南京市教學研究 王紅兵 南京市鼓樓區(qū)教師發(fā)展中心 諸士金

“知識結(jié)構(gòu)化才能形成能力，就像散落在地面上的珍珠顯示不出它特有的價值一樣，只有將散落的珍珠用線串成珍珠鏈才能讓她大放異彩、身價倍增.”[1]因此，從數(shù)學知識的教學角度來說，教師首先要對教學內(nèi)容有一個整體的把握，進而利用結(jié)構(gòu)化的思想去設計教學過程，幫助學生厘清知識結(jié)構(gòu)，促進其知識結(jié)構(gòu)化，逐漸形成數(shù)學知識的系統(tǒng)觀.這一過程有利于學生自主建立深刻和清晰的學習路徑，形成科學的學習方法和理性精神.下面以“圓”中“垂徑定理”的內(nèi)容為素材進行結(jié)構(gòu)化教學設計和分析.

1 垂徑定理的結(jié)構(gòu)化特征分析

垂徑定理是圓的重要性質(zhì)，是圓中證明線段相等、角相等以及垂直關(guān)系的重要依據(jù)，同時也為與圓有關(guān)的其他計算、證明、作圖等提供重要的方法和依據(jù).垂徑定理的結(jié)構(gòu)化特征主要體現(xiàn)在兩個方面，即外聯(lián)模塊結(jié)構(gòu)化特征與內(nèi)部元素結(jié)構(gòu)化特征.

1.1 垂徑定理的外聯(lián)模塊結(jié)構(gòu)化

圓有許多重要性質(zhì)，其中最主要的性質(zhì)是圓的對稱性(軸對稱性和旋轉(zhuǎn)不變性)，它是探索其他性質(zhì)的基礎前提.垂徑定理正是圓的軸對稱性的具體體現(xiàn)(如圖1).圓的軸對稱性質(zhì)是圓的一個重要模塊，這個模塊的探究方法和積累的經(jīng)驗，一方面有利于圓其他類似模塊相關(guān)知識的探究，另一方面也為圖形中與軸對稱性相關(guān)知識的探究提供參考路徑.

圖1 垂徑定理外聯(lián)知識模塊結(jié)構(gòu)示意圖

1.2 垂徑定理的內(nèi)部元素結(jié)構(gòu)化

垂徑定理的條件：①過圓心，②垂直于弦.定理的結(jié)論有：③平分弦，④平分弦所對的劣弧，⑤平分弦所對的優(yōu)弧.事實上，以其中任意兩個為條件都可以得出其余結(jié)論.由于垂徑定理是圓整體的軸對稱性反映在圓局部元素特征的具體體現(xiàn)，因此，這里研究圓心、半徑(直徑)、弦、弧等局部元素的特征需要將這些內(nèi)部元素以軸對稱為線進行結(jié)構(gòu)化(如圖2).

圖2 垂徑定理內(nèi)部元素結(jié)構(gòu)示意圖

2 垂徑定理的結(jié)構(gòu)化教學設計

2.1 學情分析

學生雖然已經(jīng)學習了軸對稱等圖形變化，但運用圖形變化的觀念去發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的意識還不強，因此對于垂徑定理的發(fā)現(xiàn)和證明，學生可能不容易想到從軸對稱的角度去思考.此外，垂徑定理的條件與結(jié)論比較復雜，條件的表述的方式比較多，部分學生不能把握條件的本質(zhì)，從而導致對定理的理解不深入.

2.2 教學目標與教學重難點

(1)探索并證明垂徑定理，會用垂徑定理解決一些簡單問題.

(2)經(jīng)歷實驗、猜想、概括、推理得出垂徑定理的過程，體會圓的軸對稱性.

教學重點是垂徑定理的探索及初步應用；教學難點是垂徑定理的探索.

2.3 教學設計與分析

引言：圓具有怎樣的對稱性？

設計意圖：通過這個問題，既回顧了上節(jié)課研究的圓的中心對稱性，又引出了圓的軸對稱性.

(1)了解圓的軸對稱性

問題1圓的對稱軸是什么？利用課前剪好的圓形紙片，你能把圓的軸對稱性演示給同桌看嗎？

師生活動：教師要求學生課前剪好圓形紙片，激發(fā)學生從“軸對稱性”出發(fā)，借助操作直觀感受圓的軸對稱性.

設計意圖：引導學生關(guān)注圓的對稱軸，在多次、多人折疊的過程中，借助幾何直觀體會圓的軸對稱性，認識到任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸.學生從直觀的“看”到具體的“做”，經(jīng)歷了從具象的圓到抽象的圓的過程.

追問1：如何解釋圓的軸對稱性？

視角1：把圓沿直徑所在的直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合.

視角2：圓上任意一點關(guān)于直徑所在直線的對稱點也在圓上.

追問2：視角1我們通過操作已經(jīng)觀察得到了，你能找出其中的一對對應點嗎？

追問3：視角2又如何理解呢？

生1：任取圓上一點(直徑兩端點除外)，作直徑的垂線交圓于另一點，說明這兩點到直徑的距離相等.

生2：任取圓上一點(直徑兩端點除外)，作直徑的對稱點，證明該點在圓上.

設計意圖：從兩個角度預設學生對圓的軸對稱性進行解釋.這里是在前面操作感受圓是軸對稱圖形的基礎上進一步明晰幾何學習的路徑，即既要有基于“看”和“做”下的“合情推理”，也要有“想”和“證”下的“演繹推理”.兩個方向，可以組織學生先獨立思考，然后開展合作交流.

(2)探索垂徑定理

問題2通過折紙活動，我們發(fā)現(xiàn)圓有軸對稱性，你能嘗試證明它嗎？

設計意圖：前面兩種視角是一種思路分析，如何證明圓有軸對稱性，需要根據(jù)不同的學情在課堂上做出合適的選擇.建議在證明“圓是軸對稱圖形”時，先引導學生厘清“軸對稱圖形”概念，進而回歸到概念上去證明.這里從演示到解釋，從圖形的標識到證明的嘗試，進而把合情推理和演繹推理結(jié)合在一起，培養(yǎng)學生思維的嚴謹性.

問題3在圖3中，你還有哪些發(fā)現(xiàn)？

師生活動：引導學生聚焦圖3，部分學生可能通過連線得到類似圖4的圖形，從“形結(jié)構(gòu)”上觀察，激發(fā)學生學會在數(shù)學內(nèi)部結(jié)合圓的構(gòu)成元素展開聯(lián)想和思考.

圖3

圖4

設計意圖：證明“圓是軸對稱圖形”的過程中，學生必然要經(jīng)歷對圖形以及元素之間關(guān)系的梳理.這一過程能夠較大程度地激發(fā)學生基于問題2中的形結(jié)構(gòu)“模型”進行深層次聯(lián)想，從而發(fā)現(xiàn)更多的結(jié)論.這里師生活動旨在凸顯數(shù)學的思維體驗，并為后面發(fā)現(xiàn)“垂徑定理”的構(gòu)成條件和結(jié)論作鋪墊.

追問1：回到圖3，你能發(fā)現(xiàn)有哪些相等的線段和弧？請用文字語言進行概括.

追問2：如何證明你的發(fā)現(xiàn)？

追問3：從圖5的各種情形中能得出什么結(jié)論？為什么？

圖5

設計意圖：問題3的三個追問，層次和目的明確.追問1指向厘清已有條件和發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；追問2則是要求證明已經(jīng)表達清楚的“發(fā)現(xiàn)”；追問3則是通過圖的變式，將直徑、半徑、弦心距以及過圓心的直線進行統(tǒng)一，通過分析發(fā)現(xiàn)，垂直于弦的不一定必須是直徑，也可以是半徑、弦心距、過圓心的直線，而它們的“形結(jié)構(gòu)”本質(zhì)特征是都過圓心.

追問4：不難看出，①過圓心，②垂直于弦，③平分弦，④平分弦所對的劣弧，⑤平分弦所對的優(yōu)弧，垂徑定理是以①②作為條件，得到結(jié)論③④⑤.我們還能從中選出一些作為條件，其余的作為結(jié)論形成真命題嗎？

師生活動：教師啟發(fā)學生先寫出命題，然后思考命題是否正確.

設計意圖：基于不同的分類組合得到不同的命題，一方面是對“垂徑定理”內(nèi)涵的深度理解，另一方面也是對“垂徑定理”外延的其他形式進行辨析.組織師生活動，先寫命題，再思考命題是否正確，需要根據(jù)學情選擇部分或全部命題進行不同程度的證明或說理.追問4是在辨析定理的基礎上滲透提出問題的一種思維方式.

圖6

(3)運用垂徑定理

例1如圖6，在⊙O中，弦AB長為8 cm，圓心O到弦AB的距離是3 cm，求圓O的半徑.

設計意圖：例1重點考查“垂徑定理”的應用，難度不大，且圖形貼近定理的基本圖形.在分析題意的過程中容易激發(fā)學生聯(lián)想到定理，從而更容易結(jié)合條件分析出解題思路.

圖7

例2如圖7，有一圓弧形拱橋，拱的跨度AB為16 m，拱高CD為4 m，那么弓形的半徑是多少？

設計意圖：從例1中的求線段長到例2的求弓形半徑，是一種基于模型一致的問題解決和應用，巧妙地對“垂徑定理”進行鞏固.

問題4你能綜合運用本節(jié)課的知識，確定一張圓形紙片的圓心嗎？

追問：如果只用直尺和圓規(guī)，你能確定它的圓心嗎？

設計意圖：問題4短短的追問不僅涵蓋了本節(jié)課的全部知識內(nèi)容，更有效提升了學生的直觀想象和邏輯推理能力.

(4)小結(jié)

①本節(jié)課是怎樣發(fā)現(xiàn)和證明垂徑定理的？

②垂徑定理的條件和結(jié)論分別是什么？

③用垂徑定理可以求得哪些量？怎樣求得？

設計意圖：通過小結(jié)，幫助學生梳理本節(jié)課的核心知識以及應用知識解決問題的方法.

3 結(jié)構(gòu)化教學設計與實施的反思

3.1 結(jié)構(gòu)化教學要以核心素養(yǎng)為導向

課程目標以核心素養(yǎng)為導向，而落實“四基”與“四能”的主陣地是課堂教學，因此必須對知識進行結(jié)構(gòu)化整合，且實施結(jié)構(gòu)化教學必須以核心素養(yǎng)的導向為教學目標.本節(jié)課教學目標中“探索并證明垂徑定理”，立足于“探索”，顯化于“證明”.在經(jīng)歷實驗、猜想、概括、推理得出垂徑定理的過程中，重在引導學生自主探尋圓中有關(guān)垂徑定理的外部知識關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)，以及內(nèi)部元素結(jié)構(gòu)特征.這樣的探尋過程具有鮮明的“邏輯性”，所聯(lián)想到的知識之間有強烈的“結(jié)構(gòu)化”特征，學生在經(jīng)歷從合情推理到演繹證明的過程中，發(fā)展了理性精神，形成了正確的情感、態(tài)度和價值觀.

3.2 結(jié)構(gòu)化教學要體現(xiàn)結(jié)構(gòu)化的特征

課程標準中要求數(shù)學課程內(nèi)容要反映數(shù)學學科的特征，符合學生的發(fā)展規(guī)律，在內(nèi)容設計時要凸顯出數(shù)學知識的結(jié)構(gòu)特征，教學活動的組織要體現(xiàn)數(shù)學教育形態(tài)結(jié)構(gòu)化安排，學生的學習獲得應該形成結(jié)構(gòu)化的認知路徑和數(shù)學知識.以垂徑定理為例，本節(jié)課的設計具有較為明顯的層次性和多樣性，以問題串的形式層層推進，引導學生經(jīng)歷了“看、做、想、證”等符合學生認知規(guī)律的數(shù)學活動.這樣的活動環(huán)環(huán)相扣，具有結(jié)構(gòu)化特征，在這樣的活動中學生也逐步清晰地認識了圓作為軸對稱圖形的“形結(jié)構(gòu)”特征.

3.3 結(jié)構(gòu)化教學要關(guān)注學法的結(jié)構(gòu)化

教學活動是在教師引導下學生主動學習的過程.有效的教學活動是學生學和教師教的統(tǒng)一，學生是學習的主體，教師是學習的組織者、引導者與合作者.結(jié)構(gòu)化教學要求教師一方面提升教的水平，另一方面要關(guān)注學生學習的結(jié)構(gòu)化.教師要在“看、做、想、證”等數(shù)學活動的組織上下功夫，引導學生經(jīng)歷類似垂徑定理這樣的數(shù)學發(fā)現(xiàn)過程；要在“適時分步介入”的問題引導上下功夫，精心預設，在預設中敏銳發(fā)現(xiàn)生成資源，及時地發(fā)掘生成資源的價值；要在“獨立思考、合作交流、師生共研”的教學相長的合作上下功夫，幫助學生克服畏難情緒，引發(fā)學生積極思考，鼓勵學生質(zhì)疑問難，培養(yǎng)學生良好的學習習慣.

總之，以垂徑定理的結(jié)構(gòu)化設計和教學實施為例，我們可以看到結(jié)構(gòu)化的知識比碎片化的知識更有利于知識存儲與提取，更能有效促進問題的解決.因此，只有緊扣學科知識的內(nèi)在結(jié)構(gòu)特征進行教學設計，從整體上把握教學的邏輯結(jié)構(gòu)，“教結(jié)構(gòu)”，學生才能“學結(jié)構(gòu)、用結(jié)構(gòu)”.