胡瑞光，鐘文安，宋征宇，路坤鋒，潘 豪，邵夢(mèng)晗，王昭磊

(1. 北京航天自動(dòng)控制研究所，北京 100854； 2. 西昌衛(wèi)星發(fā)射中心，西昌 615600； 3. 中國(guó)運(yùn)載火箭技術(shù)研究院，北京 100076)

0 引 言

隨著運(yùn)載火箭輕質(zhì)化發(fā)展，新一代運(yùn)載火箭對(duì)箭體結(jié)構(gòu)的氣動(dòng)承載能力提出更高的要求，需要將氣動(dòng)載荷在飛行過(guò)程中控制在一定的范圍。

在運(yùn)載效率提升方面，當(dāng)前迫切需要解決的是減小結(jié)構(gòu)質(zhì)量、降低結(jié)構(gòu)強(qiáng)度的需求與火箭大氣層內(nèi)飛行時(shí)可承受氣動(dòng)過(guò)載有限、安全穩(wěn)定飛行的矛盾。提升運(yùn)載能力要求降低結(jié)構(gòu)質(zhì)量和強(qiáng)度，這會(huì)帶來(lái)火箭承受氣動(dòng)載荷與控制力矩相互作用而形成的彎矩能力的嚴(yán)重下降，給火箭大氣層內(nèi)的安全穩(wěn)定飛行帶來(lái)挑戰(zhàn)。為滿足運(yùn)載效率提升的同時(shí)，避免火箭承受過(guò)載超過(guò)結(jié)構(gòu)強(qiáng)度要求，需要實(shí)施高效的風(fēng)場(chǎng)干擾減載控制。

因此，研究能夠在線進(jìn)行氣動(dòng)風(fēng)場(chǎng)擬合與預(yù)示、智能實(shí)時(shí)減載等關(guān)鍵技術(shù)，對(duì)運(yùn)載火箭的安全性、可靠性具有十分重要的意義。

文獻(xiàn)[1]明確指出，目前國(guó)外很多運(yùn)載火箭的制導(dǎo)系統(tǒng)將實(shí)時(shí)測(cè)量的風(fēng)場(chǎng)數(shù)據(jù)應(yīng)用在其制導(dǎo)算法里面，而不再使用基于月度平均風(fēng)場(chǎng)的離線風(fēng)修彈道設(shè)計(jì)，從而大幅度降低由于風(fēng)場(chǎng)精度不夠帶來(lái)的各種不確定性風(fēng)險(xiǎn)。

為了實(shí)現(xiàn)在線實(shí)時(shí)減載，一般需要具備射前一小段時(shí)間的探空氣球?qū)崪y(cè)數(shù)據(jù)，然后將實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)以插值風(fēng)表的形式裝載進(jìn)制導(dǎo)計(jì)算機(jī)中；或者對(duì)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行低階多項(xiàng)式曲線擬合，并將擬合系數(shù)裝載進(jìn)制導(dǎo)計(jì)算機(jī)中；實(shí)際飛行時(shí)，根據(jù)飛行高度進(jìn)行查表或多項(xiàng)式計(jì)算即可得到實(shí)際風(fēng)場(chǎng)[2]。

1990年，“德?tīng)査边\(yùn)載火箭對(duì)發(fā)射時(shí)刻2小時(shí)前的風(fēng)場(chǎng)進(jìn)行曲線擬合，實(shí)現(xiàn)了基于在線實(shí)時(shí)風(fēng)場(chǎng)的減載制導(dǎo)[3]。具體地，“德?tīng)査边\(yùn)載火箭采用最小二乘三階多項(xiàng)式對(duì)北向和東向風(fēng)速進(jìn)行了擬合，并將擬合參數(shù)在發(fā)射前10分鐘裝載進(jìn)制導(dǎo)計(jì)算機(jī)[4]。

我國(guó)風(fēng)場(chǎng)干擾減載技術(shù)的相關(guān)研究工作早在1995年就已經(jīng)成功應(yīng)用于運(yùn)載亞洲二號(hào)衛(wèi)星和回聲一號(hào)衛(wèi)星的CZ-2E運(yùn)載火箭上[5]。目前，我國(guó)的運(yùn)載火箭大都使用彈道風(fēng)修正和攻角或加速度計(jì)主動(dòng)控制的方法進(jìn)行減載控制[6]。彈道風(fēng)修正是通過(guò)射前實(shí)測(cè)高空風(fēng)數(shù)據(jù)，對(duì)火箭飛行程序角進(jìn)行離線修正，使火箭在預(yù)報(bào)風(fēng)場(chǎng)作用下飛行合成氣動(dòng)攻角最小，從而降低火箭飛行氣動(dòng)載荷。該方法原理簡(jiǎn)單，較易實(shí)現(xiàn)，在風(fēng)場(chǎng)比較穩(wěn)定的情況，減載效果較好，目前已廣泛應(yīng)用于中國(guó)現(xiàn)役火箭[7]。但該方法實(shí)時(shí)性不強(qiáng)，對(duì)風(fēng)切變適應(yīng)能力較差，過(guò)于依賴射前預(yù)報(bào)風(fēng)精度，因此射前彈道風(fēng)修正后通常會(huì)留有一定的設(shè)計(jì)余量，用于包絡(luò)高空風(fēng)切變和預(yù)報(bào)風(fēng)場(chǎng)的不確定性，對(duì)風(fēng)載荷的實(shí)時(shí)不確定性抑制能力較差，導(dǎo)致火箭不能做到全天候發(fā)射。

綜上所述，建立實(shí)時(shí)風(fēng)場(chǎng)的精確模型對(duì)于未來(lái)運(yùn)載火箭的風(fēng)場(chǎng)干擾減載控制很有幫助。同時(shí)，風(fēng)場(chǎng)數(shù)據(jù)的采集時(shí)刻距離發(fā)射時(shí)刻越近越好，這就要求風(fēng)場(chǎng)建模不但精度要高，而且建模速度要快，才能滿足實(shí)際工程需要。

風(fēng)場(chǎng)建模問(wèn)題屬于典型的曲線擬合問(wèn)題，最常用的方法有插值法、最小二乘法、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法等。文獻(xiàn)[8]采用4層BP網(wǎng)絡(luò)反演海面風(fēng)向，并根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式確定隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)取值范圍，在大量訓(xùn)練數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，取得了較好效果。文獻(xiàn)[9]采用最小二乘法對(duì)艙壁溫度數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，其溫度曲線較為光滑，最小二乘法使用階數(shù)也比較低。文獻(xiàn)[10]提出的基于三層BP網(wǎng)絡(luò)的滾轉(zhuǎn)角粗對(duì)準(zhǔn)模型可在任意失準(zhǔn)角范圍內(nèi)快速完成粗對(duì)準(zhǔn)，其適用角度廣泛性和快速性明顯優(yōu)于傳統(tǒng)方法；其中的隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)也是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)選取。文獻(xiàn)[11]采用最小二乘法對(duì)高超聲速飛行器的升力系數(shù)、阻力系數(shù)和升阻比進(jìn)行擬合，其數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)為7。文獻(xiàn)[12]采用分段最小二乘多項(xiàng)式、三層BP網(wǎng)絡(luò)等方法對(duì)MEMS陀螺X軸、Y軸、Z軸數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，試驗(yàn)結(jié)果表明三層BP網(wǎng)絡(luò)的擬合效果明顯優(yōu)于最小二乘分段擬合方法，其中的隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)也是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)選??；并明確指出，最小二乘分段擬合在分段間隔較小時(shí)，計(jì)算參數(shù)多，計(jì)算量大；分段間隔較大時(shí)，擬合精度較低，分段間隔處存在較大振蕩。

通過(guò)對(duì)上述文獻(xiàn)的綜合分析比較，可以看出，最小二乘多項(xiàng)式擬合適合于曲線光滑、數(shù)據(jù)點(diǎn)偏少的場(chǎng)景，對(duì)于較大數(shù)據(jù)量、曲線復(fù)雜的場(chǎng)景，BP網(wǎng)絡(luò)的擬合效果明顯優(yōu)于最小二乘多項(xiàng)式擬合及其分段處理形式。另外，BP網(wǎng)絡(luò)的隱層節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)往往根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式或?qū)嵺`經(jīng)驗(yàn)確定。

運(yùn)載火箭風(fēng)場(chǎng)實(shí)際曲線較為復(fù)雜。因此，針對(duì)運(yùn)載火箭風(fēng)場(chǎng)擬合問(wèn)題，本文設(shè)計(jì)了一種基于最少參數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的高精度風(fēng)場(chǎng)擬合方法，只使用一套框架即可完成風(fēng)速和風(fēng)向的擬合，并提出擬合網(wǎng)絡(luò)隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)的下確界公式。大量的試驗(yàn)結(jié)果表明，最少參數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的擬合精度要遠(yuǎn)高于最小二乘多項(xiàng)式擬合方法及其分段形式，同時(shí)驗(yàn)證了下確界的相對(duì)合理性。

1 運(yùn)載火箭風(fēng)場(chǎng)擬合模型

1.1 問(wèn)題提出

考慮運(yùn)載火箭飛行高度x，在高度x處的風(fēng)場(chǎng)為(ν,α)，其中ν為風(fēng)場(chǎng)速度，α為風(fēng)場(chǎng)朝向?？梢哉J(rèn)為風(fēng)場(chǎng)速度和風(fēng)場(chǎng)朝向皆是飛行高度的函數(shù)

(1)

式中：θν和θα分別為對(duì)應(yīng)函數(shù)的參數(shù)。

圖1 運(yùn)載火箭風(fēng)場(chǎng)高精度擬合流程Fig.1 Flow chart of the high-precision fitting for the wind field of launch vehicles

(2)

式中：D( )為一種誤差度量函數(shù)。

在式(1)中，風(fēng)場(chǎng)速度和朝向分別使用一套獨(dú)立的參數(shù)，也可以使用一套參數(shù)完成整個(gè)風(fēng)場(chǎng)的擬合。具體地，

(ν,α)=fn(x,θn)

(3)

則擬合問(wèn)題可表示如下

(4)

1.2 飛行高度區(qū)間選擇

在實(shí)際飛行過(guò)程中，大風(fēng)區(qū)風(fēng)場(chǎng)往往對(duì)運(yùn)載火箭的飛行安全具有較大影響，大風(fēng)區(qū)以下空域和以上空域的風(fēng)場(chǎng)影響較小,因此，只需要對(duì)運(yùn)載火箭大風(fēng)區(qū)的風(fēng)場(chǎng)進(jìn)行擬合即可[2]。

大風(fēng)區(qū)飛行高度一般為4～20 km，本文只對(duì)該飛行高度區(qū)間的風(fēng)場(chǎng)進(jìn)行擬合。

1.3 最小二乘多項(xiàng)式擬合

對(duì)離散的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合的目的是為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)尋求到一條最佳擬合曲線，通過(guò)對(duì)曲線的相關(guān)特征或參數(shù)的分析研究，試圖找到蘊(yùn)含在數(shù)據(jù)內(nèi)的規(guī)律[13]。從計(jì)算方法的角度看，曲線的擬合與函數(shù)插值法比較類似，擬合是尋求一條曲線，使其能與觀測(cè)數(shù)據(jù)“最靠近”。

最小二乘多項(xiàng)式擬合是曲線擬合的一種經(jīng)典方法，廣泛應(yīng)用于多個(gè)實(shí)際工程領(lǐng)域[14]。最小二乘準(zhǔn)則就是使所有離散點(diǎn)到曲線的距離平方和最小。最小二乘多項(xiàng)式擬合反應(yīng)了數(shù)據(jù)點(diǎn)的總的趨勢(shì)，消除了其局部波動(dòng)，適用于雜亂無(wú)章的無(wú)序離散點(diǎn)擬合，最小二乘多項(xiàng)式擬合對(duì)于有序的離散點(diǎn)擬合效果不夠理想，其不可能使得每個(gè)點(diǎn)都反映線形趨勢(shì)關(guān)鍵變化[15]。

設(shè)已知n個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi,yi),i=1,2,…,n，則最小二乘多項(xiàng)式擬合的曲線為

f(x)=a0+a1x+a2x2+…+amxm

(5)

式中：m為多項(xiàng)式階數(shù)。一般地，m

在用最小二乘法估計(jì)參數(shù)時(shí),要求觀測(cè)值yi的偏差的平方和為最小。即

(6)

式(6)的值為最小。

根據(jù)最小二乘法原理，式(6)對(duì)系數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)為0，可得

(7)

上式可表示成XA=Y，則A=X-1Y，可得到最小二乘多項(xiàng)式擬合曲線的系數(shù)值?？梢钥闯觯摲椒ň哂袌?jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。在實(shí)際應(yīng)用中，根據(jù)求得的系數(shù)值，采用式(5)即可得到需要的擬合值。

1.4 最少參數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合

以卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為代表的深度學(xué)習(xí)方法是近幾年人工智能領(lǐng)域的主流框架，在圖像處理、語(yǔ)音處理、機(jī)器博弈的領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[16-19]，并取得了突破性進(jìn)展。

對(duì)于運(yùn)載火箭風(fēng)場(chǎng)高精度擬合問(wèn)題，雖然卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可能會(huì)取得很好的效果，但是卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)包含層級(jí)過(guò)多，相應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)參數(shù)也過(guò)多。因此，本文采用傳統(tǒng)的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)運(yùn)載火箭風(fēng)場(chǎng)進(jìn)行擬合。

單隱層BP網(wǎng)絡(luò)的應(yīng)用最為普遍，它包括輸入層、一個(gè)隱含層和輸出層。上下層之間實(shí)現(xiàn)全連接，而每層神經(jīng)元之間無(wú)連接。BP網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)可分為兩個(gè)過(guò)程:工作信號(hào)的正向傳播和誤差信號(hào)的反向傳播。

根據(jù)萬(wàn)能逼近定理(Universal approximation theory, UAT)，如果隱層節(jié)點(diǎn)是可以根據(jù)需要自由設(shè)置的，那么用三層S狀的I/O特性的節(jié)點(diǎn)可以以任意精度逼近任何具有有限間斷點(diǎn)的函數(shù)。如果BP網(wǎng)絡(luò)的各節(jié)點(diǎn)選用非線性轉(zhuǎn)移函數(shù)，則對(duì)于任何相關(guān)問(wèn)題從理論上都可以用三層前饋網(wǎng)絡(luò)來(lái)加以解決[20]。因此，本文使用三層BP網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行運(yùn)載火箭風(fēng)場(chǎng)高精度擬合。

三層BP網(wǎng)絡(luò)的函數(shù)形式為

y=f2(W2×f1(W1×x+b1)+b2)

(8)

式中：x為輸入向量；y為輸出向量；W1為第一層權(quán)重矩陣；b1為隱含層偏置向量；f1( )為隱含層傳遞函數(shù)；W2為第二層權(quán)重矩陣；b2為輸出層偏置向量；f2( )為輸出層傳遞函數(shù)。

三層BP網(wǎng)絡(luò)曲線擬合的過(guò)程是采用訓(xùn)練的方式得到權(quán)重矩陣和偏置向量。網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練一般采用梯度下降法和后向傳播的方式，使得損失函數(shù)最小，這里不再贅述。

對(duì)于用三層BP網(wǎng)絡(luò)擬合運(yùn)載火箭風(fēng)場(chǎng)，本文采用一個(gè)網(wǎng)絡(luò)同時(shí)完成風(fēng)速和風(fēng)向的擬合。對(duì)于這類網(wǎng)絡(luò)，其輸入層只有一個(gè)節(jié)點(diǎn)，代表飛行高度，輸出層有兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，分別代表風(fēng)速和方向。風(fēng)場(chǎng)擬合網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 最少參數(shù)風(fēng)場(chǎng)擬合網(wǎng)絡(luò)Fig.2 The least-parameter wind fitting neural network

風(fēng)場(chǎng)擬合網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)設(shè)置如下

(9)

f2(x)=x

(10)

隱含層傳遞函數(shù)保證了網(wǎng)絡(luò)框架的非線性，輸出層傳遞函數(shù)保證了曲線擬合的準(zhǔn)確性。

設(shè)隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)為nh，將式(9)和(10)代入式(8)，可得

(11)

根據(jù)函數(shù)逼近論，上述問(wèn)題就是在一組基函數(shù)所張成的空間中尋找函數(shù)的近似表達(dá)使其誤差最小，每一個(gè)隱含層節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)基函數(shù)，這些基函數(shù)是通過(guò)改變傳遞函數(shù)f1的權(quán)重和偏置得到的。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)過(guò)程本質(zhì)上是在學(xué)習(xí)基函數(shù)。

假設(shè)兩個(gè)隱層節(jié)點(diǎn)的基函數(shù)及其線性組合為

(12)

其曲線如圖3(a)所示，可以看出線性組合呈現(xiàn)柱狀。若權(quán)重和偏置取不同的值，可以得到不同的基函數(shù)及其線性組合

(13)

其曲線如下圖3(b)所示，可以看出呈現(xiàn)尖峰狀。

圖3 網(wǎng)絡(luò)基函數(shù)線性組合Fig.3 The linear combination of basis functions

由圖3可以看出，兩個(gè)不同的基函數(shù)的線性組合一般呈柱狀；當(dāng)基函數(shù)本身的權(quán)重比較接近時(shí)，或者基函數(shù)本身的偏置比較小時(shí)，線性組合會(huì)呈尖峰狀。用于組合的權(quán)重和偏置可以改變組合結(jié)果的尺度。

萬(wàn)能逼近定理解決了函數(shù)逼近論中的稠密性問(wèn)題，而隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)的選擇是函數(shù)逼近論中的復(fù)雜性問(wèn)題，即研究網(wǎng)絡(luò)隱層的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)與逼近速度的問(wèn)題。隱層節(jié)點(diǎn)的數(shù)目直接關(guān)系著B(niǎo)P網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)效率和泛化能力，也直接決定了網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)數(shù)量。如果隱層節(jié)點(diǎn)太少，即如圖3(a)所示，網(wǎng)絡(luò)只包含有限的柱狀組合，則無(wú)法完成對(duì)復(fù)雜曲線的擬合。如果隱層節(jié)點(diǎn)太多，則網(wǎng)絡(luò)包含太多參數(shù),當(dāng)對(duì)這些參數(shù)進(jìn)行隨機(jī)初始化并訓(xùn)練時(shí)，有限的數(shù)據(jù)樣本遠(yuǎn)遠(yuǎn)不足以調(diào)制這些參數(shù)，訓(xùn)練完成后網(wǎng)絡(luò)仍然包含一些類似的權(quán)重和偏置，結(jié)果必然如圖3(b)所示，呈現(xiàn)出尖峰效應(yīng)，而且隱層節(jié)點(diǎn)越多，尖峰效應(yīng)越明顯，擬合的精度也越差。

文獻(xiàn)[21]設(shè)計(jì)了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近速度的一類上界

(14)

曹飛龍等[22]設(shè)計(jì)了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近速度的一類下界

(15)

理論上，根據(jù)逼近上界可以確定滿足誤差要求的隱層節(jié)點(diǎn)最小值，比最小值還要小的節(jié)點(diǎn)數(shù)值會(huì)導(dǎo)致誤差變大；根據(jù)逼近下界可以確定滿足誤差要求的隱層節(jié)點(diǎn)最大值，比最大值還要大的節(jié)點(diǎn)數(shù)值也會(huì)導(dǎo)致誤差變大。根據(jù)夾逼定理，在最小值和最大值之間必然存在一個(gè)最優(yōu)值，使得誤差最小。

實(shí)際應(yīng)用中，要精確確定隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)目又是困難的，目前對(duì)BP網(wǎng)絡(luò)的隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)目的確定并沒(méi)有一個(gè)公認(rèn)或統(tǒng)一的理論作指導(dǎo)。常用的選擇方法有試湊法、經(jīng)驗(yàn)公式法、遞增法、遞減法等。在實(shí)際的設(shè)計(jì)過(guò)程中，只有根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，并對(duì)大量的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析、比較，綜合應(yīng)用多種方法才能找到一個(gè)較好的節(jié)點(diǎn)數(shù)。

常用的經(jīng)驗(yàn)公式有[23]

nh=(ni+1)×no

(16)

(17)

(18)

式中：nh為隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)；ni為輸入層節(jié)點(diǎn)數(shù)；no為輸出層節(jié)點(diǎn)數(shù)；a為1～10之間的常數(shù)。

顯然，上述經(jīng)驗(yàn)公式只考慮了網(wǎng)絡(luò)本身因素，沒(méi)有考慮要擬合的數(shù)據(jù)信息對(duì)隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)的影響。根據(jù)前面關(guān)于柱狀組合的描述，網(wǎng)絡(luò)隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)不但與輸入輸出的維度有關(guān)系，而且與復(fù)雜曲線的樣本點(diǎn)數(shù)量也有關(guān)系。

根據(jù)信息論，多項(xiàng)式曲線擬合與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)曲線擬合都可看作是采用相應(yīng)的基函數(shù)對(duì)風(fēng)場(chǎng)曲線進(jìn)行數(shù)據(jù)壓縮。本文借鑒無(wú)損壓縮中的熵編碼原理，提出擬合網(wǎng)絡(luò)隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)的下確界公式

nh≥ni×lbnd×no

(19)

式中：nd為擬合數(shù)據(jù)樣本個(gè)數(shù)。

熵編碼是一種獨(dú)立于信息源具體特征的無(wú)損壓縮方法。因此，式(19)可以廣泛應(yīng)用于多種場(chǎng)景，例如火箭發(fā)動(dòng)機(jī)振動(dòng)信號(hào)分析與降噪、火箭箭體彈性模態(tài)分析、彈道規(guī)劃與預(yù)測(cè)等。也可以廣泛應(yīng)用于有類似數(shù)據(jù)處理任務(wù)的領(lǐng)域，例如音視頻處理、智能駕駛等。

網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)也不限于單輸入雙輸出的場(chǎng)景，也可應(yīng)用于多特征聯(lián)合分析的應(yīng)用場(chǎng)景，多特征可用多個(gè)輸入節(jié)點(diǎn)表示,輸出節(jié)點(diǎn)自然不受限制。例如對(duì)圖像分類任務(wù)來(lái)說(shuō)，把二維圖像展開(kāi)成一維向量，對(duì)應(yīng)著多個(gè)輸入節(jié)點(diǎn)。一般地，圖像分類數(shù)據(jù)庫(kù)包含的圖像樣本非常多，根據(jù)式(19)，如果用單隱層網(wǎng)絡(luò)完成任務(wù)，其隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)會(huì)變得非常大。這也是卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)包含著多個(gè)隱含層和非常多參數(shù)的原因之一。

1.5 擬合精度評(píng)價(jià)準(zhǔn)則

本文采用三個(gè)準(zhǔn)則評(píng)價(jià)運(yùn)載火箭風(fēng)場(chǎng)擬合誤差，分別是平均絕對(duì)值比例誤差(Mean absolute percentage error，MAPE)，平均絕對(duì)值誤差(Mean absolute error，MAE)，均方根誤差(Root mean squa-red error，RMSE)，其定義如下

(20)

(21)

(22)

三個(gè)準(zhǔn)則從不同的側(cè)面對(duì)擬合效果進(jìn)行定量評(píng)價(jià)，構(gòu)成了曲線擬合的完備評(píng)價(jià)體系。

2 仿真校驗(yàn)

首先對(duì)最小二乘多項(xiàng)式擬合及其分段形式進(jìn)行充分驗(yàn)證，然后對(duì)最少參數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合進(jìn)行充分驗(yàn)證，接著將兩種方法進(jìn)行了對(duì)比。

2.1 最小二乘多項(xiàng)式擬合結(jié)果

針對(duì)飛行高度區(qū)間4～20 km，每50 m采樣一次，因此，本文擬合數(shù)據(jù)樣本個(gè)數(shù)為321。最小二乘多項(xiàng)式擬合的關(guān)鍵參數(shù)是多項(xiàng)式的階數(shù)；另外，需要對(duì)風(fēng)速和風(fēng)向分別進(jìn)行擬合，即需要用兩套參數(shù)來(lái)完整描述運(yùn)載火箭高空風(fēng)場(chǎng)。本文將多項(xiàng)式階數(shù)取值設(shè)計(jì)為從10到50，并每隔5階計(jì)算一次擬合結(jié)果。部分?jǐn)M合曲線如圖4所示，其中Poly-10表示10階多項(xiàng)式，以此類推。在PC機(jī)上，不同階數(shù)多項(xiàng)式的擬合時(shí)間皆小于0.01 s。

圖4 最小二乘多項(xiàng)式擬合結(jié)果Fig.4 The least-square polynomial fitting results

采用三個(gè)評(píng)價(jià)準(zhǔn)則，可得最小二乘多項(xiàng)式擬合的誤差如表1和表2所示?？梢悦黠@看出，在階數(shù)較小的情況下，最小二乘多項(xiàng)式的擬合結(jié)果偏差較大。對(duì)于階數(shù)較大的情況，雖然理論上應(yīng)該獲得較好的擬合結(jié)果，但是實(shí)際的擬合結(jié)果也具有較大的偏差，這種現(xiàn)象對(duì)于較高的飛行高度更加明顯。只有階數(shù)適當(dāng)?shù)那闆r下，最小二乘多項(xiàng)式方法才具有較好的擬合性能。

表1 最小二乘多項(xiàng)式風(fēng)速擬合誤差Table 1 The least-square polynomial speed fitting errors

表2 最小二乘多項(xiàng)式風(fēng)向擬合誤差Table 2 The least-square polynomial angle fitting errors

同時(shí)，本文也采用分段多項(xiàng)式擬合的方式對(duì)火箭風(fēng)場(chǎng)進(jìn)行擬合。具體地，將高度區(qū)間4～20 km分為三段，即4～9 km、9～14 km、14～20 km；并在每一段采用最小二乘多項(xiàng)式進(jìn)行擬合，階數(shù)分別為5、10、15、20、25。部分?jǐn)M合曲線如圖5所示，其中Poly-5-3表示3段5階多項(xiàng)式，以此類推。

圖5 分段多項(xiàng)式擬合結(jié)果Fig.5 The multi-segment polynomial fitting results

采用三個(gè)評(píng)價(jià)準(zhǔn)則，可得分段多項(xiàng)式擬合的誤差如表3和表4所示。可以明顯看出，分段多項(xiàng)式的擬合結(jié)果要比不分段的情況有所改善。但是，在階數(shù)較小的情況下，分段多項(xiàng)式的擬合結(jié)果誤差也較大；另外，對(duì)于階數(shù)較大的情況，在分段間隔處有明顯的振蕩現(xiàn)象，而且階數(shù)越大，振蕩越強(qiáng)，擬合誤差也越大。

表3 分段多項(xiàng)式風(fēng)速擬合誤差Table 3 The multi-segment polynomial speed fitting errors

表4 分段多項(xiàng)式風(fēng)向擬合誤差Table 4 The multi-segment polynomial angle fitting errors

2.2 最少參數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合結(jié)果

本文擬合數(shù)據(jù)樣本個(gè)數(shù)為321，根據(jù)式(19)可求得隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)下確界為17。

本文將隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)取值設(shè)計(jì)為從10到100，每隔10計(jì)算一次擬合結(jié)果，并在下確界17處也進(jìn)行了擬合，部分?jǐn)M合曲線如圖6所示。其中NN-10表示用10個(gè)隱含層節(jié)點(diǎn)進(jìn)行擬合的結(jié)果，以此類推。

圖6 最少參數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合結(jié)果Fig.6 The least-parameter neural network fitting results

為了公平比較，對(duì)不同隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)的網(wǎng)絡(luò)皆進(jìn)行充分訓(xùn)練，當(dāng)隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)較少時(shí)，訓(xùn)練次數(shù)為200，擬合網(wǎng)絡(luò)很快收斂；當(dāng)隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)較多時(shí)，NN-90和NN-100的訓(xùn)練次數(shù)為2000，也達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。擬合時(shí)間如表5所示。

表5 不同隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)網(wǎng)絡(luò)擬合時(shí)間Table 5 The network fitting time with different number of hidden layer’s notes

采用三個(gè)評(píng)價(jià)準(zhǔn)則，可得最少參數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合的誤差如表6和表7所示?？梢悦黠@看出，在隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)小于本文提出的下確界的情況下，最少參數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的擬合結(jié)果偏差較大。對(duì)于隱含層節(jié)點(diǎn)較多的情況，擬合結(jié)果的三個(gè)評(píng)價(jià)準(zhǔn)則值較好，然而NN-60的擬合曲線已經(jīng)有一定的尖峰效應(yīng)，即擬合值有明顯的偏離點(diǎn)；而且隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)越多，尖峰效應(yīng)越明顯，擬合誤差越大，如圖6中NN-100所示，這對(duì)于實(shí)際工程應(yīng)用有較大的弊端。只有隱含層節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)適當(dāng)?shù)那闆r下，最少參數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)才具有較好的擬合性能。

表6 最少參數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)風(fēng)速擬合誤差Table 6 The least-parameter neural network speed fitting errors

表7 最少參數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)風(fēng)向擬合誤差Table 7 The least-parameter neural network angle fitting errors

綜合上述分析，當(dāng)隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)小于下確界時(shí)，網(wǎng)絡(luò)擬合誤差較大；當(dāng)隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)大于或等于下確界時(shí)，擬合誤差迅速變??；當(dāng)隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)過(guò)多時(shí)，擬合誤差會(huì)變大。充分說(shuō)明了本文提出的隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)下確界的相對(duì)合理性。

2.3 擬合結(jié)果對(duì)比

前述兩小節(jié)對(duì)最小二乘多項(xiàng)式擬合及其分段形式與最少參數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合分別進(jìn)行了分析與評(píng)價(jià)；只要階數(shù)和隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)適當(dāng)，兩個(gè)都能得到較好的擬合結(jié)果。因此，為了實(shí)現(xiàn)運(yùn)載火箭風(fēng)場(chǎng)的高精度擬合，需要對(duì)兩者進(jìn)行對(duì)比分析。

圖7和圖8對(duì)45階最小二乘多項(xiàng)式、3段20階多項(xiàng)式和50個(gè)隱含節(jié)點(diǎn)的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的擬合誤差曲線進(jìn)行了展示，三者皆是對(duì)應(yīng)方法中的最好擬合結(jié)果?？梢悦黠@看出，在大多數(shù)高度值上，BP網(wǎng)絡(luò)的擬合誤差都是最小的；多項(xiàng)式擬合的誤差是最大的，分段多項(xiàng)式的擬合誤差處于中間位置；同時(shí)，分段多項(xiàng)式擬合有一個(gè)顯著的特征，即在分段處有非常明顯的振蕩效應(yīng)。表8和表9的評(píng)價(jià)指標(biāo)值也充分說(shuō)明了這一點(diǎn)。

圖7 風(fēng)速擬合誤差曲線Fig.7 The curve of wind speed fitting errors

圖8 風(fēng)向擬合誤差曲線Fig.8 The curve of wind angle fitting errors

表8 風(fēng)速擬合誤差比較Table 8 The comparison of wind speed fitting errors

表9 風(fēng)向擬合誤差比較Table 9 The comparison of wind angle fitting errors

另外，最小二乘多項(xiàng)式擬合需要兩套參數(shù)才能完成風(fēng)場(chǎng)擬合，分段多項(xiàng)式擬合更是需要多套參數(shù)才能完成風(fēng)場(chǎng)擬合；最少參數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合只需要一套參數(shù)即可完成風(fēng)場(chǎng)擬合。

由擬合誤差曲線和誤差指標(biāo)值可以明顯看出，最少參數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的擬合結(jié)果要明顯好于最小二乘多項(xiàng)式及其分段形式的擬合結(jié)果。具有50個(gè)隱含節(jié)點(diǎn)的三層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有很好的擬合精度，同時(shí)參數(shù)數(shù)量接近最少，使用便捷，具有較高的工程應(yīng)用價(jià)值。

3 結(jié) 論

對(duì)于運(yùn)載火箭高空風(fēng)場(chǎng)，本文利用最小二乘多項(xiàng)式及其分段形式和最少參數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了擬合，分別對(duì)比了不同階數(shù)多項(xiàng)式及其分段形式的擬合結(jié)果和不同隱含層節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的擬合結(jié)果，并對(duì)比分析了三類方法的最好結(jié)果。仿真試驗(yàn)表明，最少參數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的擬合效果明顯好于最小二乘多項(xiàng)式及其分段形式的擬合效果，而且只需要一套參數(shù)即可完成任務(wù)。同時(shí)，對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在不同隱含層節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)情況下的結(jié)果進(jìn)行了細(xì)致的分析，體現(xiàn)了本文提出的隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)下確界的相對(duì)合理性，明確了具有最好擬合效果的隱含層節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)，為后續(xù)的實(shí)際工程應(yīng)用打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。