張學(xué)飛，曹兆風(fēng)，王志堅(jiān)

（常州大學(xué)城市軌道交通學(xué)院，江蘇 常州 213164）

1 引言

隨著列車運(yùn)行速度的提高及軸重的變化，使得輪軌間的接觸疲勞越來越嚴(yán)重，出現(xiàn)了踏面裂紋、硌傷等輪軌損傷問題[1?2]，對于列車運(yùn)行的平穩(wěn)性、舒適性和安全性產(chǎn)生嚴(yán)重影響。所以，對輪軌裂紋的研究顯得尤為重要。在裂紋分析中，對于一些復(fù)雜構(gòu)形的裂紋結(jié)構(gòu)，部分學(xué)者采用了數(shù)值方法。文獻(xiàn)[3?4]對利用數(shù)值法對內(nèi)部裂紋的應(yīng)力和應(yīng)變分布進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[5]利用有限元的方法建立了不同長度、不同角度的車輪內(nèi)部裂紋，進(jìn)而得到了不同工況下裂紋周邊以及輪軌接觸區(qū)的Mises 應(yīng)力分布規(guī)律。文獻(xiàn)[6]在使用ANSYS研究輪軌疲勞裂紋的萌生時(shí)發(fā)現(xiàn)，隨著軸重的增加，輪軌最大Mises應(yīng)力、最大接觸法向應(yīng)力和接觸疲勞裂紋萌生速率也會(huì)隨之增大。

由于裂紋尖端處的應(yīng)力具有奇異性，在研究和分析裂紋時(shí)，網(wǎng)格質(zhì)量對求解精度的影響是不容忽視的。盡管許多有限元軟件可以對裂紋結(jié)構(gòu)進(jìn)行精確的應(yīng)力分析，但是在網(wǎng)格劃分方面，尤其是對于一些復(fù)雜的裂紋結(jié)構(gòu)，在進(jìn)行網(wǎng)格劃分的時(shí)候往往需要對模型進(jìn)行多次切分，甚至最終并不能得到理想的網(wǎng)格模型。而FRANC3D 軟件的自適應(yīng)網(wǎng)格劃分功能很好地解決了這一問題，并且還能計(jì)算裂紋的自動(dòng)擴(kuò)展和結(jié)構(gòu)的疲勞壽命，在許多行業(yè)已經(jīng)有了廣泛的應(yīng)用。文獻(xiàn)[7]利用FRANC3D軟件對葉片在疲勞裂紋作用下的多次斷裂進(jìn)行了分析。文獻(xiàn)[8]對齒輪疲勞裂紋擴(kuò)展進(jìn)行了數(shù)值模擬分析，研究表明，裂紋擴(kuò)展過程中以Ⅰ型裂紋為主，應(yīng)力強(qiáng)度因子隨裂紋擴(kuò)展長度的增加而增大。文獻(xiàn)[9]通過計(jì)算一個(gè)應(yīng)用實(shí)例，驗(yàn)證了實(shí)驗(yàn)值與FRANC3D 預(yù)測值的準(zhǔn)確性。文獻(xiàn)[10]對輪盤三維裂紋進(jìn)行了分析，并利用該軟件繪制出輪盤裂紋擴(kuò)展的疲勞壽命曲線。

雖然FRANC3D在其他行業(yè)發(fā)揮了很大的作用，但其在輪軌裂紋的問題上應(yīng)用甚少。當(dāng)車輪出現(xiàn)裂紋時(shí)，裂紋的起始位置和角度不盡相同，因此需要研究各種參數(shù)對車輪裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響及其規(guī)律。將該方法應(yīng)用到輪軌裂紋問題上，依據(jù)邊界元的思想，結(jié)合斷裂力學(xué)的知識，使用FRANC3D 軟件在車輪不同位置插入不同長度、不同角度及不同深度的裂紋來研究三維裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子。

2 疲勞裂紋擴(kuò)展的理論依據(jù)

2.1 裂紋尖端奇異性

在彈性力學(xué)中，裂紋尖端附近應(yīng)力場可由含1/r項(xiàng)的式子表示：

式中：r、θ—求σ值所在點(diǎn)的圓柱形極坐標(biāo)；（fθ）—無量綱參數(shù)。

當(dāng)r→0，θ→0時(shí)，裂紋尖端附近點(diǎn)的應(yīng)力將趨于無窮大，稱為應(yīng)力的奇異性[10]。然而這種情況實(shí)際并不存在，當(dāng)應(yīng)力達(dá)到材料的屈服極限時(shí)，裂紋尖端便會(huì)發(fā)生塑性變形從而使應(yīng)力得到松弛，同時(shí)形成一個(gè)微小的塑性區(qū)域。但是，雖然此時(shí)裂紋尖端的應(yīng)力趨于無窮大，其應(yīng)力強(qiáng)度因子卻是有限值。

2.2 應(yīng)力強(qiáng)度因子

斷裂力學(xué)中反映裂紋尖端彈性應(yīng)力場強(qiáng)弱的物理量稱為裂紋尖端應(yīng)力場強(qiáng)度因子，簡稱應(yīng)力強(qiáng)度因子（SIF），一般來說，應(yīng)力強(qiáng)度因子可寫成如下形式[11]：

式中：σ—名義應(yīng)力，即裂紋位置上按無裂紋計(jì)算的應(yīng)力；

a—裂紋幾何尺寸；

α—形狀系數(shù)（與裂紋幾何尺寸、位置等有關(guān)）。

根據(jù)線彈性斷裂力學(xué)理論[12]，裂紋是否會(huì)擴(kuò)展主要取決于裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子KI，若KI小于材料的斷裂韌性KIC，則構(gòu)件能夠繼續(xù)安全使用，否則就必須對裂紋進(jìn)行消除。KIC是平面應(yīng)變狀態(tài)下I型裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子KI的臨界值，稱為材料的平面應(yīng)變斷裂韌度。KIC是材料本身的屬性，其數(shù)值取決于物體和裂紋的幾何形狀、加載狀況、試驗(yàn)環(huán)境。

2.3 FRANC3D軟件工作機(jī)理

FRANC3D軟件能夠很好地模擬三維裂紋擴(kuò)展行為，是一款專門用于斷裂分析的自由軟件，主要針對應(yīng)力強(qiáng)度因子、裂紋自動(dòng)擴(kuò)展和疲勞壽命的計(jì)算。

其功能和應(yīng)用介紹見文獻(xiàn)[11]。FRANC3D有很強(qiáng)的模擬裂紋的能力，可以生成多種類型的裂紋，如多裂紋、非平面裂紋和任意形狀的裂紋，用戶可以根據(jù)需要在模型任意位置中加入所需的裂紋。并且在裂紋擴(kuò)展后，只需對很小的一部分區(qū)域重新劃分網(wǎng)格，這大大減少了網(wǎng)格劃分時(shí)間。

在計(jì)算方面，F(xiàn)RANC3D可以很好地將對接主流的有限元軟件，如ABAQUS、ANSYS、MSC Mar等。求解時(shí)，直接調(diào)用有限元軟件的求解器，充分利用了有限元軟件的分析能力。軟件分析流程，如圖1所示。

圖1 FRANC3D分析流程圖Fig.1 FRANC3D Analysis Flowchart

FRANC3D提供兩種方法計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子，分別是M?積分法和位移相關(guān)法，其中位移相關(guān)法比較容易理解和實(shí)施，但精度較差，通常用于針對零部件的健康檢查，但不適用于生產(chǎn)工作。M?積分是默認(rèn)的方法，在數(shù)值上與J積分相似，擁有較高的求解精度。

這里選用M?積分求解裂紋。其表達(dá)式為［12］：

式中：Г—圍繞裂紋尖端的積分回路；

M?積分與應(yīng)力強(qiáng)度因子關(guān)系為：

式中：KI、KII、KIII—三種基本裂紋形式對應(yīng)的應(yīng)力強(qiáng)度因子。

由于大量的實(shí)驗(yàn)研究表明［13］，在輪軌接觸中，疲勞裂紋主要以張開型裂紋KI裂紋為主，所以主要以I型裂紋為研究對象，具體分析結(jié)果見第四節(jié)。

3 數(shù)值模型的建立

先利用有限元軟件ABAQUS對無裂紋的輪軌接觸模型進(jìn)行應(yīng)力分析，獲得整個(gè)輪軌模型的應(yīng)力分布情況，并確定最大Von?Mises應(yīng)力的準(zhǔn)確位置，即裂紋最容易萌生和擴(kuò)展的區(qū)域。然后將應(yīng)力分析結(jié)果導(dǎo)入FRANC3D進(jìn)行裂紋擴(kuò)展分析。

3.1 幾何尺寸與材料參數(shù)

在SolidWorks中建立了真實(shí)的輪軌模型，車輪型面選用標(biāo)準(zhǔn)磨耗型LMA型踏面［14］，軌道為我國普遍采用的標(biāo)準(zhǔn)UIC60 型軌道［15］。考慮軌底坡對接觸面的影響，按照實(shí)際情況設(shè)置1/40的軌底坡。輪軌選用相同的材料參數(shù)：彈性模量E=210000MPa，泊松比v=0.3，彈塑性參數(shù)，如表1所示。假設(shè)輪軌間摩擦系數(shù)為0.3。

表1 材料彈塑性應(yīng)力應(yīng)變表Tab.1 Material Elastoplastic Stress and Strain Table

3.2 有限元模型和網(wǎng)格劃分

由于結(jié)構(gòu)尺寸和模型邊界條件具有對稱性，為減少計(jì)算量和更好的進(jìn)行裂紋擴(kuò)展行為觀察，選取了1/4的車輪模型和局部的軌道模型進(jìn)行仿真計(jì)算。使用ABAQUS 軟件中單元類型為C3D8R的8節(jié)點(diǎn)六面體單元?jiǎng)澐钟邢拊Ｐ?，對接觸區(qū)域部分進(jìn)行了細(xì)化，最小網(wǎng)格尺寸為1mm。車輪模型共計(jì)64944個(gè)單元和69360個(gè)節(jié)點(diǎn)。軌道模型共計(jì)40012個(gè)單元和43993個(gè)節(jié)點(diǎn)。

對模型施加15t載荷，計(jì)算得到輪軌接觸區(qū)域最大Mises為722.4MPa，最大應(yīng)力所在區(qū)域的應(yīng)力分布情況，如圖2所示。結(jié)果與文獻(xiàn)[16]誤差不到5%，認(rèn)為模型準(zhǔn)確性可以接受，能夠用于裂紋仿真計(jì)算。后面將以該區(qū)域作為子模型引入裂紋。

圖2 最大應(yīng)力所在區(qū)域的應(yīng)力分布情況Fig.2 Stress Distribution in the Area Where the Maximum Stress is Located

3.3 求解應(yīng)力強(qiáng)度因子

將計(jì)算結(jié)果對接到FRANC3D求解應(yīng)力強(qiáng)度因子。此時(shí)，可以將模型切分成全局模型和最大應(yīng)力所在區(qū)域的子模型。對子模型引入裂紋，以簡化計(jì)算，裂紋為半橢圓形，如圖3所示。

圖3 引入裂紋Fig.3 Insert Crack

圖3中裂紋長軸1mm，短軸0.5mm，裂紋深度8mm，裂紋角為30°。網(wǎng)格劃分僅對裂紋區(qū)域的網(wǎng)格加密，保證了模型的完整性，也能更加精確地反映出裂紋特性。引入裂紋后輪軌子模型的網(wǎng)格圖及其裂紋放大圖，如圖4所示。求解時(shí)，F(xiàn)RANC3D可以自動(dòng)調(diào)用ABAQUS外部求解器。

圖4 插入裂紋后的模型網(wǎng)格圖及其裂紋放大圖Fig.4 The Model Grid Diagram After Crack Insertion and the Enlarged View of the Crack

4 結(jié)果分析

4.1 裂紋長度的影響

在原模型的基礎(chǔ)上保持短軸不變，改變長軸長度，使裂紋與踏面夾角呈30°，裂紋深度為8mm。FRANC3D計(jì)算的15t軸重下不同長度裂紋尖端3種應(yīng)力強(qiáng)度因子數(shù)值模擬分布曲線，如圖5所示。裂紋前緣被離散成許多點(diǎn)，圖中橫坐標(biāo)軸采用量綱為1的裂紋前緣長度來表示裂紋因子所在的位置，即半橢圓形裂紋前緣上的裂紋點(diǎn)到起始點(diǎn)的弧長與整個(gè)弧長的比值。

圖5 不同長度下的應(yīng)力強(qiáng)度因子Fig.5 SIF at Different Lengths

由圖中可知，在裂紋前緣兩端，隨著裂紋長度的增加，應(yīng)力強(qiáng)度因子逐漸變小，中間段則相反，且裂紋長度超過0.5mm，應(yīng)力強(qiáng)度因子增長速率加快，達(dá)到1mm時(shí)逐漸減慢。也就是說，隨著裂紋長度的增大，裂紋兩端與中間段的裂紋擴(kuò)展速率有著不同趨勢，中間段“先快后慢”，兩端反之。

4.2 不同裂紋角的影響

保持裂紋長度及位置不變，改變原模型裂紋相對于垂直于踏面的角度，重新建立有限元模型，對所建立的模型進(jìn)行計(jì)算分析，本文選取裂紋兩端及中間處的三組數(shù)據(jù)，也就是0.002，0.5，0.998參量處，分別記為點(diǎn)11，22，33。后面也是針對該參量處數(shù)據(jù)進(jìn)行研究。在裂紋的不同位置處，裂紋角對尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響趨勢相同，如圖6所示。當(dāng)裂紋角與踏面區(qū)呈30°時(shí)，裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的值最大，說明此時(shí)的裂紋最容易擴(kuò)展。當(dāng)裂紋角從30°達(dá)到90°時(shí)，應(yīng)力強(qiáng)度因子迅速減小，在與踏面垂直時(shí)取得最小值，此時(shí)裂紋相對安全。所以，應(yīng)盡量避免出現(xiàn)小角度的裂紋。

圖6 不同裂紋角下的應(yīng)力強(qiáng)度因子Fig.6 SIF at Different Crack Angles

4.3 不同載荷的影響

計(jì)算了裂紋尺寸1mm 的裂紋在不同軸重下的應(yīng)力強(qiáng)度因子，如圖7所示。對比三組數(shù)據(jù)，可以發(fā)現(xiàn)，各點(diǎn)處的應(yīng)力強(qiáng)度因子隨垂直負(fù)載幾乎呈線性增加，且中間段的值明顯高于兩端。

圖7 不同軸重下的應(yīng)力強(qiáng)度因子Fig.7 SIF at Different Axle Load

考慮到裂紋尺寸的影響，對了不同長度的裂紋在不同軸重下做了對比，如圖8所示。對于不同長度的裂紋，應(yīng)力強(qiáng)度因子同樣隨軸重線性增加，只是坡度略有變化。當(dāng)載荷較小時(shí)，應(yīng)力強(qiáng)度因子受裂紋長度影響較小，而當(dāng)載荷較大時(shí)，應(yīng)力強(qiáng)度因子隨裂紋長度變化更為明顯。所以列車在運(yùn)行時(shí)應(yīng)避免過載。

圖8 不同裂紋長度下的應(yīng)力強(qiáng)度因子隨載荷變化圖Fig.8 SIF Changes with Load Under Different Crack Lengths

4.4 不同裂紋位置的影響

保持原模型不變，建立不同深度的車輪踏面的內(nèi)部裂紋，裂紋長度1mm，裂紋角為30°。軸重15t下裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子分布情況，如圖9所示。從圖中可知，在裂紋的各個(gè)位置處，應(yīng)力強(qiáng)度因子隨裂紋深度的增加先增大，后逐漸減小。為進(jìn)一步探究規(guī)律，在ABAQUS中繪制了一條沿裂紋深度方向的路徑，并提取了Mises應(yīng)力分布情況，如圖10所示。通過對比發(fā)現(xiàn)，應(yīng)力強(qiáng)度因子K 與Mises 應(yīng)力有著相似分布情況。由于此處為接觸斑區(qū)域，此處的尖端應(yīng)力和應(yīng)力強(qiáng)度因子普遍較高，其他區(qū)域隨著距離而逐漸減小?？梢姡佑|斑對應(yīng)力強(qiáng)度因子有顯著的影響，處于接觸斑附近的裂紋更容易擴(kuò)展。

圖9 不同裂紋深度下的應(yīng)力強(qiáng)度因子Fig.9 SIF at Different Crack Depths

圖10 沿路徑方向的Mises應(yīng)力分布Fig.10 Mises Stress Distribution Along the Path

5 結(jié)論

使用有限元軟件ABAQUS 結(jié)合FRANC3D 軟件研究了輪軌裂紋三維有限元模型的應(yīng)力強(qiáng)度因子，探討分析了不同工況下的裂紋與應(yīng)力強(qiáng)度因子之間的關(guān)系。該方法更加方便地對裂紋尖端網(wǎng)格進(jìn)行細(xì)化，省去了繁瑣的部件切分工作，且結(jié)果可信度比較高。通過此軟件的仿真模擬，可以得到如下結(jié)論：

（1）隨著裂紋長度的增大，裂紋兩端與中間段的裂紋擴(kuò)展速率有著不同趨勢，中間段“先快后慢”，兩端反之。

（2）當(dāng)裂紋角與踏面區(qū)呈30°時(shí)，裂紋裂尖應(yīng)力強(qiáng)度因子的值最大，此時(shí)的裂紋最容易擴(kuò)展。裂紋角從30°達(dá)到90°時(shí)，應(yīng)力強(qiáng)度因子迅速減小，在與踏面垂直時(shí)取得最小值，此時(shí)裂紋相對安全。所以，應(yīng)盡量避免出現(xiàn)小角度的裂紋。

（3）裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子隨著垂直負(fù)載幾乎呈線性增加。對于不同長度的裂紋，坡度略有變化。當(dāng)載荷較小時(shí)，應(yīng)力強(qiáng)度因子受裂紋長度影響較小，而當(dāng)載荷較大時(shí)，應(yīng)力強(qiáng)度因子隨裂紋長度影響更為明顯。所以列車在運(yùn)行時(shí)應(yīng)避免過載。

（4）應(yīng)力強(qiáng)度因子隨裂紋深度的增加先增大，后逐漸減小。且處于接觸斑附近的裂紋更容易擴(kuò)展。