趙芳芳

(慶陽第七中學(xué)，甘肅 慶陽 745000)

向量最早是物理學(xué)中的概念——矢量，主要是用來對(duì)物體速度、位移、力等進(jìn)行描述.在18世紀(jì)向量被引入到數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，經(jīng)過多年的發(fā)展，向量逐漸成為解決數(shù)學(xué)問題的重要“橋梁”.在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中向量身兼雙職，既能表示代數(shù)性質(zhì)，又可以展現(xiàn)幾何意義.通過向量的這一特性，可以將數(shù)學(xué)題中的幾何問題代數(shù)化，從而輕松地解決問題.

1 高中數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用向量的意義

在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，向量憑借十分獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)受到了諸多數(shù)學(xué)家的重視.新時(shí)期隨著教學(xué)改革的不斷推進(jìn)，高中數(shù)學(xué)教學(xué)理念、教學(xué)內(nèi)容都較之過去有了一定改變，而向量也成為了數(shù)學(xué)教學(xué)的重難點(diǎn)內(nèi)容，向量的價(jià)值不僅體現(xiàn)在其本身是數(shù)學(xué)教材中的基礎(chǔ)知識(shí)，更重要的是向量在數(shù)學(xué)解題中有十分重要的應(yīng)用.事實(shí)上，在高中數(shù)學(xué)解題中，向量的靈活應(yīng)用可以為學(xué)生解題提供多種思路，教師可以引導(dǎo)學(xué)生將向量看做是一個(gè)集數(shù)、形于一體的特殊存在，其具有極強(qiáng)的數(shù)形轉(zhuǎn)化功能，一是平面內(nèi)的任意向量都能數(shù)化，并且可以進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算；二是向量具備長度、位置、方向等特性，在運(yùn)算中具有特殊的幾何意義.向量知識(shí)與其他知識(shí)都有廣泛的交匯點(diǎn)，高中數(shù)學(xué)教師在日常教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生利用向量來解決數(shù)學(xué)問題，可以在很大程度上錘煉學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，并且能讓學(xué)生對(duì)向量知識(shí)有深層次地認(rèn)識(shí).

2 高中數(shù)學(xué)解題中向量的具體應(yīng)用

2.1 向量與代數(shù)交匯問題的處理

在高中數(shù)學(xué)中，代數(shù)強(qiáng)調(diào)的是“數(shù)”，其貫穿于整個(gè)高中階段.而在實(shí)際情況下，只要涉及到“數(shù)”，必然有“算”的存在.向量作為代數(shù)研究的主要對(duì)象，靈活的利用向量線性運(yùn)算、向量數(shù)量積處理問題，可以有效減輕學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算壓力.具體來說，在代數(shù)問題處理上，向量在不等式、等式證明、三角函數(shù)、數(shù)列等方面都有很好的應(yīng)用.

2.1.1 等式及不等式證明中的應(yīng)用

例1任意實(shí)數(shù)a、b、c、d存在(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2，如果向量(a,b)與向量(c,d)共線，則等號(hào)成立.

評(píng)析：在本題中，不等式(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2是柯西不等式，學(xué)生在解題中可以根據(jù)柯西不等式構(gòu)造出向量，通過向量數(shù)量積放縮不等式，得出相應(yīng)的結(jié)論.

2.1.2 取值范圍問題中的應(yīng)用

例2假設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足x2+y2+xy=1，試求x+y的最大值.

2.1.3 三角函數(shù)問題中的應(yīng)用

解析本題屬于典型的向量知識(shí)與三角函數(shù)知識(shí)交匯，在解題過程中需要綜合應(yīng)用三角函數(shù)知識(shí)與向量知識(shí)，有向量內(nèi)積的出現(xiàn)必然涉及到余弦函數(shù)，因此學(xué)生就需要靈活的應(yīng)用向量內(nèi)積對(duì)問題進(jìn)行處理.

2.1.4 數(shù)列問題中的應(yīng)用

2.2 向量與幾何交匯問題的處理

在幾何問題研究中，向量是很重要的手段，其可以很好地對(duì)幾何中的點(diǎn)線面進(jìn)行描述，同時(shí)向量中的部分知識(shí)也具備良好的幾何特性，因此在證明圖形全等、三角形相似、平行、垂直、夾角等問題上，都可以通過向量的數(shù)量積、線性運(yùn)算進(jìn)行處理.

在高中數(shù)學(xué)中，關(guān)于平面幾何的問題大多是通過選擇題、填空題的方式呈現(xiàn)，難度處于中等，學(xué)生在解題中可以嘗試?yán)孟蛄康南嚓P(guān)知識(shí)來處理平面幾何問題，從而提高學(xué)生解題效率.

解析本題中學(xué)生可以利用向量數(shù)量積求解角，將題目中的問題轉(zhuǎn)變成向量夾角求解.需要注意的是，學(xué)生在應(yīng)用向量知識(shí)時(shí)要明確a·b=0時(shí)，a⊥b.

3 高中數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用向量的注意事項(xiàng)

3.1 改變向量知識(shí)教學(xué)思維

在以往的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師經(jīng)常會(huì)單方面地給學(xué)生灌輸知識(shí)，對(duì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、解決問題的能力培養(yǎng)不太重視，而學(xué)生本身也不善于創(chuàng)新解題技巧，解題思維局限嚴(yán)重，即便是遇到能用向量解決的數(shù)學(xué)問題，也習(xí)慣于利用傳統(tǒng)的方法來解決問題.如推理證明、代數(shù)運(yùn)算等，但是面對(duì)一些復(fù)雜程度比較高的數(shù)學(xué)題，學(xué)生就會(huì)出現(xiàn)不知所措的情況.

3.2 注重向量知識(shí)向其他知識(shí)的滲透

向量知識(shí)是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，教師在日常教學(xué)中不僅要引導(dǎo)學(xué)生充分掌握向量概念、基本公式、基本定理等內(nèi)容，同時(shí)還要指引學(xué)生將向量知識(shí)與其他知識(shí)點(diǎn)結(jié)合起來，讓學(xué)生能嘗試?yán)孟蛄恐R(shí)解決數(shù)學(xué)問題.在此過程中教師要指引學(xué)生對(duì)相關(guān)結(jié)論進(jìn)行總結(jié)，將這些結(jié)論應(yīng)用到數(shù)學(xué)問題處理中，促使學(xué)生可以充分感受到向量在解題中的優(yōu)勢(shì).

3.3 強(qiáng)化向量法解題的教學(xué)

高中數(shù)學(xué)教師在講解向量的相關(guān)知識(shí)時(shí)，應(yīng)該靈活應(yīng)用多媒體手段，指引學(xué)生充分把握向量知識(shí)的本質(zhì)，并在此基礎(chǔ)上指引學(xué)生靈活應(yīng)用向量知識(shí)來解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題.

3.4 培養(yǎng)學(xué)生用向量解決問題的能力

在日常教學(xué)中，高中數(shù)學(xué)教師還需要特別注重培養(yǎng)學(xué)生用向量解題的能力，關(guān)注學(xué)生向量運(yùn)算、向量解題邏輯思維、空間想象等方面能力發(fā)展，為學(xué)生的綜合發(fā)展奠定基礎(chǔ).首先在學(xué)生解題時(shí)，應(yīng)該先對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行識(shí)別歸類，在解題過程中學(xué)生需要對(duì)題目中的問題進(jìn)行簡單識(shí)別，結(jié)合問題涉及到的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行細(xì)致歸類，便于在后面遇到類似問題時(shí)，快速找準(zhǔn)解題思路；其次教師還需要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行分析及綜合，要在解題中做到先分析題目，然后在綜合解題要點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)問題分析與綜合的相互滲透.

3.5 關(guān)注學(xué)生發(fā)散性思維培養(yǎng)

對(duì)高中生來說，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)并不僅僅是為了應(yīng)付考試，更重要的是為了推動(dòng)自身創(chuàng)新能力、思維能力的發(fā)展.高中數(shù)學(xué)教師在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)向量知識(shí)時(shí)，要充分關(guān)注學(xué)生向量知識(shí)體系的完整構(gòu)建，引導(dǎo)學(xué)生能深層次的學(xué)習(xí)向量知識(shí).同時(shí)教師在講解關(guān)于向量的題型或者是用向量解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題時(shí)，教師要注意通過分類講解的方式進(jìn)行，便于學(xué)生發(fā)現(xiàn)向量在處理不同問題時(shí)的具體應(yīng)用，使得學(xué)生能充分意識(shí)到向量在數(shù)學(xué)應(yīng)用中的廣泛性，推進(jìn)學(xué)生發(fā)散性思維發(fā)展.