■安徽省蕪湖市第一中學(xué) 劉海濤

在立體幾何的高考復(fù)習(xí)備考過(guò)程中,頻繁出現(xiàn)有關(guān)動(dòng)點(diǎn)軌跡的問(wèn)題,該類(lèi)問(wèn)題一般以選擇、填空題的形式出現(xiàn),主要考查空間中點(diǎn)、線(xiàn)、面的平行與垂直關(guān)系,空間中的距離、角度,解析幾何中的點(diǎn)的軌跡等知識(shí),綜合性強(qiáng),難度較大,已成為高考復(fù)習(xí)備考的一大課題。本文通過(guò)幾道典型例題歸納總結(jié)出有關(guān)立體幾何中動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題的通性通法,現(xiàn)與讀者交流。

一、由動(dòng)點(diǎn)保持平行性求軌跡

例1在棱長(zhǎng)為2 的正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F分別是棱C1D1,B1C1的中點(diǎn),P是上底面A1B1C1D1內(nèi)一點(diǎn)(含邊界),若AP∥平面BDEF,則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)為( )。

解析:如圖1 所示,分別取棱A1B1,A1D1的中點(diǎn)M,N,連接MN,B1D1。因?yàn)镸,N,E,F為所在棱的中點(diǎn),所以MN∥B1D1,EF∥B1D1,則MN∥EF。又MN?平面BDEF,EF?平面BDEF,所以MN∥平面BDEF。連接NF,由NF∥A1B1,NF=A1B1,A1B1∥AB,A1B1=AB,可得NF∥AB,NF=AB,則四邊形ANFB為平行四邊形,則AN∥FB。而AN?平面BDEF,FB?平面BDEF,則AN∥平面BDEF。又AN∩NM=N,所以平面AMN∥平面BDEF。又P是上底面A1B1C1D1內(nèi)一點(diǎn),且AP∥平面BDEF,所以點(diǎn)P在線(xiàn)段MN上。又MN=B1D1,所以點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)為。故選B。

圖1

評(píng)注:由P是動(dòng)點(diǎn),得AP為動(dòng)直線(xiàn),考慮將AP放入過(guò)定點(diǎn)A且平行于平面BDEF的平面(記為α)內(nèi),又P是上底面A1B1C1D1內(nèi)一點(diǎn)(含邊界),故P點(diǎn)的軌跡為所求平面α與上底面A1B1C1D1的交線(xiàn)(線(xiàn)段MN),于是只需確定M,N兩點(diǎn)的位置即可。

通性通法:處理由一動(dòng)點(diǎn)P(在某一定平面γ內(nèi)或某空間幾何體的表面Γ上)與一定點(diǎn)A形成的動(dòng)直線(xiàn)AP與定平面β平行,求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡問(wèn)題時(shí),一般有兩種處理策略:①將線(xiàn)面平行轉(zhuǎn)化為面面平行,即過(guò)點(diǎn)A作平面α,使得α∥β,α與γ(或Γ)的交線(xiàn)即為動(dòng)點(diǎn)P的軌跡;②利用法向量垂直關(guān)系求軌跡,即設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)得到直線(xiàn)AP的方向向量,利用·n=0(n為平面β的法向量),得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程。

二、由動(dòng)點(diǎn)保持垂直性求軌跡

例2在棱長(zhǎng)為1 的正方體ABCDA1B1C1D1中,M,N分別為BD1,B1C1的中點(diǎn),點(diǎn)P在正方體的表面上運(yùn)動(dòng),且滿(mǎn)足MP⊥CN。給出下列說(shuō)法:①P可以是棱BB1的中點(diǎn);②線(xiàn)段MP的最大值為;③點(diǎn)P的軌跡是正方形;④點(diǎn)P軌跡的長(zhǎng)度為2+。其中所有正確說(shuō)法的序號(hào)是____。

解析:如圖2 所示,分別在棱CC1,DD1,AA1,BB1上取點(diǎn)E,F,G,H,使得C1E=D1F=AG=BH,連接EF,FG,GH,HE,FH,D1H,FB。在正方形CC1D1D中,由C1E=D1F,得EF∥CD,EF=CD。同理AB∥GH,AB=GH。又AB∥CD,AB=CD,所以EF∥GH,EF=GH,則四邊形EFGH為平行四邊形。由AB⊥平面BB1C1C,HE?平面BB1C1C,得AB⊥HE。又AB∥GH,所以HE⊥GH,故四邊形EFGH為矩形,其中GH=1,HE=,FH=。在 正 方 形BB1C1C中,tan∠NCC1·tan∠HEC=×2=1,則∠NCC1+∠HEC=90°,所以CN⊥HE。由AB⊥平面BB1C1C,CN?平面BB1C1C,得CN⊥AB。又AB∥GH,所以CN⊥GH。又GH∩HE=H,所以CN⊥平面EFGH。由題知D1F∥HB,D1F=HB,則四邊形D1FBH為平行四邊形。又M為BD1的中點(diǎn),則M也為FH的中點(diǎn),所以M∈平面EFGH。由MP⊥CN,CN⊥平面EFGH,M∈平面EFGH,點(diǎn)P在正方體的表面上運(yùn)動(dòng),得點(diǎn)P的軌跡為矩形EFGH,顯然①和③錯(cuò)誤,②和④正確。故填②④。

圖2

評(píng)注:由P是動(dòng)點(diǎn),得MP為動(dòng)直線(xiàn),考慮將MP放入過(guò)定點(diǎn)M且與定直線(xiàn)CN垂直的平面(記為α)內(nèi),又點(diǎn)P在正方體的表面上運(yùn)動(dòng),故P點(diǎn)的軌跡為所求平面α與正方體表面的交線(xiàn)(矩形EFGH),于是只需確定E,F,G,H四點(diǎn)的位置即可。

通性通法:處理由一動(dòng)點(diǎn)P(在某一定平面γ內(nèi)或某空間幾何體的表面Γ上)與一定點(diǎn)M形成的動(dòng)直線(xiàn)MP與定直線(xiàn)l垂直,求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡問(wèn)題時(shí),一般有兩種處理策略:①將線(xiàn)線(xiàn)垂直轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面垂直,即過(guò)點(diǎn)M作平面α,使得l⊥α,α與γ(或Γ)的交線(xiàn)即為動(dòng)點(diǎn)P的軌跡;②利用向量垂直關(guān)系求軌跡,即設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)得到直線(xiàn)MP的方向向量,利用·a=0(a為直線(xiàn)l的方向向量),得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程。

三、由動(dòng)點(diǎn)保持定距(或等距)求軌跡

例3在棱長(zhǎng)為4 的正方體ABCDA′B′C′D′中,E,F分別是AD,A′D′的中點(diǎn),長(zhǎng)為2的線(xiàn)段MN的一個(gè)端點(diǎn)M在線(xiàn)段EF上運(yùn)動(dòng),另一個(gè)端點(diǎn)N在底面A′B′C′D′上運(yùn)動(dòng),則線(xiàn)段MN的中點(diǎn)P的軌跡(曲面)與正方體(各個(gè)面)所圍成的幾何體的體積為( )。

解析:如圖3 所示,連接PF,NF。在 正 方 形AA′D′D中,由E,F分別為AD,A′D′的中點(diǎn),得EF∥AA′,且EF=AA′=4。由AA′⊥平面A′B′C′D′,得EF⊥平面A′B′C′D′。又FN?平面A′B′C′D′,所以EF⊥FN。又P為MN的中點(diǎn),所以FP=MN=1,故點(diǎn)P的軌跡是以F為球心,1為半徑的球面,則點(diǎn)P的軌跡(曲面)與正方體(各個(gè)面)所圍成的幾何體為球F的,所以所求幾何體的體積為V=。故選D。

圖3

評(píng)注:由M,N為動(dòng)點(diǎn)知P為動(dòng)點(diǎn),得PF為動(dòng)線(xiàn)段,連接PF,NF,發(fā)現(xiàn)PF為直角△MNF的斜邊MN上的中線(xiàn),又MN=2,則PF=1,由此得到動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F的距離為定值1,根據(jù)球的定義知點(diǎn)P的軌跡是以F為球心,1為半徑的球面,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求球體與正方體的公共部分的體積。

通性通法:若由兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M,N(或一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M與一個(gè)定點(diǎn)N)構(gòu)成的動(dòng)線(xiàn)段MN的長(zhǎng)度為定值,處理該線(xiàn)段的中點(diǎn)P的軌跡問(wèn)題時(shí),一般有兩種處理策略:①根據(jù)問(wèn)題特征,找到與M,N所在直線(xiàn)(或面)有關(guān)聯(lián)的定點(diǎn)F,研究線(xiàn)段PF的長(zhǎng)度是否為定值,根據(jù)題意判斷點(diǎn)P的軌跡是球(或圓);②建立空間直角坐標(biāo)系,將題中幾何語(yǔ)言“翻譯”為代數(shù)語(yǔ)言,得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程。

四、由動(dòng)點(diǎn)保持定角(或等角)求軌跡

例4在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別為AB,A1B1的中點(diǎn),P是邊C1D1上的一個(gè)點(diǎn)(包括端點(diǎn)),Q是平面PMB1上一動(dòng)點(diǎn),滿(mǎn)足直線(xiàn)MN與直線(xiàn)AN的夾角與直線(xiàn)MN與直線(xiàn)NQ的夾角相等,則點(diǎn)Q所在軌跡為( )。

A.橢圓 B.雙曲線(xiàn)

C.拋物線(xiàn) D.拋物線(xiàn)或雙曲線(xiàn)

解析:由題設(shè)知,Q點(diǎn)的軌跡為以AN為母線(xiàn),MN為軸,AB為底面直徑的圓錐側(cè)面,及其關(guān)于A1B1反向?qū)ΨQ(chēng)的錐體側(cè)面與平面PMB1的交線(xiàn),如圖4所示。若P在邊C1D1上移動(dòng)的過(guò)程中,只與下方錐體有相交,則Q點(diǎn)軌跡為拋物線(xiàn);若P在邊C1D1上移動(dòng)的過(guò)程中,與上方錐體也有相交,則Q點(diǎn)軌跡為雙曲線(xiàn)。故選D。

圖4

評(píng)注:由題設(shè)知,直線(xiàn)MN與直線(xiàn)AN的夾角∠ANM為定值,則動(dòng)直線(xiàn)NQ與定直線(xiàn)MN的夾角為定值,由此得動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是以AN為母線(xiàn),MN為軸,AB為底面直徑的圓錐側(cè)面,于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為動(dòng)平面PMB1與圓錐體側(cè)面的交線(xiàn),應(yīng)用數(shù)形結(jié)合,根據(jù)平面與雙錐面相交所成曲線(xiàn)的性質(zhì)判斷點(diǎn)Q所在軌跡的形狀。

通性通法:已知由一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q(在某一定平面γ內(nèi)或某空間幾何體的表面Γ上)與一個(gè)定點(diǎn)N(在某一定平面α內(nèi))構(gòu)成的動(dòng)直線(xiàn)QN,兩定點(diǎn)M,N構(gòu)成定線(xiàn)段MN,若動(dòng)直線(xiàn)NQ與定直線(xiàn)MN的夾角為定值(或動(dòng)直線(xiàn)NQ與平面α所成角為定值),則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡為圓錐體的側(cè)面與平面γ(或表面Γ)的交線(xiàn)(一般為圓、橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)的全部或一部分)。若需定量知道曲線(xiàn)的長(zhǎng)度(圍成的區(qū)域面積),則可借助空間直角坐標(biāo)系,通過(guò)設(shè)動(dòng)點(diǎn)Q的坐標(biāo),利用向量的夾角公式等,得到動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程。

例5如圖5,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,AB⊥AD,CD=AD==2,PA=3,若動(dòng)點(diǎn)Q在△PAD內(nèi)及邊上運(yùn)動(dòng),使得∠CQD=∠BQA,則三棱錐Q-ABC的體積最大值為_(kāi)___。

圖5

圖6

評(píng)注:解答該題的關(guān)鍵是在得到QD=AD后,在平面PAD內(nèi),建立平面直角坐標(biāo)系求出點(diǎn)Q的軌跡是圓(x-3)2+y2=8在△PAD的邊上或內(nèi)部的圓弧,由數(shù)形結(jié)合直觀(guān)得出點(diǎn)Q到DA的距離最大為2,即三棱錐Q-ABC的高的最大值為2。

通性通法:已知由一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q(在某一定平面γ內(nèi)或某空間幾何體的表面Γ上)與四個(gè)定點(diǎn)A,B,C,D,若∠CQD=∠BQA,則考慮解△CQD和△BQA,嘗試將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)Q到兩定點(diǎn)D,A(或D,B,或C,A,或C,B)的距離相等(或成定比例),利用坐標(biāo)系借助平面解析幾何知識(shí)求出動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程。

五、投影求軌跡

例61822 年,比利時(shí)數(shù)學(xué)家旦德林(Dandelin)利用圓錐曲線(xiàn)的兩個(gè)內(nèi)切球,證明了用一個(gè)平面去截圓錐,可以得到橢圓(其中兩球與截面的切點(diǎn)即為橢圓的焦點(diǎn)),實(shí)現(xiàn)了橢圓截線(xiàn)定義與軌跡定義的統(tǒng)一性。在生活中,有一個(gè)常見(jiàn)的現(xiàn)象:用手電筒斜照地面上的籃球,留下的影子會(huì)形成橢圓。這是由于光線(xiàn)形成的圓錐被地面所截產(chǎn)生了橢圓的截面。如圖7所示,在地面的某個(gè)點(diǎn)A1的正上方有一個(gè)點(diǎn)光源,將小球放置在地面,使得AA1與小球相切。若A1A=5,小球的半徑為2,則小球在地面的影子形成的橢圓的離心率為_(kāi)___。

圖7

解析:作出過(guò)A,A1,A2三點(diǎn)的截面,如圖8 所示,設(shè)球與AA2相切于點(diǎn)D,球與A1A2相切于點(diǎn)F1(橢圓的左焦點(diǎn))。在Rt△AA1A2中,設(shè)A2F1=x,則DA2=x,AA1=5,A1A2=x+2,AA2=x+3,所以52+(x+2)2=(x+3)2,解得x=10,則長(zhǎng)軸長(zhǎng)A1A2=2a=12,即a=6,c=6-2=4,所以離心率e=。故填

圖8

評(píng)注:由題干中的介紹不難明白小球在地面的影子形成的橢圓,球與地面的切點(diǎn)為該橢圓的左焦點(diǎn),于是考慮利用光線(xiàn)形成的圓錐的軸截面來(lái)解題,得到如圖8 所示的平面圖形,接著利用平面幾何知識(shí)可輕松解題。

通性通法:一般地,球的正投影為圓,非正投影為橢圓,這是因?yàn)辄c(diǎn)光源的光線(xiàn)形成圓錐,被地面所截產(chǎn)生了橢圓的截面,其中球與地面的切點(diǎn)為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)。

六、翻折與動(dòng)點(diǎn)求軌跡

例7已知矩形ABCD中,AB=1,AE=,如 圖9 所示,將△ABE沿 著B(niǎo)E進(jìn)行翻折,使得點(diǎn)A與點(diǎn)S重合,若點(diǎn)S在 平 面BCDE上的射影在四邊形BCDE內(nèi)部(包含邊界),則動(dòng)點(diǎn)S的軌跡長(zhǎng)度為_(kāi)___。

圖9

圖10

圖11

評(píng)注:過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BE于點(diǎn)M,交BC于點(diǎn)G,在翻折的過(guò)程中,不改變這一垂直關(guān)系,故可得到BE⊥平面SMG,從而平面SMG⊥平面BCDE,由面面垂直的性質(zhì)定理不難得到,點(diǎn)S在平面BCDE上的射影N落在線(xiàn)段MG上。由翻折過(guò)程可知,SM=AM=判斷出S的軌跡是以M為圓心,為半徑的一段圓弧,求出圓心角,利用弧長(zhǎng)公式求出弧長(zhǎng)。

通性通法:立體幾何中的翻折問(wèn)題,看似變幻莫測(cè),實(shí)則有據(jù)可循,一般情況下,需要始終牢記以下幾點(diǎn):(1)在折線(xiàn)同側(cè)的量,折疊前后不變。(2)“跨過(guò)”折線(xiàn)的量,折疊前后可能會(huì)發(fā)生變化;這些變與不變的關(guān)系,構(gòu)建了平面圖形與空間圖形之間的橋梁。因此,在解決立體幾何翻折問(wèn)題時(shí),常見(jiàn)的解題策略有:①翻折過(guò)程中尋找不變的垂直關(guān)系求軌跡;②翻折過(guò)程中尋找不變的長(zhǎng)度關(guān)系求軌跡;③可以利用空間坐標(biāo)運(yùn)算求軌跡。

立體幾何中的動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題,主要考查空間想象能力,分析變化中的不變量,考查的內(nèi)容以教材中的公理和基本定理為主,若我們能熟練掌握這些基本公理、定理、概念、公式等,牢記文中歸納總結(jié)出的六大類(lèi)型及其通性通法,定能輕松掌握立體幾何中的動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題。