牛榮軍， 劉越，唐紅利，崔永存，鄧四二

(1.河南科技大學 機電工程學院， 河南 洛陽 471003； 2.北京理工大學 機械與車輛學院， 北京 100081；3.中國北方車輛研究所， 北京 100072)

0 引言

多點支撐軸系軸承廣泛應(yīng)用于發(fā)動機、變速箱、機床主軸等機械傳動機構(gòu)中，其性能優(yōu)劣直接影響到機械系統(tǒng)的運動平穩(wěn)性、旋轉(zhuǎn)精度和壽命等。隨著高功率密度傳動系統(tǒng)性能的提升要求，軸系軸承高承載、長壽命的指標也不斷提高[1]。目前，在多點支撐軸系軸承的性能評估中仍多采用將支撐軸視為剛性的簡化方法進行估算[2-5]，其結(jié)果一般會高估軸承性能，給主機的安全運維帶來隱患。因此，考慮多點支撐結(jié)構(gòu)的形變影響，進而優(yōu)化軸系結(jié)構(gòu)配置，提升軸系軸承綜合疲勞壽命為高功率傳動系統(tǒng)的研發(fā)提供理論依據(jù)，極具現(xiàn)實意義。

關(guān)于滾動軸承的承載能力，國內(nèi)外學者已開展了較為深入的研究。劉越等[6]針對傳動系統(tǒng)中典型的多軸承支撐軸系結(jié)構(gòu)，提出了軸和軸承剛度耦合建模方法以及軸系結(jié)構(gòu)精確變形迭代求解方法，獲得了軸系的精確變形。羅祝三等[7]提出了考慮軸的彈性變形對多支點軸系中若干滾動軸承聯(lián)合進行擬靜力學分析的模型，分析結(jié)果表明設(shè)計中要考慮軸系變形軸承的影響。田程等[8]針對多支撐軸系分析的難點，提出了一種考慮軸承剛度耦合性和非線性的有限元計算方法。倪艷光等[9]基于有限元建模方法，分析了套圈變形對球軸承載荷分布以及剛度、壽命等力學性能的影響，結(jié)果表明薄壁球軸承要充分考慮套圈變形與支撐配合關(guān)系的影響。毛宇澤等[10]通過求解包含套圈彈性變形的非線性方程組，分析了負游隙對軸承承載性能及疲勞壽命的影響。Sun等[11]建立了鼠籠式柔性支承滾動軸承的準動態(tài)迭代有限元分析模型，計算并分析了整體柔性支撐結(jié)構(gòu)對滾動軸承內(nèi)部載荷分布和動態(tài)特性的影響。李云峰等[12]建立了包含支撐結(jié)構(gòu)剛度的軸承靜力學分析模型，分析了軸承游隙及初始接觸角對軸承承載能力的影響，并驗證了模型的正確性。Lacroix等[13]對薄壁四點接觸球軸承的載荷- 位移特性進行了實驗研究，并比較了考慮和不考慮套圈剛度時的試驗和數(shù)值結(jié)果。王亞珍等[14]建立了考慮薄壁套圈變形的滾子軸承擬靜力學分析模型，得到不同工況下的軸承載荷分布和疲勞壽命。Harris等[15]利用圓環(huán)的變形方程與Hertz接觸變形公式建立了一組柔度方程組，對具有彈性外圈的行星齒輪軸承的載荷分布進行了分析。劉宏等[16]對鼠籠式彈性支撐件下的齒輪接觸性能進行了試驗研究，發(fā)現(xiàn)鼠籠式彈性支承件的支撐剛度對齒面接觸區(qū)和傳動誤差有較大的影響。鄧四二等[17]研究了溝槽式彈性支撐結(jié)構(gòu)參數(shù)對雙半內(nèi)圈角接觸球軸承動力學特性的影響，指出合理選擇彈性支撐結(jié)構(gòu)參數(shù)可有效改善軸承的動態(tài)性能。毛月新[18]等研究了滾子凸度設(shè)計及修形對軸承接觸載荷特性的影響，但沒有定量給出修形對軸承疲勞壽命的影響。

綜上所述，在多點支撐軸系中，由于轉(zhuǎn)動支撐軸的撓曲變形，以及軸承多點支撐剛度影響，使得軸系軸承的力學性能發(fā)生明顯變化，如果還采用常規(guī)的軸承設(shè)計分析方法，則軸承的承載能力和壽命將產(chǎn)生明顯誤差，不符合實際工程應(yīng)用情況。

本文基于彈性力學的Timoshenko梁單元理論建立多點支撐軸系的通用力學模型，并耦合軸系軸承剛度的影響，系統(tǒng)研究了傳動軸系驅(qū)動力矩大小、作用位置和配置參數(shù)等對軸系軸承的承載性能影響，以期為軸系結(jié)構(gòu)的優(yōu)化配置提供參考依據(jù)。

1 多點支撐軸系的力學模型建立

為詳細考察多點支撐軸系中支撐軸系撓曲變形和軸系軸承剛度復合對軸承承載性能的影響，下面基于一般通用的軸系多點支撐結(jié)構(gòu)，采用彈性力學的Timoshenko梁單元理論建立多點支撐軸系分析模型，然后耦合軸系軸承剛度進行多點支撐軸系軸承的力學性能研究。

圖1所示為多點支撐軸系受載的通用力學模型示意圖，支撐軸系中包括支撐軸承和傳遞齒輪等部件，支撐軸與各個軸系軸承支撐可以視為承受軸向載荷、徑向載荷及力矩的彈簧。定義坐標系Oxyz原點O位于支撐軸軸線上，第1列軸系軸承中心到原點的軸向距離為l1，第j(j=1,2,…,m,m表示軸系軸承的總列數(shù))列軸系軸承中心到原點的軸向距離為lj；各軸系軸承在x軸和y軸方向的徑向載荷分量分別為Fjx、Fjy，在z軸方向的軸向載荷為Fjz；在x軸和y軸方向的力矩分量分別為Mjx、Mjy；作用于支撐軸系上的各外部載荷到坐標原點的軸向距離分別為a1，a2,…,ai，…，an(n表示外力作用位置標號)；各外部載荷在x軸、y軸和z軸方向的分量分別為p1x～pnx、p1y～pny和p1z～pnz；在x軸和y軸方向的力矩分量分別為T1x～Tnx和T1y～Tny。

圖1 多點支撐軸系受載力學模型Fig.1 Mechanical model of a loaded multi-point support shaft

依據(jù)圖1所示支撐軸系受力作用關(guān)系，可以列出支撐軸系的力平衡方程式：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

1.1 支撐軸系撓曲變形計算

支撐軸系的轉(zhuǎn)角和撓度分別以α和ω表示，根據(jù)彈性力學理論，在圖1所示的軸系中支撐軸撓曲的微分方程為

(6)

式中：M為作用彎矩；EI表示支撐軸的抗彎剛度，E為彈性模量，I為慣性矩。

采用積分法可得支撐軸系在分析區(qū)間內(nèi)的轉(zhuǎn)角和撓度方程：

(7)

(8)

(9)

(10)

式中：C1j～C4j為積分常數(shù)；下標x、y表示沿x軸、y軸方向。

1.2 邊界條件確定

根據(jù)變形協(xié)調(diào)原則，在各支撐軸系軸承的中心截面處，支撐軸的形變與軸系軸承支撐位置處的形變應(yīng)協(xié)調(diào)一致。因此，參照圖1多點支撐軸系模型，可以列出軸系軸承支撐位置的邊界條件：

當z=l1時，

(11)

當z=lj時，

(12)

當z=lm時，

(13)

式中：θ和δ分別為各列軸系軸承中心截面位置處的轉(zhuǎn)角和位移變形量。

將邊界條件式(11)～式(13)代入式(7)～式(10)，可以確定積分常數(shù)C1j～C4j以及軸系第j軸承列中心截面位置處的轉(zhuǎn)角和位移關(guān)系式。

2 軸系軸承力學模型建立

本文所分析的軸系結(jié)構(gòu)中有QJ309四點接觸球軸承、MU209圓柱滾子軸承和MU2306圓柱滾子軸承3個典型型號。選擇QJ309和MU2306進行力學建模分析，型號MU209與MU2306的推導方法相似。

根據(jù)變形協(xié)調(diào)原則，各軸系軸承的形變與對應(yīng)支撐軸截面中心的形變協(xié)調(diào)一致。因此可以用各軸系軸承支承點位置對應(yīng)的支撐軸截面中心形變量對軸系軸承進行受載形變分析，即支撐軸和軸系軸承形變量相同。這里給出沿著y軸方向徑向變形和繞x軸傾斜變形的分析過程，沿著x軸方向徑向變形和繞y軸傾斜受載變形可同理分析。軸系軸承中滾動體編號和位置角的設(shè)置如圖2所示。圖2中，Z為滾動體個數(shù)，ψk表示各個滾動體的分布位置角，k表示滾動體編號。

圖2 滾動體編號及位置角定義Fig.2 Numbering and position angles of rolling elements

2.1 軸系圓柱滾子軸承位移變形分析

圖3 滾子與滾道接觸關(guān)系Fig.3 Contact relationship between roller and raceway

本文研究的軸系結(jié)構(gòu)的中間和右側(cè)端為圓柱滾子軸承。對軸系圓柱滾子軸承進行分析時，為了考慮因支撐軸撓曲變形造成軸承滾子傾斜對接觸狀態(tài)的影響，采用切片法沿滾子母線進行離散化處理，切片的寬度為2w=le/N(le為滾子的有效長度，N為切片總數(shù))。圖3為滾子與滾道接觸關(guān)系示意圖，其中l(wèi)λ為(λ為切片編號)每個切片到滾子左參考面的距離，Cmax為滾子凸度量，Mλk為每個切片對滾子中心產(chǎn)生的力矩，qλk為每個切片產(chǎn)生的接觸載荷，θx為內(nèi)圈繞x軸的轉(zhuǎn)角，δy為內(nèi)圈在y軸方向的徑向位移量，zRk為滾子中心傾斜產(chǎn)生的軸向位移量，下標R表示軸系圓柱滾子軸承列。

考慮滾子傾斜、游隙和凸度修型等影響，沿著滾子母線方向，每個滾子切片單元與滾道間產(chǎn)生的接觸變形量為

δykλ=δycosψk+θxcosψk(0.5le-lλ-zRk)- 2cλ-uRr

(14)

式中：lλ=w[1+2(λ-1)]，1≤λ≤N；cλ為滾子凸型的修型量；zRk=0.5dmtan(0.5θxcosΨk)，dm為軸承節(jié)圓直徑；uRr為軸承的徑向游隙。

考慮滾子修型影響，每個滾子切片單元與滾道間的接觸力及力矩分別為

(15)

(16)

接觸力和力矩在y軸方向的徑向力和繞x軸的力矩分量分別為

(17)

(18)

式中：Zr為滾子個數(shù)。

同理可求出接觸力和力矩在x軸方向的徑向力和繞y軸的力矩風量分別為

(19)

(20)

式(14)～式(20)中，下標x、y分別表示圖2所示坐標系中沿y軸方向和繞x軸。

2.2 軸系球軸承位移變形分析

本文研究的軸系支撐結(jié)構(gòu)中左側(cè)為QJ309球軸承，滾動體與滾道間設(shè)計為四點接觸，根據(jù)需要也可設(shè)計為兩點或三點接觸球軸承。鋼球與溝道間的彈性變形量可通過內(nèi)、外溝道的曲率中心距變化來分析。圖4為四點接觸狀態(tài)時鋼球與溝道接觸關(guān)系圖。圖4中，O′為受載后球心位置，α0為設(shè)計接觸角，δz為內(nèi)圈在z軸方向的徑向位移量，c1ik為受載前接觸對Ⅰ內(nèi)曲率中心，c2ik為受載前接觸對Ⅱ內(nèi)曲率中心，c′1ik為受載后接觸對Ⅰ內(nèi)曲率中心，c′2ik為受載后接觸對Ⅱ內(nèi)曲率中心，c1ek為受載前后接觸對Ⅰ外曲率中心，c2ek為受載前后接觸對Ⅱ外曲率中心。

圖4 鋼球與溝道的接觸關(guān)系Fig.4 Contact relationship between steel ball and raceway

受載后，各個位置角處鋼球與內(nèi)、外溝道的接觸彈性變形量為

δ1yk=[(A0sinα0+δz+Riθxcosψk-uBa)2+

(A0cosα0+δycosψk-uBr)2]0.5-A0

(21)

δ2yk=[(A0sinα0-δz-Riθxcosψk-uBa)2+

(A0cosα0+δycosψk-uBr)2]0.5-A0

(22)

式中：A0為內(nèi)外溝道初始曲率中心距；α0為設(shè)計接觸角；Ri為內(nèi)圈溝曲率中心圓半徑；uBa為軸向游隙；uBr為徑向游隙。

各個位置角處鋼球- 滾道間的接觸角為

(23)

(24)

依據(jù)赫茲接觸理論，兩個接觸對產(chǎn)生的接觸載荷分別為

q1yk=Kn[max (0,δ1yk)]1.5

(25)

q2yk=Kn[max (0,δ2yk)]1.5

(26)

式中：Kn為鋼球與溝道的接觸變形系數(shù)，可參考軸承設(shè)計理論[19]確定。

接觸載荷對內(nèi)圈產(chǎn)生的沿z軸方向軸向力、沿y軸方向徑向力和繞x軸的力矩分別為

(27)

(28)

(29)

式中：Zb表示鋼球個數(shù)。

同理，可得到接觸載荷對內(nèi)圈沿著x軸方向徑向力和繞y軸的力矩分別為

(30)

(31)

聯(lián)立式(1)～式(5)、式(17)～式(20)和式(27)～式(31)，可得到軸系軸承共21個未知量的非線性方程組。本文采用Newton-Raphson方法對所建立的非線性方程組進行迭代數(shù)值求解，求解誤差設(shè)置為10-6，最終得到軸系軸承的位移、轉(zhuǎn)角變形量以及支撐軸的撓曲變形等，進而得到軸系軸承的載荷分布、接觸角和壽命等性能參數(shù)。

3 計算結(jié)果及分析

圖5 多點支撐軸系軸承配置Fig.5 Multi-point support shafting bearing configuration

某變速箱驅(qū)動軸系軸承的具體多點支撐軸系結(jié)構(gòu)和軸承配置如圖5所示，結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。中間驅(qū)動齒輪的力矩T為800 N·m，軸系軸承和驅(qū)動齒輪的位置L1為40.5 mm、L2為52.5 mm，L3為51.5 mm，F(xiàn)r為斜齒輪所受徑向力的合力，F(xiàn)a為斜齒輪軸向力。

表1 軸承類型和結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 1 Parameters of bearing type and structure

下面通過驅(qū)動力矩大小、載荷作用位置和安裝配置等研究支撐軸的撓曲變形對軸系軸承的載荷分布、接觸角和爬坡率等影響，評估多點支撐軸系軸承的承載性能。

3.1 剛?cè)岫帱c支撐軸系剛性比較

圖6 多點支撐軸系形變剛性比較Fig.6 Comparison of rigidity of multi-point support shafting

為表明多點支撐軸系中，剛性和柔性支撐軸對軸系軸承承載性能的影響，圖6給出驅(qū)動力矩T在400～1 200 N·m范圍變化時支撐軸的撓曲變形影響對比。

由圖6可以看出：

1)隨著驅(qū)動力矩的增大，剛性軸不能產(chǎn)生撓曲變形，只能通過偏轉(zhuǎn)角的改變，調(diào)節(jié)多點支撐軸系軸承的載荷比分配，使得左端球軸承的徑向變形明顯增加，具體剛性變形見表2的數(shù)據(jù)結(jié)果；

2)隨著驅(qū)動力矩的增大，柔性軸的撓曲變形明顯，特別是中間齒輪作用位置，變形量最大。由于考慮多點支撐軸撓曲變形的影響，使得多點支撐軸系軸承的變形量明顯不同于剛性軸變形的影響。特別是球軸承的徑向變形呈負位移變化，明顯不同于剛性軸的正位移變化。具體數(shù)據(jù)結(jié)果如表2所示。

多點支撐軸系中，支撐軸的撓曲變形對各個軸系軸承的載荷分配產(chǎn)生明顯影響，采用常規(guī)的剛性軸分析方法，將使得軸承壽命評估過于偏大，在實際多點支撐軸承計算中，要考慮支撐軸系的撓曲變形和軸系軸承的耦合作用。

3.2 軸系軸承性能分析

3.2.1 圓柱滾子軸承性能分析

為表明支撐軸系撓曲變形對軸承接觸性能的影響，圖7給出了多點支撐軸系形變對中間和右端軸系軸承不同修型滾子接觸狀態(tài)的影響結(jié)果，選用常用的兩邊弧坡和對數(shù)兩種滾子修型方法，為體現(xiàn)對比性滾子凸度量都取為0.08 μm，驅(qū)動力矩為800 N·mm，其他參數(shù)見表1。

表2 剛?cè)嵝灾屋S系對軸系軸承支撐剛性的影響Table 2 Influence of rigid and flexible shafting on support rigidity of shafting bearing

圖7 滾子凸型對軸承接觸性能的影響Fig.7 Effects of roller crown on contact performance

參照圖5軸系坐標系設(shè)置。為便于后續(xù)軸承受載分析，設(shè)置齒輪徑向合力方向為y軸方向，此時所分析軸系軸承載荷分布關(guān)于yz平面對稱，在圖7中只提取軸承的一半滾子進行受載分析。由圖7中2種滾子修型的結(jié)果可以看出：1)柔性軸系對軸承的承載狀態(tài)產(chǎn)生明顯影響，柔性軸由于在軸承支撐點的撓曲變形，對支撐點軸承產(chǎn)生附加力矩作用，使得其母線接觸壓力分布呈明顯的兩端非對稱狀態(tài)；2)柔性軸系下，2種修型滾子母線的壓力分布區(qū)域都明顯減小，受載壓力均勻性變差，從而造成滾子母線局部承載壓力偏大，軸承容易因局部受載壓力過大發(fā)生早期疲勞失效。

從支撐軸系對軸承的壓力分布影響可以看出，多點支撐軸系軸承的分析中，要考慮支撐軸撓曲變形對軸承承載性能的影響，在剛性軸系下軸承受載均勻性要優(yōu)于柔性支撐軸系，從而過高估計軸系軸承的承載能力，給安全性設(shè)計帶來一定風險。

圖8給出了考慮多點支撐軸系撓曲變形，滾子不同修型方法對中間和右端圓柱滾子軸承載荷分布的影響。

圖8 滾子凸型對軸承載荷分布的影響Fig.8 Effects of roller crown on load distribution

由圖8可以看出：1)中間圓柱滾子軸承有9個滾子在承載區(qū)域，8個在非受載區(qū)域，全圓弧修型滾子受載的最大載荷較大，而兩端弧坡修型滾子受載的最大載荷最小；2)右端滾子軸承中，對數(shù)和全圓弧修型滾子有9個滾子在承載區(qū)域，而直母線和兩端弧坡修型滾子全部13個滾子承載，其中全圓弧修型滾子受載的最大載荷最小，而對數(shù)修型滾子受載的最大載荷最大。

根據(jù)多點支撐軸系中間和右端滾子軸承受載特點分析，中間滾子軸承選擇兩邊弧坡修型、右端滾子軸承選擇全圓弧修型比較合適，有助于降低軸承的受載壓力，延長軸承使用壽命。

圖9給出了多點支撐軸系中，驅(qū)動力矩T在 400～1 200 N·m范圍變化時對中間和右端滾子軸承載荷分布和最大接觸壓力的影響。

圖9 驅(qū)動力矩對軸承承載性能的影響Fig.9 Effects of driving torque on the bearing performance

由圖9可以看出：1)隨著驅(qū)動力矩的增大，分配到中間和右端圓柱滾子軸承的作用載荷增加，使得滾子軸承的載荷分布都整體增大；2)中間圓柱滾子軸承的受載載荷明顯高于右端圓柱滾子軸承受載載荷，需適當調(diào)整齒輪力作用位置，使得中間和右端滾子軸承受載盡量相同、壽命接近，達到同壽命設(shè)計；3)多點支撐軸承系軸承中，中間和右端圓柱滾子軸承最大接觸壓力都呈現(xiàn)不斷增加趨勢，其中內(nèi)圈接觸壓力明顯高于外圈接觸壓力，使得軸承內(nèi)圈要早于外圈發(fā)生疲勞失效。

3.2.2 四點接觸球軸承性能分析

圖10給出了驅(qū)動力矩T在400～1 200 N·m范圍變化時對左端四點接觸球軸承載荷分布的影響。

圖10 驅(qū)動力矩對軸承載荷分布的影響Fig.10 Effects of driving torque on load distribution

由圖10可以看出：1)隨著驅(qū)動力矩的增大，分配到左端四點接觸球軸承的作用載荷增加，使得球軸承的載荷分布都整體增大；2)由于球軸承的多點接觸特點，部分鋼球存在兩個接觸對同時受載情況，鋼球編號6和7同時受載。由于其多點受載作用，鋼球的運動靈活性受到限制；3)接觸對Ⅰ起主要受載作用，其載荷分布明顯高于接觸對Ⅱ的承載載荷。接觸對Ⅱ整體受載較小，大部分鋼球處于非承載狀態(tài)，因此在多點支撐軸系中，球軸承主要承受軸向和力矩載荷，分配到球軸承的徑向載荷較少。

圖11給出了不同設(shè)計接觸角對左端四點接觸球軸承接觸角和接觸壓力的影響。

圖11 設(shè)計接觸角對軸承接觸性能的影響Fig.11 Effects of design contact angle on bearing contact performance

由圖11可以看出：1)設(shè)計接觸角的增大，有助于四點接觸球軸承抵抗軸系分配的軸向載荷，降低軸承接觸載荷，接觸角每增加5°接觸最大接觸壓力下降50 MPa左右；2)在工況條件不變條件下，通過增大設(shè)計接觸角可以明顯減小軸承的最大接觸壓力，有助于提高軸承抗疲勞失效能力，是延長軸承壽命的有效設(shè)計方法。

上述分析表明，接觸角變化對提高軸承承載能力，延長軸承壽命具有明顯作用，但過大的設(shè)計接觸角有可能導致接觸軸肩爬坡率過高，造成軸承爬坡問題[20]，從而造成軸承在軸肩位置過早失效風險。因此，要合理選擇初始設(shè)計接觸角，在極限載荷作用下軸承不出現(xiàn)爬坡問題，原理圖如圖12所示，其中ci為內(nèi)圈溝道曲率中心。

圖12 球軸承軸肩爬坡原理圖Fig.12 Schematic diagram of ball-bearing shoulder climbing

內(nèi)圈最小擋邊高為

(32)

外圈溝道的最小擋邊高為

(33)

內(nèi)、外圈爬坡率定義為

(34)

式中：ri為內(nèi)圈溝道的曲率半徑；re為外溝道曲率半徑；α為實際接觸角；θ為內(nèi)圈受載后的轉(zhuǎn)角；ai為內(nèi)圈接觸橢圓的長半軸；ae為外圈接觸橢圓的長半軸。

圖13為在設(shè)計接觸角為35°，驅(qū)動力矩在 400～1 200 N·m范圍變化時對軸承爬坡率的影響結(jié)果。圖14為在驅(qū)動力矩為800 N·m，初始設(shè)計接觸角在25°～45°范圍變化時對軸承爬坡率的影響結(jié)果。

圖13 驅(qū)動力矩對軸承爬坡率的影響Fig.13 Effects of driving torque on climbing rate

圖14 設(shè)計接觸角對軸承爬坡率的影響Fig.14 Effects of contact angle on climbing rate

由圖13可以看出：1)隨著驅(qū)動力矩的增加，軸承內(nèi)外溝道的爬坡率非線性增加，內(nèi)溝道的爬坡率明顯高于外溝道爬坡率，因此內(nèi)溝道出現(xiàn)爬坡失效分析更大，要嚴苛控制設(shè)計接觸角的選擇；2)設(shè)計接觸角為35°時，根據(jù)80%爬坡率安全指標要求，其驅(qū)動軸極限輸入力矩1 004 N·m；3)在驅(qū)動軸力矩一定工況下(本文研究對象取800 N·m)，內(nèi)溝道極限設(shè)計接觸角為40.6°，外溝道極限設(shè)計接觸角為44.3°。

3.3 齒輪作用位置對多點支撐軸系變形剛性影響

圖15 齒輪作用位置對支撐軸系變形剛性的影響Fig.15 Effects of gear action position on rigidity of shafting

為優(yōu)化所研究多點支撐軸系軸承的載荷分配，提升軸系軸承的承載能力和壽命，圖15給出變換驅(qū)動力矩T的作用位置，考察支撐軸的撓曲變形特性，并以軸系軸承綜合壽命為判斷依據(jù)(見圖16)，從而得到齒輪安裝最佳作用位置。

圖16 齒輪作用位置對軸系軸承綜合壽命的影響Fig.16 Effects of gear action position on life of shafting bearing

由圖15和圖16可以看出：1)隨著驅(qū)動力矩T作用位置右移(見圖15)，左端球軸承變形由正位移向負位移轉(zhuǎn)變，中間滾子軸承位移變化量不大，右端滾子軸承由負位移到正位移，再到負位移變化；2)依據(jù)軸承疲勞壽命理論，計算多列軸承組的綜合疲勞壽命(見圖16)，可以看出在距離L2為41～46 mm范圍，軸系軸承的綜合壽命L10處于最大區(qū)間，L2過小或過大，軸承壽命呈明顯下降趨勢。

原始設(shè)計中驅(qū)動力矩T的位置距離L2=52.5 mm，由圖16可以看出，此時軸承壽命處于下降位置，需根據(jù)優(yōu)化結(jié)果使齒輪位置左移，適當減小L2長度，增大軸系軸承組綜合壽命。

4 結(jié)果驗證

為驗證本文所提出分析方法的正確性，采用MASTA軟件對該模型算例進行建模計算。MASTA是主流的商用傳動系統(tǒng)分析軟件，在軸承、齒輪和多軸系設(shè)計分析中廣泛采用。采用表1的結(jié)構(gòu)參數(shù)和圖5的軸系模型，驅(qū)動力矩為800 N·m，本文提出方法與商用軟件得到的計算結(jié)果如表3所示。

表3 計算結(jié)果對比分析Table 3 Comparative analysis of calculation results

從表3中可以看到，本文提出的方法得到的軸承徑向、軸向和力矩計算結(jié)果與MASTA軟件計算的結(jié)果基本一致，證明了本文方法的正確性。

為真實反映本文所研究多點支撐軸系的剛性特點，選擇同型號QJ309EA、NU209EC和NU2306的軸系軸承搭建測試試驗臺，所搭建的試驗原理圖如圖17所示。

圖17 多點支撐軸系剛性測試原理圖Fig.17 Schematic diagram of multi-point support shafting rigidity test

QJ309EA球軸承主要承受軸向載荷，通過螺栓拉力器控制軸向載荷加載；NU209EC和NU2306主要承受徑向載荷，在齒輪位置通過徑向拉力器模擬載荷加載，為減小徑向加載對轉(zhuǎn)軸變形的影響，中間添加調(diào)心軸承，通過調(diào)心作用減少對軸角位移量影響。

將圓柱滾子軸承內(nèi)圈與軸過盈配合，外圈與軸承座間隙配合，通過靜態(tài)載荷加載方式測試多點支撐軸的徑向位移量。由于軸系軸承采用軸承座支撐，無法直接測得其變形位移量，測試點設(shè)置在徑向載荷加載點右側(cè)中間位置(見圖17)。軸承徑向位移量通過千分表測試，具體操作過程如圖18所示。

圖18 多點支撐軸位移量測試Fig.18 Displacement test of multi-point support shafting

不同徑向載荷條件下，測試支撐軸的靜態(tài)位移量，為減小測量誤差影響，不同加載載荷下進行5次測試，測試結(jié)果與計算結(jié)果如圖19所示。

圖19 多點支撐軸靜態(tài)位移量結(jié)果比較Fig.19 Comparison of static displacement results of multi-point support shafting

由圖19的試驗測試與計算結(jié)果比較可以看出:加載載荷較小時，剛性計算結(jié)果與測試結(jié)果較接近，但隨著加載載荷增加，考慮多點支撐軸變形的計算結(jié)果與測試結(jié)果逐漸趨近。其原因是在小載荷作用時，多點支撐軸系軸承的剛度對轉(zhuǎn)軸的撓曲變形影響較小，隨著作用載荷的增加，軸系軸承剛度的非線性變化使得轉(zhuǎn)軸變形量增加，與高載荷加載的支撐軸變形量測試結(jié)果接近，從而也證明了本文所建模型的正確性。

5 結(jié)論

1)從多點支撐圓柱滾子軸承最佳凸型設(shè)計角度考慮，中間列滾子軸承選擇兩邊弧坡修型、右端滾子軸承選擇全圓弧修型，比較適合支撐軸撓曲變形對軸承接觸載荷影響，有助于降低軸承的受載壓力，延長軸承使用壽命。

2)從多點支撐球軸承極限爬坡率角度考慮，根據(jù)80%爬坡率安全指標要求，左端球軸承設(shè)計接觸角為35°時其驅(qū)動軸最大輸入力矩1 004 N·m，而在驅(qū)動力矩為正常工況800 N·m時，內(nèi)溝道最大設(shè)計接觸角為40.6°，外溝道最大設(shè)計接觸角為44.3°。

3)從提高軸系軸承綜合壽命角度考慮，齒輪作用載荷的位置的調(diào)整可以起到明顯效果。L2過小或過大，軸承壽命呈明顯下降趨勢，在距離L2為41～46 mm范圍時，軸系軸承的綜合壽命L10處于最大區(qū)間。