摘? 要：“先猜后證”是一種通過(guò)特殊化獲得一般性結(jié)論的推理方法，這是探明結(jié)論的有效途徑之一. 在解析幾何、導(dǎo)數(shù)難題的解答中，通過(guò)猜想可以明確目標(biāo)，從而使運(yùn)算策略與方向的選擇更具針對(duì)性. 以2022年高考數(shù)學(xué)全國(guó)乙卷中的一道高考試題為例闡釋上述思路方法的應(yīng)用，分析其對(duì)解題與教學(xué)的意義和價(jià)值.

關(guān)鍵詞：先猜后證；導(dǎo)數(shù)；解析幾何

很多學(xué)生在2022年高考考后復(fù)盤(pán)中都提出解析幾何和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算較困難. 這些困難具體可以分為兩類：一類是學(xué)生在解決解析幾何或?qū)?shù)問(wèn)題中的某一步時(shí)思路受阻，從而迷失了后續(xù)的運(yùn)算方向和解題方向；另一類則是學(xué)生雖然可以繼續(xù)計(jì)算，但是因?yàn)檫\(yùn)算量過(guò)大且運(yùn)算目標(biāo)不明確造成未能完整作答. 學(xué)生往往會(huì)將這兩種情況簡(jiǎn)單地歸結(jié)為自己代數(shù)運(yùn)算能力不強(qiáng). 然而事實(shí)上，這種運(yùn)算能力不強(qiáng)并不是我們常說(shuō)的計(jì)算代數(shù)式的能力不過(guò)關(guān)，而是數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)中的“選擇運(yùn)算方法、設(shè)計(jì)運(yùn)算程序”的能力相對(duì)薄弱，即解題策略和方法在很大程度上決定了計(jì)算量的大小. 如果能夠先探明結(jié)論，找到目標(biāo)，那么運(yùn)算策略與方向的選擇也更具針對(duì)性，進(jìn)而則可以降低運(yùn)算量，提高運(yùn)算速度.

對(duì)普遍情況適用的對(duì)其中的特殊情況也必然適用，這是邏輯學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí). 因此，通過(guò)特殊化獲得一般性結(jié)論是探明結(jié)論的有效途徑之一，即我們常說(shuō)的“先猜后證”. 從滿足條件的特殊情形入手，如果能找到這個(gè)可能的數(shù)學(xué)對(duì)象，以目標(biāo)結(jié)論為運(yùn)算方向，再通過(guò)邏輯推理給出一般性結(jié)論的證明；否則，借助反例證偽即可. 筆者將以2022年高考數(shù)學(xué)全國(guó)乙卷中的解析幾何和導(dǎo)數(shù)試題為例，闡述“先猜后證”的策略在問(wèn)題解決中的價(jià)值.

一、“先猜后證”在求解解析幾何問(wèn)題中的價(jià)值

導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中，“先猜后證”的方法多數(shù)被應(yīng)用于解決含參不等式的恒成立問(wèn)題中，通過(guò)取函數(shù)定義域中某個(gè)特殊值得到一個(gè)必要條件，從而縮小參數(shù)范圍，再論證其充分性，簡(jiǎn)化問(wèn)題的求解過(guò)程.

事實(shí)上，“先猜后證”的方法在解決導(dǎo)數(shù)問(wèn)題時(shí)不局限于此. 當(dāng)沒(méi)有較好的切入點(diǎn)探求參數(shù)取值范圍時(shí)，可以挖掘題干中的顯性條件或隱性條件，在特殊情況下對(duì)結(jié)論進(jìn)行探究、猜想，然后進(jìn)行一般情況下的論證. 例如，該題中“先猜后證”方法的應(yīng)用，就是結(jié)合函數(shù)解析式的特征分析得到函數(shù)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的性質(zhì)，在此基礎(chǔ)上，結(jié)合條件分析函數(shù)圖象的大致趨勢(shì)，從而得到參數(shù)取值的必要條件，不但確定了分類討論的標(biāo)準(zhǔn)，而且對(duì)每一類情況下函數(shù)零點(diǎn)存在性的結(jié)論已經(jīng)有了答案，使運(yùn)算和論證的方向清晰、明確，從而突破了所謂的運(yùn)算難點(diǎn).

三、“先猜后證”策略的價(jià)值及其對(duì)教學(xué)的指導(dǎo)意義

1. 借助“先猜后證”，突破思維和運(yùn)算難點(diǎn)

從對(duì)2022年高考數(shù)學(xué)全國(guó)乙卷兩道試題的分析來(lái)看，如果直接推證，對(duì)學(xué)生代數(shù)結(jié)構(gòu)識(shí)別、構(gòu)造和變形的能力要求較高，需要學(xué)生具有較強(qiáng)的邏輯推理素養(yǎng)，如果沒(méi)有弄清問(wèn)題的本質(zhì)，就會(huì)導(dǎo)致學(xué)生常說(shuō)的“算不下去”的情況. 而兩道高考試題中“先猜后證”方法的應(yīng)用都是利用了題干中的顯性條件或隱性條件先猜出了問(wèn)題的結(jié)論或者明確了探究的目標(biāo)，將求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明問(wèn)題，使計(jì)算量和思維量上大幅度降低.“先猜后證”所蘊(yùn)含的這種“歸納—猜想—證明”的思考方式，使學(xué)生可以從一個(gè)較寬的入口上手，而不是對(duì)導(dǎo)數(shù)和解析幾何問(wèn)題望而卻步，突破了直接推證過(guò)程中的思維難點(diǎn).

2. 培養(yǎng)學(xué)生的探索意識(shí)與能力，使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)研究的完整過(guò)程

提出對(duì)數(shù)學(xué)命題結(jié)論的猜想，在此基礎(chǔ)上再進(jìn)行推理論證，本身就是數(shù)學(xué)研究中重要的思維過(guò)程. 而通過(guò)特殊情況歸納推理或者從目標(biāo)出發(fā)逆向推理得到一般結(jié)論，是提出合理猜想的有效途徑，也是合情推理的基本思想. 在“先猜后證”的探究過(guò)程中，學(xué)生大膽猜測(cè)、小心論證，逐步掌握基本研究方法，培養(yǎng)學(xué)生自主探索的意識(shí)和能力，使學(xué)生積累數(shù)學(xué)研究的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn). 正如波利亞所說(shuō)，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，猜想是合理的，是值得尊敬的.

3. 日常教學(xué)中有意識(shí)進(jìn)行“先猜后證”的思維訓(xùn)練

雖然由猜想到證明的合情推理方法對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的研究有重要意義，但是任何一個(gè)有價(jià)值的猜想都不是無(wú)方向的亂猜，需要學(xué)生在日常數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中經(jīng)歷過(guò)上述“由特殊到一般”的研究過(guò)程，逐步感悟，加深對(duì)該方法的認(rèn)識(shí). 因此，教師可以在教學(xué)活動(dòng)中設(shè)計(jì)相應(yīng)的探究活動(dòng)，不僅限于導(dǎo)數(shù)和解析幾何，在數(shù)學(xué)知識(shí)的不同模塊都可以讓學(xué)生通過(guò)探究活動(dòng)積累經(jīng)驗(yàn)，從而有意識(shí)地進(jìn)行“先猜后證”的思維訓(xùn)練.

參考文獻(xiàn)：

［1］尹嶸. 淺析“先猜后證”中合理猜測(cè)的入手點(diǎn)：以北京高考題為例［J］. 中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2020（9）：55-58.

［2］彭耿鈴. 必要探路? 先猜后證［J］. 數(shù)學(xué)通訊，2019（23）：10-11，49.

作者簡(jiǎn)介：馬超周（1993— ），女，中學(xué)一級(jí)教師，主要從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐與教育教學(xué)理論研究.