韓衍群，侯文崎

(1.中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長沙，410075；2.中南大學(xué) 高速鐵路建造技術(shù)國家工程實(shí)驗(yàn)室，湖南 長沙，410075)

隨著我國國民經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，為了滿足運(yùn)輸需求，要求橋梁越來越寬。為減小構(gòu)件規(guī)模、降低制造成本，鋼桁梁橋越來越多采用三主桁或多主桁結(jié)構(gòu)形式[1-5]，如武漢天興洲長江大橋、南京大勝關(guān)長江大橋均采用多主桁結(jié)構(gòu)形式。

從力學(xué)上講，多主桁結(jié)構(gòu)與兩主桁相比，其最大差別是橋面荷載在主桁間分配的不均勻性[6-7]。在兩主桁結(jié)構(gòu)中，均布橋面荷載在橫橋向是等分的。但在多主桁結(jié)構(gòu)中，橋面荷載在主桁間的分配比較復(fù)雜[8]。以三主桁結(jié)構(gòu)為例，若不考慮兩邊桁下弦節(jié)點(diǎn)剛性，則橋面荷載在三主桁間下弦節(jié)點(diǎn)上分配的力學(xué)模型相當(dāng)于帶支座沉降的兩跨連續(xù)梁，若主桁間豎向位移相同，則在均布荷載作用下，中桁與邊桁分配的荷載比為10:3。實(shí)際上，由于中桁撓度比邊桁的大，橋面荷載在中桁與邊桁分配小于10:3。另外，由于橫聯(lián)的作用，使主桁的力從撓度較大的中桁轉(zhuǎn)移到撓度較小的邊桁，從而使中桁與邊桁的受力差別減小。橋面荷載在主桁間分配的不均勻性將導(dǎo)致主桁間結(jié)構(gòu)內(nèi)力存在差異，若差異較大，為了結(jié)構(gòu)安全，常采用增大中桁構(gòu)件截面的辦法來解決，但該方法增加節(jié)點(diǎn)與桿件種類，不便于預(yù)制與拼裝。目前，國內(nèi)有些學(xué)者對三主桁受力不均勻性進(jìn)行了研究[9-11]，而國外對這方面的研究很少。劉世忠等[12]通過支座升降技術(shù)對內(nèi)力進(jìn)行調(diào)整，研究了減小受力不均勻性的方法；鮑莉霞[13]采用空間有限元從結(jié)構(gòu)布置角度研究了設(shè)置橫聯(lián)與否對三主桁結(jié)構(gòu)內(nèi)力分配的影響，但沒有研究主桁剛度對內(nèi)力分配的影響，也沒有給出合理剛度；候文崎等[14-16]對三主桁受力特性進(jìn)行了試驗(yàn)研究，給出了減小受力差別的一些建議，但對荷載橫向傳遞規(guī)律和計(jì)算方法研究較少。目前，對二主桁中結(jié)構(gòu)橋面荷載橫向分配計(jì)算有可靠的計(jì)算公式，而多主桁橋面荷載橫向分配比二主桁復(fù)雜得多，對這類橋梁常采用空間有限元法進(jìn)行分析計(jì)算[17-18]?？臻g有限元法雖然計(jì)算精度高，但建模復(fù)雜，費(fèi)時費(fèi)力，在橋梁設(shè)計(jì)初期或方案比選時并不是很好的選擇。本文以三主桁鋼桁梁橋?yàn)槔?，從橋面荷載橫向傳遞路徑入手，研究橫向分配的簡化計(jì)算模型，并基于能量原理推導(dǎo)橋面荷載橫向分配的計(jì)算公式。在此基礎(chǔ)上，利用結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)不同參數(shù)研究主桁間橫向分配不均勻的影響因素，提出合理剛度取值，以便為該類橋梁簡化計(jì)算提供依據(jù)。

1 橋面荷載橫橋向二次分配

將橋面荷載在下弦節(jié)點(diǎn)間的分配稱為第一次分配[20-21]。由于存在三主桁間撓度差，橋面荷載再通過橫聯(lián)在3 片主桁間重分配，稱為第二次分配。第一次分配的橋面荷載作用于主桁的下弦節(jié)點(diǎn)，而第二次分配的力作用于上弦節(jié)點(diǎn)。在實(shí)際橋梁中，2次分配是相互關(guān)聯(lián)、相互影響的，并不是第一次分配完后再進(jìn)行第二次分配，而是2次分配同時進(jìn)行，為了敘述方便，下面分別考察2次分配的情況。

1.1 橋面荷載橫橋向第一次分配

若不考慮兩邊桁下弦桿節(jié)點(diǎn)剛性，即橫梁與兩邊桁下弦節(jié)點(diǎn)鉸接連接，則橫梁的受力相當(dāng)于1個兩跨連續(xù)梁，其力學(xué)模型如圖1(a)所示，支座反力即為分配到每片主桁的荷載。三主桁在橋面荷載作用下，以作用均布荷載q為例，由于受力的不均勻性，三主桁豎向存在撓度差，相當(dāng)于在圖1(a)中的中支座處有一沉降Δ。將圖1(a)中的受力狀態(tài)分解為主桁無豎向位移(圖1(b))和主桁有豎向位移(圖1(c))。圖1(b)中只有荷載無支座沉降，而圖1(c)中只有支座沉降無荷載。由結(jié)構(gòu)力學(xué)知識可知：圖1(b)中的端支座和中支座反力分別為二者之比為3:10。當(dāng)圖1(c)中支座產(chǎn)生沉降Δ時，中支座有向下反力而兩端鉸支座的支反力為(其中，E和Ih分別為鋼的彈性模量和橫梁的慣性矩(包括橋面板))。由此可見，由于支座沉降，圖1(a)中支座反力釋放了一部分，而兩端的支座反力增加。

在實(shí)際橋梁中，下弦節(jié)點(diǎn)對橫梁端部的轉(zhuǎn)動有一定的約束作用，相當(dāng)于圖1中兩跨連續(xù)梁兩端支座并不是理想的鉸支座，而是能夠承受一定彎矩的彈性支座，這樣，端支座和中支座之間的反力差又減小了一部分。圖1(a)中的3 個支座反力相當(dāng)于橫橋向3 片主桁下弦節(jié)點(diǎn)(下弦桿)對橫梁的支承力，在數(shù)值上等于3片主桁下弦節(jié)點(diǎn)上分配的橋面荷載，將其稱為橋面荷載的第一次分配。各主桁分配的橋面荷載的比例既與橫梁的線剛度有關(guān)，也與三片桁的撓度差Δ有關(guān)。

圖1 橫梁受力分解示意圖Fig.1 Mechanical behavior decomposition of transverse beams

1.2 橋面荷載橫橋向第二次分配

3片主桁第一次分配到橋面荷載差別較大，中桁的荷載大，邊桁的荷載小，從而中桁的撓度大于邊桁的撓度。而上部橫聯(lián)將3 片主桁聯(lián)成一體，抵抗3片主桁間的撓度差，從而產(chǎn)生了橋面荷載橫橋向的第二次分配。

為分析橋面荷載在橫橋向的第二次分配，在主桁節(jié)點(diǎn)處橫橋向取出1個橫聯(lián)作為隔離體，橫聯(lián)上3 個彈簧表示3 片主桁對橫聯(lián)的支撐，如圖2所示。與橫梁受力類似，橫聯(lián)在3片主桁撓度差Δ下將產(chǎn)生支反力，其大小在邊桁處為，在中桁處為(其中，Ieq為橫聯(lián)等效慣性矩)。該反力即橫聯(lián)對主桁的作用力與橫聯(lián)豎向剛度和三主桁的撓度差有關(guān)。橫聯(lián)豎向剛度、三主桁間的撓度差越大，橫聯(lián)對主桁的作用力越大。

圖2 橫聯(lián)受力示意圖Fig.2 Mechanical behavior of lateral bracings

2 橋面荷載橫向分配的簡化模型及計(jì)算公式

2.1 橋面荷載橫向分配簡化模型

為分析橋面荷載在橫橋向的二次分配，在主桁節(jié)點(diǎn)處橫橋向取出1 個框架作為隔離體，如圖3(a)所示。圖3中，q(x)為橋面荷載，l為桁寬，橫向框架上、下各用3個彈簧表示3片主桁對框架的支撐。每片桁架上下彈簧剛度之和為代表框架所在位置處主桁的豎向剛度，其中，i為下弦節(jié)點(diǎn)號，j為桁號，分別為框架在上、下位置主桁的豎向剛度，kij為框架所在位置主桁的總豎向剛度。

kij可按如下方法計(jì)算：取第j片主桁，在每個下弦節(jié)點(diǎn)作用單位荷載P=1 kN，引起第i個下弦節(jié)點(diǎn)豎向撓度為Δij，則定義該節(jié)點(diǎn)處彈簧剛度kij=1/Δij。因?yàn)椴挥绊憳蛎婧奢d的第一、第二次分配[7]，為簡化計(jì)算，令相等，均為kij的1/2。

圖3(b)所示為豎桿、橫聯(lián)、橫梁的隔離體圖。圖中，豎桿下部所受的力為第一次分配的力，上部所受的力為第二次分配的力。由圖3(b)可見：3片主桁間的橫聯(lián)將撓度較大的中桁向上提，而將邊桁向下壓，使主桁上、下節(jié)點(diǎn)所受豎向力總和在3片主桁間的差距減小。

圖3 橫向框架簡化計(jì)算模型Fig.3 Simplified calculation model of transverse frame

2.2 計(jì)算公式推導(dǎo)

假設(shè)：

1)不考慮腹桿軸向變形對三主桁豎向撓度差的影響；

2)兩邊桁的桿件截面相同，即豎向剛度相同；

3)不考慮腹桿、下弦桿對橫梁轉(zhuǎn)動約束的作用；

4)主桁間的桁寬相同。

在橋面荷載作用下，三主桁鋼桁梁橋的受力可分解為如圖4所示的兩部分：

圖4 三主桁鋼桁梁橋受力分解Fig.4 Dissociation of mechanical behavior of three-main-truss steel bridges

① 橫聯(lián)剛度無限大，即3 片主桁沒有豎向撓度差；

② 在①變形的基礎(chǔ)上，橫聯(lián)剛度由無限剛度變到實(shí)際剛度，此時，3 片主桁發(fā)生豎向撓度差Δi。

在對稱荷載作用下，在狀態(tài)②中，設(shè)中桁與邊桁的豎向撓度差為Δi，可得出邊桁處彈簧變形為

式中：Ih為橫梁(包括橋面板)慣性矩；Ieq為橫聯(lián)等效慣性矩；l為主桁間的桁寬。由于兩邊桁相同，因此，兩邊桁處彈簧變形相同。

以①的位置為初始位置，②中橫梁(橫聯(lián))的撓度方程為

坐標(biāo)原點(diǎn)在橫梁(橫聯(lián))最左端，y以向上為正。

則在②中，橫梁的變形能為

橫聯(lián)的變形能為

彈簧的變形能為

將式(1)代入式(5)得

外力勢能為

式中：q(x)為外荷載，向上為正。橫向框架總勢能為

式中：Π1為①的總勢能，其與Δi無關(guān)；Π2=Uh+Uhl+Ut-V，為②的總勢能，為Δi的函數(shù)。由最小勢能原理得

將式(3)，(4)和(6)代入式(10)得

第一次分配到3片主桁的荷載為

第二次分配到3片主桁的荷載為

分配到每片主桁上的總荷載為

當(dāng)受偏載作用時，可將荷載分解為對稱荷載與反對稱荷載的疊加，對稱荷載下的橫向分配可按式(14)計(jì)算。在反對稱荷載作用下，根據(jù)對稱結(jié)構(gòu)的受力特性可知，橋面荷載全部分配到兩邊桁上，中桁不分配荷載，即

則偏載作用下分配到每片主桁上的總荷載為

由式(11)和(14)可以看出，當(dāng)主桁豎向剛度越大即ki越大時，Δi就越小，則分配到邊桁的荷載越少，分配到中桁的荷載就越多；相反，當(dāng)主桁豎向剛度越小即ki越小時，Δi就越大，則分配到邊桁與中桁上的荷載越接近。因此，越靠近支座處，分配到邊桁與中桁上的荷載差值越大；越靠近跨中，分配到邊桁與中桁上的荷載越接近。橫向聯(lián)系(包括橫聯(lián)、橫梁、橋面板)豎向剛度越大，三主桁間分配的荷載越接近，因此，橫向聯(lián)系具有合適的豎向剛度是減小主桁間受力不均勻的關(guān)鍵。在實(shí)際橋梁中，橫聯(lián)豎向剛度一般比橫梁(包括橋面板)剛度大很多，因此，橫聯(lián)豎向剛度是影響橋面荷載橫向分配的主要因素之一[7]。

3 算例驗(yàn)證

以某(84+84)m兩跨連續(xù)三主桁鋼桁梁橋?yàn)槔?，?jié)間長度為12 m，N 型桁架，橋面橫橋向?qū)挾葹?15+15)m，如圖5所示。該橋三主桁各桿件截面基本相同，即三主桁剛度相同。建立該橋空間有限元模型，保持桿件布置不變，分別改變主桁豎向剛度、橫聯(lián)豎向剛度計(jì)算出在對稱均布荷載作用下靠近跨中節(jié)點(diǎn)位置橋面荷載在三主桁間的分配，同時，用公式計(jì)算結(jié)果與其對比，計(jì)算結(jié)果見表1和表2。

圖5 三主桁鋼桁梁橋Fig.5 Structure diagram of the three-main-truss steel bridge

表1 和表2 中：γ1和γ2分別為一片主桁第一次分配、第二次分配的橋面荷載與三主桁2次分配總荷載的比。由于兩邊桁計(jì)算結(jié)果相同，故邊桁的γ1和γ2與中桁的γ1和γ2存在如下關(guān)系：

表1和表2中計(jì)算結(jié)果僅列出了中桁的計(jì)算結(jié)果，其中，不均勻度系數(shù)。

由表1可見：公式計(jì)算得到的橋面荷載在三主桁間第一次分配γ1、第二次分配γ2和2次分配后的計(jì)算結(jié)果均與空間計(jì)算結(jié)果較吻合，驗(yàn)證了公式的正確性；隨著彈簧剛度增加，三主桁豎向撓度差減小，中桁γ1有所增加，中桁γ2逐漸減少。由于橫聯(lián)豎向剛度比橫梁豎向剛度大，因此，中桁γ2減少速度大于中桁γ1增加速度，經(jīng)二次分配后，荷載不均勻度系數(shù)α逐漸增加；當(dāng)彈簧剛度趨于無限大時(即支座處)，α趨于10:3，靠近跨中逐漸減??；當(dāng)主桁剛度在3.90×104kN/m 以下時，α不超過1.17，即中桁承受的荷載與邊桁差別不大。

表1 不同彈簧剛度下中桁橫向分配公式計(jì)算結(jié)果與空間有限元計(jì)算結(jié)果對比Table 1 Comparison of calculation results of middle truss transverse distribution load formula and spatial finite element results under different spring stiffness

橫聯(lián)豎向剛度用其跨中產(chǎn)生單位位移所需的力表示，如圖6所示。圖6中，l為主桁寬度，kh為橫聯(lián)豎向剛度。由表2可見：中桁的γ1和γ2隨橫聯(lián)豎向剛度的增加而增加，且γ1和γ2增加速度隨橫聯(lián)豎向剛度的增加逐漸減?。划?dāng)橫聯(lián)豎向剛度在1.5×105kN/m以下變化時，γ2增加的速度較快；當(dāng)橫聯(lián)豎向剛度大于3.0×105kN/m時，γ2增加的速度較緩慢，因此，橫聯(lián)豎向剛度在1.5×105～3.0×105kN/m范圍內(nèi)比較合理。

圖6 橫聯(lián)豎向剛度示意圖Fig.6 Diagrammatic sketch of vertical stiffness of lateral bracings

表2 不同橫聯(lián)剛度下中桁橫向分配公式計(jì)算結(jié)果與空間有限元計(jì)算結(jié)果對比Table 2 Comparison of calculation results of middle truss transverse distribution load formula and spatial finite element results under different lateral bracings stiffness

對該橋6 節(jié)間縮尺比例為1:6 的試驗(yàn)?zāi)Ｐ蛢啥撕喼г谠囼?yàn)荷載(對稱荷載)作用下，采用橫向分配計(jì)算公式計(jì)算分配到每片主桁的荷載，對每片主桁單獨(dú)計(jì)算(以下將該法稱為PF 法)，計(jì)算每片主桁的撓度和各桿件應(yīng)力，并將計(jì)算結(jié)果與空間有限元計(jì)算結(jié)果和試驗(yàn)值進(jìn)行對比，見圖7～9(兩邊桁計(jì)算結(jié)果相同，故圖7～9僅列出一邊桁的計(jì)算結(jié)果，坐標(biāo)原點(diǎn)位于梁的一端)。

圖7 下弦桿豎向撓度Fig.7 Ⅴertical deflection of bottom chords

圖8 上弦桿軸應(yīng)力Fig.8 Axial stress of top chords

圖9 斜桿軸應(yīng)力Fig.9 Axial stress of diagonal bar

由圖7～9 可見：采用PF 法所得邊桁、中桁撓度計(jì)算結(jié)果與空間有限元計(jì)算結(jié)果、試驗(yàn)值較接近，撓度最大相對誤差在7.3%之內(nèi)，采用PF法所得邊桁、中桁桿件應(yīng)力計(jì)算結(jié)果與空間有限元計(jì)算結(jié)果、試驗(yàn)值(除上弦桿中桁外)較接近，應(yīng)力最大相對誤差在9.4%以內(nèi)，與空間有限元計(jì)算結(jié)果和試驗(yàn)值相比，PF 法所得計(jì)算結(jié)果中，中桁的偏大，邊桁的偏小。這是由于在實(shí)際橋梁中，邊桁下弦節(jié)點(diǎn)對橫梁的轉(zhuǎn)動約束作用大于橫向框架簡化模型對橫梁的轉(zhuǎn)動約束作用，導(dǎo)致采用式(14)計(jì)算的橋面荷載橫向分配中，邊桁的偏小，中桁的偏大，但在橋梁初步設(shè)計(jì)或方案比選時，公式計(jì)算精度可滿足要求。由此可見，由PF 法計(jì)算結(jié)果與空間有限元計(jì)算結(jié)果、試驗(yàn)值均較吻合，說明按照橫向分配計(jì)算公式計(jì)算每片主桁分配的荷載接近實(shí)際情況，驗(yàn)證了公式的正確性，確定出橋面荷載橫向分配后，多主桁結(jié)構(gòu)可按平面結(jié)構(gòu)進(jìn)行簡化計(jì)算。

4 結(jié)論

1)利用式(14)對三主桁橋面荷載橫向分配計(jì)算時，所得結(jié)果與空間有限元計(jì)算結(jié)果、試驗(yàn)值均較吻合，驗(yàn)證了公式的正確性。

2)橋面荷載在三主桁間橫向分配主要受主桁、橫聯(lián)豎向剛度影響。在均布對稱荷載作用下，不均勻度系數(shù)α隨主桁豎向剛度增加而增加，在支座處較大，為3.33，靠近跨中逐漸減小。當(dāng)主桁豎向剛度在3.9×104kN/m 以下時，α不大于1.17；α隨橫聯(lián)豎向剛度的增加而減小，橫聯(lián)豎向剛度在1.5×105～3.0×105kN/m范圍內(nèi)較合理。

3)確定橋面荷載橫向分配后，多主桁結(jié)構(gòu)可按平面結(jié)構(gòu)簡化計(jì)算。