朱 托，李 正，張 凱，李 孜

(上海理工大學 機械工程學院，上海 200093)

永磁(Permanent Magnet，PM)電機因為其高能量密度和高效率的特性，被越來越廣泛地應用在高速電機、電動汽車等領域[1-2]。永磁電機的效率是一個關鍵設計參數，而損耗計算則是設計該電機的基礎[3]。永磁體的周向分塊分段是較為常見的電機設計，在計算損耗時，在極坐標系下無法使得每段永磁體截面上的總渦流為零[4]。文獻[5～7]在二維直角坐標系下計算了轉子的渦流損耗，考慮了永磁體的周向分段。文獻[8～9]采用鏡像法建立三維解析模型，該模型能考慮永磁體的軸向分段和周向分段。相較于文獻[5～6]，文獻[7～9]雖然精度更高，但模型較為復雜，難以應用。文獻[10～11]使用有限元(Finite Element Analysis，FEA)研究永磁體電阻率、銅屏蔽層厚度對渦流損耗結果的影響。文獻[12]在計算轉子渦流損耗時，比較了時步有限元和時諧有限元兩種方法，并認為后者可作為前者的高效替代方案。然而，有限元法求解效率較低，且不易看出各變量間的關系。

電磁轉矩是電機的另一關鍵參數。文獻[13～14]使用解析法計算了Halbach陣列永磁電機的電磁轉矩。文獻[15～16]在解析法的基礎上對永磁體磁極形狀參數進行優(yōu)化，其中文獻[16]使用粒子群優(yōu)化算法(Particle Swarm Optimization，PSO)進行求解。

在研究永磁同步電機(Permanent Magnet Synchronous Machine，PMSM)解析模型時，很少有文獻能同時求解渦流損耗和電磁轉矩這兩種指標。本文依次推導出以上兩種磁場解析模型，并對比了解析解和時步有限元的數值解。在對定子繞組節(jié)距和永磁體極弧系數進行參數影響研究后，使用粒子群算法進行優(yōu)化迭代，使得電機設計能同時實現降低損耗和提高轉矩等多種目標。

1 電機模型和參數

1.1 電機模型

電機模型為六相12槽14極永磁同步電機，AUBVCW這六相繞組在空間上對稱分布，通電時序互差60°電角度[17]。電機的截面圖如圖1所示。

圖1 六相12槽14極永磁同步電機截面圖Figure 1. Cross-sectional schematic of a 6-phase 12-slot 14-pole PMSM

解析模型在圖1的基礎上增加了保護套計算域。

1.2 簡化假設

對于電機的電樞反應磁場和空載磁場模型，作如下假設：

(1)將氣隙、保護套和永磁體區(qū)域看作半無限平面；

(2)忽略端部效應，感應渦流只有軸向分量；

(3)各個媒質是均勻且各向同性的，其電導率σ、磁導率μ是不變的常數；

(4)定子和轉子鐵心磁導率無窮大，電導率為0，忽略定子和轉子鐵心中產生的渦流；

(5)忽略定子槽域、槽口域，即忽略空載渦流損耗和齒槽轉矩；

(6)對于電樞反應磁場，定子繞組電流由分布在定子槽開口的等效電流片模型表示；

(7)解析模型均在二維直角坐標系下，即空載磁場中永磁體平行充磁和徑向充磁等同。

1.3 電機參數

電機參數如表1所示。其中定子繞組的輸入電流均為理想的交流電，計算數據時忽略保護套。

表1 結構數據和參數

2 電樞反應磁場解析模型

電機的電樞反應磁場計算模型如圖2。

圖2 電樞反應磁場計算模型Figure 2.Calculation model of armature reaction magnetic field

如圖2所示，電樞反應磁場模型中，電機周向為x軸，徑向為y軸。計算域共3層，從上到下依次是厚度為g的氣隙域、厚度為l的保護套域和厚度為m的永磁體域，每個計算域均有對應的電導率和磁導率。電樞反應磁場模型將永磁體電密在厚度上積分成永磁體頂層的感應電流片，以此來考慮渦流反應。

在永磁體域這一層中，由于解析模型考慮了永磁體的周向分段，因此當永磁體極弧系數小于1時，各極永磁體間會存在氣隙。

2.1 等效電流片模型

考慮定子繞組排布的空間v次諧波和定子電流時間k次諧波，A相電流片表達式為

(1)

式中，ia是A相電流瞬時值，為∑Ikcoskpnrt；ksov是槽口系數，為sin(vb0/2Rs)/(vb0/2Rs)；kpv是節(jié)距系數，為sin(vαy/2)；kdv是分布系數，為1；kwv是繞組系數，為kpv×kdv。

對稱六相繞組的合成等效電流片為

J=JA+JB+JC+JU+JV+JW=

(2)

式中，Jkv是諧波幅值，為6NIkksovkwv/(πRs)。

當k≠3n，將式(2)變形如下

(3)

式中，β為vπ/τ；τ為所有計算域中心高度所對應的一對極對應極距(基波極距)。

將定子靜止坐標x轉化為轉子旋轉坐標xr，轉換式為πx/τ=nrt+πxr/τ。所以式(3)改寫為

(4)

電樞反應場中橫坐標均為轉子旋轉坐標。

2.2 電樞反應磁場控制方程及通解

在電樞反應磁場中，氣隙域的上邊界是代表定子磁動勢的電流片。

2.2.1 氣隙域

(5)

(6)

由定子電流片激勵，式(5)的通解為

(7)

式中，A、B是由邊界條件確定的常數。

磁通密度的切向和徑向分量為

(8)

2.2.2 保護套域

(9)

通解為

(10)

[CeλⅡy+De-λⅡy]cos[(kp+ν)nrt+βx]

(11)

2.2.3 永磁體域

為考慮永磁體的周向分段，假設每一塊寬度為bM的永磁體塊被分為s段。永磁體塊的編號為ρ(ρ=1,…,2p)，分段編號為λ(λ=1,…,s)，則任一永磁體塊的任一段記作(λ，ρ)，在永磁體分段內的x軸坐標為

(12)

式中，τpM是永磁體高度中間點所對應半徑上的極距，為π(Rm+Rr)/2p；bM是永磁體高度中間點所對應半徑上的寬度，為αpτpM。

在永磁體中，為考慮渦流反應，在y=m處，定義感應電流片AⅢisin[(kp+v)nrt+βx]。這種近似避免了因為x軸方向上材料的不連續(xù)分布，而導致在計算邊界條件時出現過于復雜的情況。

由于引入感應電流片，永磁體域內的λⅢ用β代替。此時永磁體域周向磁位參考式(7)為

(13)

式中，E、F是由邊界條件確定的常數。

永磁體域軸向電密為

(14)

式中，JⅢc是附加電流項，其使每個永磁體塊段內電密積分為零。式(14)只在永磁體段內有效。

關于感應電流片參數AⅢi求取，可參考文獻[5]。

2.3 計算域間邊界條件

電樞反應磁場邊界條件如下：

當y=g+l+m，有

(15)

當y=l+m時

(16)

當y=m，則有

(17)

當y=0，則有

(18)

將各計算域x方向上的磁場強度和y方向上的磁密代入式(15)～式(18)，求得待定常數A、B、C、D、E和F。

2.4 渦流損耗求解

由式(14)可知，對于任一永磁體段(λ，ρ)，在一個電周期T=2π/(pnr)內的平均渦流損耗為

(19)

式中，La為永磁體軸向長度。

每一個永磁體段(λ，ρ)內的渦流損耗功率相等，則永磁體的總渦流損耗為

PⅢ=2psPⅢ，λρ

(20)

在保護套中，由式(11)得到在一個電周期T=2π/(pnr)內的平均渦流損耗為

(21)

式中，τpS為保護套高度中間點所對應半徑上的極距。

3 空載磁場解析模型

電機的空載磁場計算模型如圖3所示。

圖3 空載磁場計算模型Figure 3. Calculation model of no-load magnetic field

在圖2中，電樞反應磁場有電樞電流片激勵，有永磁體渦流，無永磁體勵磁。在圖3中，空載磁場無電樞電流片激勵，無永磁體渦流，有永磁體勵磁。

3.1 空載磁場控制方程及通解

在空載磁場中，作為勵磁源，首先求解永磁體域，空載磁場均在靜止坐標系下求解。

3.1.1 永磁體域

永磁體中磁密B、磁場強度H和磁化強度M滿足下式。

B=μ0M+μ0μmH

(22)

計算永磁體域時，不考慮齒槽以及其引起的空載渦流損耗，即永磁體中無電流密度分布。由磁矢定義可得關于軸向磁位的泊松方程為

(23)

式中，Mx為永磁體磁化強度切向分量；My為永磁體磁化強度徑向分量。

由文獻[18]可知

(24)

式中，Mxn為0；Myn為4pBrsin(nπαp/2p)/(nπμ0)；θv為永磁體初始位置；Br為永磁體剩磁。

令γ=nπ/τ，將式(24)代入式(23)可得

(25)

式(25)通解為

(26)

式中，Y、Z是由邊界條件確定的常數。

3.1.2 保護套域

計算保護套域時，同樣不考慮空載渦流損耗。其中的磁場控制方程為拉普拉斯方程。保護套域軸向磁位的通解由式(25)可得

(27)

式中，W、X是由邊界條件確定的常數。

3.1.3 氣隙域

氣隙域磁場控制方程為拉普拉斯方程。氣隙域軸向磁位通解如下

(28)

式中，U、V是由邊界條件確定的常數。

3.2 計算域間邊界條件

空載磁場邊界條件如下

當y=g+l+m

(29)

當y=l+m

(30)

當y=m

(31)

當y=0

(32)

將各計算域x方向上的磁場強度和y方向上的磁密代入式(29)～式(32)，可求得待定常數U、V、W、X、Y和Z。

3.3 電磁轉矩求解

由式(7)、式(8)可知，在靜止坐標系下，電樞反應磁場中氣隙磁密的切向和徑向分量為

(33)

(34)

由式(28)和式(8)可知，空載磁場中，氣隙磁密的切向和徑向分量為

(35)

(36)

負載磁場中，氣隙磁密的切向和徑向分量為式(37)。

(37)

由麥克斯韋應力張量法計算電磁轉矩，積分路徑為氣隙厚度中心位置處，即Rint=(Rm+Rs)/2。電磁轉矩表達式為

(38)

由表(1)電機輸入參數和式(38)可知，平均電磁轉矩Tave和電磁轉矩波動幅值ΔTvn為

(39)

(40)

式中，Cxav、Cyav、Cxpn和Cypn是電樞反應磁場和空載磁場中氣隙磁密切向和徑向分量表達式中的各次諧波系數，由式(33)～式(36)可得。

電磁轉矩諧波總畸變率THDT如式(41)，以此表征式(40)中電磁轉矩波動的含量。

(41)

4 計算結果和優(yōu)化設計

4.1 解析模型驗證

用時步有限元軟件，對表1參數電機進行仿真，有限元和解析模型的結果對比如圖4所示。

(a)

(b) 圖4 有限元法與解析法計算結果對比(a)永磁體渦流損耗 (b)電磁轉矩Figure 4. Comparison of calculation results between FEA and analytic model(a)Eddy current loss of PMs (b)Electromagnetic torque

圖4中，永磁體平均渦流損耗Pave有限元數值解為2 139 W，解析解為2 103 W，誤差為1.7%；平均電磁轉矩Tave有限元數值解為594.3 N·m，解析解為583.3 N·m，誤差為1.9%。解析模型滿足一定的精度要求。

4.2 電機尺寸影響分析

本文分析了定子繞組節(jié)距αy和永磁體極弧系數αp對渦流損耗和電磁轉矩的影響。定子繞組節(jié)距αy的取值范圍為[12°，48°]，永磁體極弧系數αp的取值范圍為[0.5，1]。參數示意圖如圖5所示。

圖5 繞組節(jié)距和極弧系數示意圖Figure 5. Schematic diagram of winding pitch and pole arc coefficient

對于上述繞組節(jié)距αy和極弧系數αp，使用解析模型，分別計算永磁體平均渦流損耗Pave、平均電磁轉矩Tave和電磁轉矩波動THDT的響應面，如圖6所示。

(a)

(b)

(c) 圖6 各參數指標的響應面(a)永磁體平均渦流損耗 (b)平均電磁轉矩 (c)電磁轉矩諧波總畸變率Figure 6. Response surface of each parameter(a)Average eddy current loss of PMs (b)Average electromagnetic torque (c)Total harmonic distortion rate of electromagnetic torque

由圖6可知，減小繞組節(jié)距或永磁體極弧系數可降低永磁體平均渦流損耗；繞組節(jié)距在25°左右時，平均電磁轉矩最大，且隨著永磁體極弧系數的增大而增大；電磁轉矩波動在繞組節(jié)距超過44°時較大，其值超過10%。在繞組節(jié)距小于44°時，電磁轉矩諧波畸變率分布較為復雜，總體在1%～10%間波動。

4.3 電機尺寸優(yōu)化設計

為提高平均電磁轉矩Tave、降低電磁轉矩波動THDT和永磁體平均渦流損耗Pave，對表1電機進行優(yōu)化分析。優(yōu)化算法為PSO，優(yōu)化變量為定子繞組節(jié)距αy和永磁體極弧系數αp。使用加權法將多目標函數轉變?yōu)閱文繕撕瘮?，目標函數?/p>

(42)

式中，f為簡化后的單目標函數，其值越小電機越理想；λ1、λ2和λ3分別是優(yōu)化目標永磁體平均渦流損耗Pave、平均電磁轉矩Tave和電磁轉矩波動THDT的權值，依次取0.45、0.45和0.1；Pi=2 103 W，為優(yōu)化前的永磁體平均渦流損耗；Ti=583.3 N·m，為優(yōu)化前的平均電磁轉矩；THDi=1.31%，為優(yōu)化前的電磁轉矩波動。

約束條件如式(43)所示。

(43)

PSO中，粒子數為20個，最大迭代數為200次，收斂曲線如圖7所示。

圖7 粒子群算法收斂曲線Figure 7.Convergence curve of PSO

由圖7可知，在前30次迭代中，最優(yōu)粒子更新較快，在迭代后期，曲線趨于平穩(wěn)，可認為在最優(yōu)解附近。

經PSO計算可知，當繞組節(jié)距αy=20.6°且極弧系數αp=0.57時，最優(yōu)目標f=0.69。此時平均渦流損耗Pave為514 W，降低了76%；平均電磁轉矩Tave為454 N·m，降低了22%；電磁轉矩波動THDT為0.42%，降低了68%，電機較為理想。

以上優(yōu)化方案大幅降低了永磁體的平均渦流損耗和電磁轉矩波動，但也小幅降低了平均電磁轉矩。若想提高平均電磁轉矩，需通過調整合適的權值λ1、λ2和λ3進行優(yōu)化求解。

5 結束語

本文提出了一種永磁同步電機優(yōu)化設計方案，優(yōu)化目標函數基于電樞反應磁場和空載磁場兩種解析模型。電樞反應磁場計算永磁體平均渦流損耗，引入感應電流片，降低了模型復雜性，提高了計算效率。解析模型均使用時步有限元進行精度驗證。針對平均電磁轉矩和平均渦流損耗，對定子繞組節(jié)距和永磁體極弧系數作參數影響分析。結果顯示，兩個參數在一定范圍內有相似的相關性，此時難以確定理想的電機方案。使用權值將多目標函數簡化為單目標函數，進行電機的優(yōu)化設計。相比有限元模型，解析模型在優(yōu)化迭代時效率更快，能快速收斂，得出給定權值下的最優(yōu)電機設計。通過調整權值，可得到不同指標傾向的設計方案。

本文忽略了定子齒槽帶來的空載渦流損耗和齒槽轉矩，優(yōu)化分析的輸入參數也僅有兩個。后續(xù)研究可以對解析模型進行修改，也可以增加優(yōu)化算法的參數維度，或調整構建目標函數。