?安徽省宿州市教育科學(xué)研究所 王 鋒

1 問題提出

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出高中數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)是通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)以及未來發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗(yàn)(簡稱“四基”)；提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力(簡稱“四能”).美國數(shù)學(xué)家哈爾莫斯曾說：“問題是數(shù)學(xué)的心臟.”新課程強(qiáng)調(diào)了提出問題在學(xué)習(xí)中的重要性，要讓學(xué)生經(jīng)歷知識探究的全過程.然而高中數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀卻是因?yàn)楦鞣N原因，從學(xué)習(xí)材料中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題是當(dāng)前學(xué)生的“短板”，應(yīng)予以重視.只有關(guān)注對學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題能力的培養(yǎng)，才能真正以學(xué)生發(fā)展為本，培育科學(xué)精神和創(chuàng)新意識，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[1].

筆者在對本地區(qū)新教材的使用調(diào)研中，發(fā)現(xiàn)新教材中有很多適合培養(yǎng)學(xué)生提問能力的素材.下面從筆者觀課議課的活動中，選擇幾例以第一視角進(jìn)行分析，以期與同行交流.

2 案例剖析

2.1 營造民主氛圍，形成提問環(huán)境

案例1在向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)教學(xué)過程中，教師要求學(xué)生設(shè)想“數(shù)量積”的運(yùn)算滿足哪些性質(zhì)，或者是你希望它能夠滿足哪些性質(zhì).在討論完之后，經(jīng)過各個小組匯總，得出的結(jié)論是：“向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)基本上滿足了所有我們想當(dāng)然它應(yīng)該具有的運(yùn)算性質(zhì)，即與多項(xiàng)式的運(yùn)算沒有什么區(qū)別，除了除法和結(jié)合律.”結(jié)果有一個學(xué)生舉手表示有想法需要表達(dá).教師示意他起立發(fā)言.

學(xué)生1：“向量的運(yùn)算能不能滿足立方差公式？”

眾生：“肯定能.”教師還沒來得及回答，其他同學(xué)就一起回答了.

學(xué)生提出了問題，大家解決問題的興趣比較濃厚，于是教師就把問題寫在黑板上，共同探討.即要證明a3-b3=(a-b)(a2-a·b+b2)是否成立.很快，意外發(fā)生了.

學(xué)生2：本來我認(rèn)為結(jié)果是成立的，但是推理的結(jié)果卻是不一定成立.因?yàn)樽筮卆3-b3=|a|2a-|b|2b，右邊=(|a|2-|a||b|cosθ+|b|2)(a-b)，左右兩邊結(jié)果都是一個向量，但是右邊的向量是a-b的數(shù)乘向量，結(jié)果和a-b共線，而左邊可以看作λa+μb，是兩個向量數(shù)乘后的合成向量，未必與a-b共線.

全班“哇”一聲之后，報以熱烈的掌聲，所有同學(xué)都對結(jié)果很滿意，隨后教師布置大家課后討論公式不能成立的原因，并形成總結(jié).學(xué)生對向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)的認(rèn)識又上了一個層次.

2.2 及時反饋解答，形成問題總結(jié)

上面轉(zhuǎn)化是否成立？對于無理數(shù)指數(shù)冪，部分無理數(shù)指數(shù)式有沒有意義？該教師在課堂上也沒有看出問題，但是又感覺是有問題的，于是就先鼓勵了這位同學(xué)的發(fā)現(xiàn)和質(zhì)疑精神，然后回答他說這個問題沒有深入思考過，等想好之后再回答，其他同學(xué)也可以獨(dú)立思考或者合作探究，有什么想法及時與老師交流.

在筆者思考研究的過程中，很多教師也都紛紛表達(dá)了自己的見解與想法，并在自己所帶班級教學(xué)實(shí)踐探索中進(jìn)行了反饋，師生都享受了一場“思維盛宴”[2].

2.3 構(gòu)建學(xué)研小組，形成研究風(fēng)氣

案例3在人教A版教材必修一“三角恒等變換”一節(jié)中，首先探究的是兩角差的余弦公式，即cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ，教材的證明方法如下(簡記).

如圖1所示，易得△AOP≌△A1OP1，所以有AP=A1P1，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，可得[cos(α-β)-1]2+sin2(α-β)=(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2.化簡，可得

圖1

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

再根據(jù)角α,β的抽象性和誘導(dǎo)公式可得兩角和的余弦公式及兩角和與差的正弦公式.

在上完本節(jié)內(nèi)容之后，某教師作了課堂小結(jié)，回顧了推導(dǎo)兩角和與差的余弦、正弦公式的思路.課堂結(jié)束后，學(xué)生4到辦公室追問，教材為什么安排先推導(dǎo)cos(α-β)？先推導(dǎo)cos(α+β)或者正弦公式不是更符合教材的安排順序嗎？聽課教師都對這個學(xué)生的問題表示驚訝和贊賞.筆者聽完之后，也感覺很有道理，可能集體備課的時候并沒有想到這一點(diǎn)，因?yàn)樯弦话娼滩囊彩窍韧茖?dǎo)cos(α-β)的，但是當(dāng)時前面有了向量的數(shù)量積運(yùn)算做鋪墊.現(xiàn)在這套教材進(jìn)行到這部分內(nèi)容時，還沒有學(xué)習(xí)向量知識，是運(yùn)用平面幾何知識進(jìn)行證明的.那么為什么不先證明其他形式呢？于是該教師把這個研究任務(wù)布置給班級里的學(xué)研小組，收集上來的推導(dǎo)過程如下：

如圖2，設(shè)P1(cosα,-sinα)，P3(cosβ,sinβ)，P2(cos(α+β),sin(α+β))，P0(1,0)，易知|P0P2|=|P1P3|.由兩點(diǎn)間的距離公式，可得

圖2

[cos(α+β)-1]2+sin2(α+β)=(cosβ-cosα)2+(sinβ+sinα)2.

化簡，得cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.

案例分析：課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出，教師要運(yùn)用理論指導(dǎo)實(shí)踐，最終落實(shí)到課堂，落實(shí)到學(xué)生.所以教師要理解學(xué)生的認(rèn)知特征，并在此基礎(chǔ)上探索通過何種途徑能夠引發(fā)學(xué)生思考，讓學(xué)生在獨(dú)立思考、自主學(xué)習(xí)、合作交流等多種學(xué)習(xí)方式的基礎(chǔ)上，掌握知識技能，感悟知識本質(zhì).如果每個班都建立一個“學(xué)委會”，用以解決學(xué)生提出的問題，小組合作交流時學(xué)生探究新知會有一個更加濃厚的研究氛圍，同時也有了相互借鑒和對比的平臺.這對于提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)興趣非常有效，并且把素養(yǎng)的落實(shí)從課堂滲透到課外，學(xué)生更加自主.

3 思考感悟

引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑和反思是促進(jìn)學(xué)生有效學(xué)習(xí)的重要手段，思起源于疑.然而現(xiàn)在中學(xué)生普遍缺乏質(zhì)疑意識，學(xué)生被動學(xué)習(xí)的現(xiàn)象比較突出，成天忙于趕作業(yè)、刷題，鮮有自己的想法，很難有質(zhì)疑和反思的機(jī)會，怎么談得上去發(fā)現(xiàn)問題、質(zhì)疑問題呢？

在“雙減”大背景下，教師更應(yīng)該用好手上的資源，如教材和校本作業(yè)，結(jié)合恰當(dāng)?shù)恼n堂組織形式，及時為學(xué)生提供“提出問題”的土壤，并及時反饋，積極評價，鼓勵學(xué)生大膽表達(dá)，逐步促進(jìn)知識的遷移與拓展，從而在這個過程中落實(shí)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)[3].

教師能夠問出“好問題”，引導(dǎo)學(xué)生提出“好問題”，找到新思路，形成新方法，這就是新教材數(shù)學(xué)課程的核心任務(wù).