王開興

（福建省莆田市涵江區(qū)江口豐山小學(xué)，福建 莆田351117）

小學(xué)第一到第三學(xué)段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)都有解決問題教學(xué)，其貫穿于各個(gè)知識點(diǎn)中，能結(jié)合各個(gè)知識點(diǎn)設(shè)置問題來考查學(xué)生。由于解決問題具有條件復(fù)雜、題干較長、對抽象思維要求高等特點(diǎn)，學(xué)生都對其心生畏懼，其也成為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)路上名副其實(shí)的“攔路虎”。以人教版為例，教材是以基于知識點(diǎn)的螺旋上升、豐富發(fā)展為編排思路，而非根據(jù)具體題型來編排教學(xué)內(nèi)容，因而沒有專門的解決問題教學(xué)單元，這不利于幫助學(xué)生系統(tǒng)地建構(gòu)解決問題的方法策略。筆者學(xué)習(xí)觀摩了蘇教版的小學(xué)數(shù)學(xué)教材，其中3 年級上冊到6 年級下冊每冊教材都編排有一個(gè)專門的“解決問題的策略”教學(xué)單元，每個(gè)單元有一個(gè)主題策略，逐層深入地講授了體現(xiàn)解決問題一般規(guī)律和問題本質(zhì)的若干典型策略，這給筆者的解決問題教學(xué)以深深的啟發(fā)，那就是要將解決問題的典型、實(shí)用、結(jié)構(gòu)性策略滲透到解決問題的例題、習(xí)題講解中去，幫助學(xué)生建構(gòu)起豐富、靈活、有效的解決問題策略模型，最終舉一反三、觸類旁通地解決好常見的數(shù)學(xué)解決問題。

一、指向?qū)忣}能力的“條件—問題”策略

在解決問題中，審題是至關(guān)重要的一環(huán)，由于審題不清導(dǎo)致的錯(cuò)誤在解決問題錯(cuò)誤中占據(jù)著較大的比例。因此，指向?qū)忣}的解決問題策略是每個(gè)學(xué)生必須具備的解決問題能力和素養(yǎng)。在解決問題的審題中，由條件及問題，是最基本同時(shí)也是最重要的策略，這是由于，條件對問題產(chǎn)生著決定性影響，而條件的改變直接導(dǎo)致解決問題方法的改變，所以抓住解決問題題干中的顯性條件和隱性條件，分析重要的數(shù)量關(guān)系，思考解決問題的方法和步驟，借助邏輯思維將抽象的數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號語言，從而實(shí)現(xiàn)解決問題的順利解題。

以人教版三年級上冊第三單元練習(xí)七的第7 題為例，題目如下（圖略）：

28 人去劃船。小船限坐4 人，大船限坐6 人。

1.如果每條船都坐滿，可以怎樣租船？

2.如果租一條大船50 元，租一條小船40 元，哪種租船方案更省錢？

在1 的解答中，學(xué)生由于缺乏嚴(yán)密的數(shù)學(xué)邏輯思維，很難用到窮舉的思維來分析條件——每條船都坐滿，即不能有剩余，既可以只租大船或小船，也可以同時(shí)租小船和大船，這就需要用到分類討論。教師啟發(fā)學(xué)生：有哪幾種可能，讓28 人剛好坐滿？我們不妨就以小船為例。

小船0 條，則都為大船，28 不是6 的倍數(shù)，不符合坐滿的條件；小船1 條（4人），則大船4 條（24 人），符合；小船2 條（8 人），剩余20 人，非6 的倍數(shù)，不符合；小船3 條（12 人），剩余16 人，非6 的倍數(shù)，不符合；小船4 條（16），剩余12 人，大船2 條，符合；小船5 條、6 條都不符合；小船7 條，每船4 人，剛好坐滿。因此，符合要求的情況一共有三種，分別是小船1條，大船4 條；小船4 條，大船2 條；小船7 條。

解決了問題1，問題2 的解決也就水到渠成了，學(xué)生可以分別算出三種情況下個(gè)需要多少租船費(fèi)用。第一種（小船1 條，大船4 條）：40+50+50+50+50=240（元）；第二種（小船4 條，大船2 條）：40+40+40+40+50+50=260（元）；第三種類（小船7 條）：40+40+40+40+40+40+40+40=280（元）。所以第一種方案小船1 條，大船4 條的方案最省錢。

縱觀這一解決問題，“坐滿”這一條件隱藏著豐富的信息，也對整個(gè)租船的方案產(chǎn)生著決定性的影響。學(xué)生要能抓住解決問題題干中的核心條件來挖掘信息，運(yùn)用抽象思維和邏輯思維來分析問題，做到綜合、全面分析問題，不遺漏符合條件的問題情形。因此，基于“條件—問題”的解決問題策略，讓學(xué)生具有良好的認(rèn)真審題意識、邏輯思維品質(zhì)，從條件中發(fā)現(xiàn)隱藏的信息并探尋解決問題的有效途徑，這是第一、二學(xué)段需要著重強(qiáng)調(diào)和培養(yǎng)的解決問題能力。

二、指向直觀表達(dá)的“圖畫—列表”策略

小學(xué)生的思維以形象思維為主，對抽象的數(shù)學(xué)解決問題難以直觀理解，這就需要化抽象為直觀，化復(fù)雜的數(shù)學(xué)語言為直觀的符號語言，幫助學(xué)生更好地獲得解決問題的思路。數(shù)形結(jié)合作為一種重要的數(shù)學(xué)思維方法，在解決問題中體現(xiàn)為“圖畫—列表”策略，即引導(dǎo)學(xué)生在解決問題過程中，用圖示法，借助畫圖和列表來分析數(shù)學(xué)問題，讓復(fù)雜的條件變得直觀。

首先是列表策略。列表整理?xiàng)l件和問題，能夠讓解決問題解題過程直觀清晰，幫助學(xué)生理清思路，更好地解答問題。列表策略在各個(gè)階段、各種題型中具有廣泛的使用價(jià)值。如四年級上冊“三位數(shù)乘兩位數(shù)”的解決問題：張大爺家的農(nóng)場養(yǎng)了雞、鴨、鵝三種家禽，雞的數(shù)量為50 只，鴨的數(shù)量為78 只頭，鵝的數(shù)量為66 只，雞的價(jià)格為110 元每只，鴨的價(jià)格為122元每只，鵝的價(jià)格為145 元每只。問：雞、鴨、鵝分別賣多少錢？雞鴨鵝一共能賣多少錢？學(xué)生在解答過程中，關(guān)鍵的是找到對應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，不張冠李戴。教師可以讓教授學(xué)生列表進(jìn)行分類統(tǒng)計(jì)（如下表所示），增強(qiáng)解題過程的條理性和思路的清晰度，避免因?qū)?yīng)錯(cuò)誤引起的計(jì)算失誤。這是一種良好的解決問題習(xí)慣以及實(shí)用的解決問題技巧。

品種 雞 鴨 鵝數(shù)量（只） 50 78 66單價(jià)（元） 110 122 145售價(jià)（元） 5500 9516 9570總價(jià)（元） 5500+9516+9570=24586

其次是畫圖策略。畫圖策略是基于數(shù)形結(jié)合的思想來解決問題，同樣可以達(dá)到化抽象為直觀的作用，在解決問題中用簡單的數(shù)學(xué)符號，如圓圈、五角星、線段、三角形甚至不規(guī)則圖形來代替解決問題中的相關(guān)事物以及問題中的數(shù)量關(guān)系，從而增加思維的直觀度。如在解決五年級上冊數(shù)學(xué)廣角的“植樹問題”及其同數(shù)學(xué)模型的解決問題時(shí)，就可以用畫圖來體現(xiàn)數(shù)量、間距、長度之間的關(guān)系，十分直觀；在“雞兔同籠”相關(guān)問題中，用畫圖的解決問題方法，能讓學(xué)生的思維從混沌狀態(tài)變得清晰和有序，這對學(xué)生解決問題的條理化、清晰化十分重要。

三、指向轉(zhuǎn)換思路的“替換—轉(zhuǎn)化”策略

小學(xué)數(shù)學(xué)中的解決問題成千上萬，題型卻只有數(shù)十個(gè)，關(guān)鍵是要能夠通過所學(xué)習(xí)的一個(gè)個(gè)例子，找到舉一反三、觸類旁通的方法。進(jìn)而在解決問題時(shí)具有敏銳的思維與頭腦，能夠?qū)⒛吧?、位置的題型，轉(zhuǎn)化和替換成自己熟悉的、善做的問題，在思維的轉(zhuǎn)化中達(dá)到“柳暗花明又一村”的開闊境界。

一是替換的策略。這種策略較適用于解決“條件關(guān)系復(fù)雜、沒有直接方法可解”的問題，它是“用一種相等的數(shù)值、數(shù)量、關(guān)系、方法、思路去替代變換另一種數(shù)值、數(shù)量、關(guān)系、方法、思路從而解決問題”的一種策略。如解決問題：育才小學(xué)買了3個(gè)籃球和8 個(gè)皮球，正好用去92 元，籃球的單價(jià)是皮球的5 倍，那么每個(gè)皮球和每個(gè)籃球各是多少元？解決這一問題，就用到替換的解題策略，利用籃球的單價(jià)是皮球的5 倍這一數(shù)量關(guān)系進(jìn)行求解。皮球價(jià)格為：92÷（3×5+8）=4（元），籃球的價(jià)格為4×5=20（元）?；跀?shù)量關(guān)系，運(yùn)用替換策略，讓解決問題簡單化。

二是轉(zhuǎn)化的策略。這種策略主要適用于解決“能把數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決或比較容易解決的問題”的問題，它是“通過把復(fù)雜問題變成簡單問題、把新穎問題變成已經(jīng)解決的問題”的一種策略。轉(zhuǎn)化策略的本質(zhì)是模型化思想，這在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中有著十分廣泛的運(yùn)用空間。如解決問題：惠民超市五周年店慶開展優(yōu)惠大酬賓活動(dòng)，凡消費(fèi)滿50 元可以獲得一抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)。共設(shè)置60 個(gè)中獎(jiǎng)名額，總獎(jiǎng)金為10000 元，其中一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金300 元，二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金100 元，問一等獎(jiǎng)和二等獎(jiǎng)各有多個(gè)？這個(gè)解決問題比較新鮮，學(xué)生剛接觸問題時(shí)常常習(xí)慣性地將其看作新題，實(shí)際上這正是數(shù)學(xué)廣角——“雞兔同籠”的同一個(gè)模型。而“雞兔同籠”問題是學(xué)生很熟悉的問題模型，將中獎(jiǎng)問題和這一問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，就實(shí)現(xiàn)了新問題變成舊問題、已解決問題。解決過程就水到渠成了，用假設(shè)法進(jìn)行求解：假設(shè)都為一等獎(jiǎng)，則總獎(jiǎng)金為60×300=18000 元，多出8000 元；每個(gè)一等獎(jiǎng)比二等獎(jiǎng)多300-100=200元，所以二等獎(jiǎng)個(gè)數(shù)為8000÷200=40 個(gè)；一等獎(jiǎng)為20 個(gè)。這就與“雞兔同籠”問題的解法一致了。

四、指向發(fā)散思維的“倒推—假設(shè)”策略

思維的發(fā)散性對學(xué)生解決問題的能力影響顯著。在小學(xué)數(shù)學(xué)的解決問題中，要打破傳統(tǒng)的單向的、定式的思維模式，通過逆向思維和發(fā)散思維，來增強(qiáng)思維的靈活性，從而在解決問題過程中獲得全新的視角與思路。

首先是基于倒推的解決問題策略。所謂“倒推”，就是借助逆向思維，倒過來想問題。在解題過程中，學(xué)生會(huì)遇到這樣一類問題，用正常的順勢思維很難找到問題的突破口，但是從結(jié)果——條件進(jìn)行倒推，反而能獲得新的思路。如五年級下冊的解決問題：甲乙兩杯果汁共400 毫升，甲杯倒入乙杯40 毫升后，現(xiàn)在兩杯果汁同樣多，問：原來兩杯果汁各有多少毫升？在解決這一問題時(shí)，如果按照條件的先后來求解，學(xué)生很難找到思路，這時(shí)，教師啟發(fā)學(xué)生從“兩杯果汁同樣多”著手思考——“最后甲乙各有多少？”（400÷2=200 毫升）“那么原來甲有多少？”（200+40=240 毫升）“原來乙杯有多少？”（200-40=160 毫升）這樣從問題結(jié)果到條件進(jìn)行逆推，順利地解決了問題。通過例題的講解和分析，教師要教育學(xué)生敢于打破定式思維，將正向思維與逆向思維結(jié)合起來思考問題，順利地找到解決問題的方法。

其次是基于假設(shè)的解決問題策略。假設(shè)，是在不影響題意和改變結(jié)果的情況下，對問題中的條件要素進(jìn)行假定來找到數(shù)量關(guān)系與解題方法的解決問題策略，“等量代換”是假設(shè)策略的核心思想。以四年級下冊數(shù)學(xué)廣角的“雞兔同籠”例題（籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)，有頭8個(gè)，從下面數(shù)，有26 只腳。求雞和兔各有幾只？）為例，此時(shí)學(xué)生還沒有接觸方程，不能通過設(shè)未知數(shù)來快速求解，而借助假設(shè)與推理，將兩個(gè)未知數(shù)轉(zhuǎn)化為一個(gè)未知數(shù)，則能找到解決問題的思路：假設(shè)都是雞，則有16 只腳，多了26-16=10 只腳；而一只兔子比一只雞多2 只腳，所以兔子的只數(shù)是10÷2=5 只，則雞為只。同理，教師也可以讓學(xué)生假設(shè)都為兔子，同樣能解決問題。通過假設(shè)進(jìn)行推理，能獲得解決問題的思路。解決問題的賦值假設(shè)同樣有助于學(xué)生解決問題，如行程問題、工程問題中，可以將行程、工程總量進(jìn)行賦值。如問題：加工一批零件，甲單獨(dú)完成需要10 天，乙單獨(dú)完成需要12 天，兩人合作完成需要多少天？通過假設(shè)零件的總數(shù)（任意）為120 個(gè)，則甲每天做12 個(gè)，乙每天做10 個(gè)；那么兩人合作完成需要的時(shí) 間 為 120 ÷（12+10）=60/11 ≈5.45（天），這與傳統(tǒng)算法1÷（1/10+1/12）的答案是一致的，理解起來卻十分簡單。所謂“不管黑貓白貓，能抓老鼠的就是好貓。”解決問題的方法也可以有多個(gè)。通過上述假設(shè)策略的運(yùn)用，讓原本復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系和解題過程變得十分簡單，也未嘗不可取。

五、結(jié)語

總之，對于小學(xué)數(shù)學(xué)的解決問題而言，題目是五花八門、變化無窮的，是做不完的，這就需要透過現(xiàn)象找到解決問題的本質(zhì)。正所謂“教學(xué)有法，但無定法，貴在得法”，要讓學(xué)生“得法”，就必須做到“授之以漁”，這個(gè)“漁”，就是解決問題的策略。只要學(xué)生掌握了解決問題的一般性策略，就能做到以不變應(yīng)萬變，在頭腦中抽象出各種各類解決問題的模型，能夠見到題時(shí)形成條件反射，以對應(yīng)的解題策略來又快又好地解決問題。因此，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，要系統(tǒng)性地講授解決問題的策略，讓學(xué)生掌握條件分析、畫圖、列表、列舉、轉(zhuǎn)化、假設(shè)等多種實(shí)用有效的策略，強(qiáng)化學(xué)生解決問題的能力。