不等式的一側(cè)適當放大或縮??;②將放大或縮小后得到的式子與原不等式的另一側(cè)比較,利用不等式的傳遞性證明放縮后的不等式成立,即可對數(shù)列不等式證明問題做出完整解答.具體應用如例2所示.

        例2設數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足2Sn=an+1-2n+1+1,n∈N*,a1,a2+5,a3成等差數(shù)列.

        (1)求a1;

        (2)求數(shù)列{an}的通項公式;

        解析:(1)a1=1.過程略.

        (2)數(shù)列{an}的通項公式為an=3n-2n,n∈N*.過程略.

        (1)求數(shù)列{cn}的通項公式;

        3 函數(shù)單調(diào)性法

        由于數(shù)列通項公式可看作特殊類型函數(shù)的解析式,故利用函數(shù)單調(diào)性解答數(shù)列不等式問題也是常見方法之一.函數(shù)單調(diào)性法適用于一側(cè)有變量另一側(cè)為常數(shù)的數(shù)列不等式,即將數(shù)列通項公式看作函數(shù)解析式來研究單調(diào)性,從判斷數(shù)列的最值與常數(shù)的大小關系入手進而解答問題.利用函數(shù)單調(diào)性法解答問題的具體過程一般可概括為:①對需要證明的數(shù)列不等式進行移項分析,將其看作等價對應的函數(shù)解析式f(x);②結(jié)合導函數(shù)或圖象,分析函數(shù)f(x)在正整數(shù)范圍內(nèi)的增減性;③結(jié)合單調(diào)性判斷函數(shù)f(x),即數(shù)列的最值,比較最值與常數(shù)的大小關系,證明不等式成立.具體應用步驟和過程如下.

        例3已知函數(shù)f(x)=x-ln(x+a)的最小值為0,a>0.

        (1)求a的值;

        (2)若對任意的x∈[0,+∞).有f(x)≤kx2成立,求實數(shù)k的最小值;

        解析:(1)a=1.過程略.

        (2)用Sn表示數(shù)列{cn}的前n項和,即Sn=c1+c2+c3+……+cn.

        上文中僅僅介紹了三種解答數(shù)列不等式問題的方法和思路,但數(shù)列不等式的證明方法多種多樣,常見的方法還有作差法、分析法等.結(jié)合例題不難發(fā)現(xiàn),放縮法相對于其他兩種方法而言,應用難度較大,要求學生準確掌握放縮的技巧和原則,并在實例中多加運用,才能明顯提升正確率與解題效率.

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