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        巧用齊次化,解決一類圓錐曲線問題

        2023-03-27 13:27:00廣東省中山市第一中學
        中學數學 2023年5期
        關鍵詞:通法定值斜率

        ?廣東省中山市第一中學 高 建

        解析幾何一直是高考必考的內容,尤其是涉及到定點、定值的問題,經常在高考題中出現(xiàn),其中一類題目常常以斜率之和或者之積是定值為背景,即過一定點引兩條直線與圓錐曲線相交,引出兩個斜率的關系,通過斜率之間關系找到解決問題的方向.其經典方法就是設直線方程,然后通過與圓錐曲線方程聯(lián)立,整理得出一元二次方程;設點寫出斜率關系式,利用韋達定理,求解出相應的斜率.這種方法并不是很難,但是計算量相對較大,使得很多學生望而卻步.本文中通過對比通法和齊次化方法在解決圓錐曲線的定值、定點問題中的應用,讓學生了解齊次化方法的優(yōu)點,進而培養(yǎng)學生一題多解的能力,提升學習圓錐曲線的樂趣.

        1 齊次化解決與角度有關問題

        (1)當l與x軸垂直時,求直線AM的方程;

        (2)設O為坐標原點,證明:∠OMA=∠OMB.

        分析:本題考查的問題,就是過定點作兩條直線形成的斜率問題.主要難點是把角度問題轉變成斜率.原答案使用的是設方程聯(lián)立的方法,然后設而不求,利用韋達定理解決問題,難度不大.第(1)問比較簡單,第(2)問,我們對比通法和齊次化方法的優(yōu)劣.

        解析:(1)第(1)小問,常規(guī)思路,過程略.

        (2)方法一:首先把角度問題轉化成斜率問題.

        當直線l斜率不存在時,顯然命題成立.

        2 齊次化解決斜率之積為定值問題

        (1)求橢圓C的方程;

        (2)設直線l不經過P點且與橢圓C相交于A,B兩點,若直線PA與直線PB的斜率之積為1,證明:直線l過定點.

        分析:本題第(2)問考查圓錐曲線中的定點問題,經典方法是設出直線方程,進行聯(lián)立,得到一元二次方程,再把兩個斜率都表示出來,利用韋達定理表示出斜率與截距的關系,進而找到定點.這個通法思路簡單,易于學生掌握,但是運算量太大,個別同類型題目還涉及到比較復雜的因式分解問題,可能會給學生造成一定的影響,我們看下齊次化的方法會不會有更好的效果.

        本題的背景就是兩個斜率之積為定值,對比上述兩種方法,我們不難發(fā)現(xiàn)齊次化方法的優(yōu)勢,但是這里需要拓展平移后的圓錐曲線方程,也要注意最后的結果是不是平移回去了.

        3 齊次化解決雙斜率問題

        例3如圖1,過頂點在原點、對稱軸為y軸的拋物線E上的點A(2,1)作斜率分別為k1,k2的直線,分別交拋物線E于B,C兩點.

        圖1

        (1)求拋物線E的標準方程和準線方程;

        (2)若k1+k2=k1k2,證明:直線BC恒過定點.

        分析:本題第(2)問考查與拋物線有關的直線斜率問題,通法還是通聯(lián)立方程,但必須面臨利用k1+k2=k1k2表示出相關量,然后再化簡,運算量不算小.下面我們看下齊次化的威力.

        解析:(1)易知拋物線方程為x2=4y,準線方程為y=-1.過程略.

        4 齊次化解決斜率之和為定值問題

        (1)求C的方程;

        (2)設直線l不經過點P2且與C相交于A,B兩點,若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1,證明:l過定點.

        分析:此題為高考題中的定點問題,依然是雙斜率問題,可以使用齊次化的方法解決.

        本題的背景就是斜率之和為定值,求直線過定點的問題,對比之下我們可以輕易發(fā)現(xiàn)齊次化方法的優(yōu)點.

        5 方法歸納

        解析幾何是培養(yǎng)學生計算能力的重要載體,蘊含著豐富的數學思想.本文中提到的齊次化方法,在一定程度上可以起到簡化運算的效果,讓學生深刻體會解析幾何的魅力.通過齊次化方法的學習,學生學會了處理斜率之和為定值、斜率之積為定值問題的另一種解法,提高了解題效率,也讓學生明白數學方法的多樣性.但遺憾的是,有些問題使用齊次化方法,計算量并不會減少,甚至更為復雜,對于常規(guī)的解析幾何問題,齊次化方法也不一定能起到很好的作用,所以在教學中我們更應該重視基礎知識和通法通解的學習.

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