孫利萍

(云南省怒江州民族中學 673100)

近年來，隨著經(jīng)濟社會的不斷發(fā)展，我國也加快了課程改革，其中包含數(shù)學學科，這使得對數(shù)學思想方法的研究也在不斷地深入.作為一種技巧性和創(chuàng)新性很強的非常規(guī)性解題方法，數(shù)學構(gòu)造法的應用有一定的前提條件，不僅要求學生有扎實的數(shù)學基礎(chǔ)知識，還能夠全面分析高中數(shù)學解題的特點.

1 構(gòu)造幾何圖形解題

從整個高中數(shù)學知識體系的角度來講，其包含代數(shù)和幾何兩大部分的內(nèi)容.在高中數(shù)學解題教學中，將構(gòu)造法應用其中，不僅能夠解決各種代數(shù)問題，還能夠應對和處理幾何圖形問題.通過切實構(gòu)建幾何圖形，能夠有機融合所研究問題的特征和圖形，達成解決幾何問題的目的.

圖1

解析教師可以引導學生運用構(gòu)造法切實解決幾何圖形問題，根據(jù)題目中的cosα2+ cosβ2+cosγ2=1，連接長方體對角線，構(gòu)造如圖1所示的圖形.通過構(gòu)造長方體ABCD-A1B1C1D1的方式，不僅能夠?qū)㈤L方體對角線DB1和其三條側(cè)棱對應∠α，∠β，∠γ三個夾角明確下來，還能夠?qū)⑷龡l棱AD，DD1，DC的長分別設(shè)置為a，b和c，以此來保證其能夠被證實.基于這種狀況，當且僅當三條棱相等的時候，才能夠保證不等式取等號的原問題被證實.

2 構(gòu)造輔助角解決幾何問題

通過構(gòu)造輔助角解決問題的方式被稱為構(gòu)造輔助角法.在實際解決幾何問題的時候，常常會依托輔助角，建立起相應的聯(lián)系，這樣一來就能夠使幾何問題得到切實的解決.對已知條件的角度和結(jié)論進行深入分析，采取構(gòu)造兩個或者多個角的方式，構(gòu)造出與題目相應的輔助角.

例2在棱長全都相等的四面體A-BCD中，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點，連接AF，CE，如圖2所示.

(1)求異面直線AF，CE所成的角；

(2)求CE與底面BCD所成角的大小.

圖2

解析(1)構(gòu)造∠AFG，連接AG，則∠AFG就是AF和CE所形成的角.

(2)通過構(gòu)造∠ECM，BD⊥面EMN，而BD?平面BCD,所以平面EMN⊥平面BCD.

由此EH⊥平面BCD.

即∠ECH就是CE和平面BCD所成的角.

因為△EMD和△NMD都是直角三角形，MD為公共邊，則∠EDM=∠NDM=60°.

所以△EMD≌△NMD.

3 構(gòu)造向量解決幾何問題

例3已知定點A(-1，0)和B(1，0)，P是圓(x-3)2+(y-4)2=4上的一個動點，則|PA|2+|PB|2的最大值和最小值是多少.

圖3

點P在圓(x-3)2+(y-4)2=4上，

4 構(gòu)造輔助多邊形解決幾何問題

為了切實解決平面幾何或者立體幾何當中的重要問題，可以采取構(gòu)造更加復雜的幾何圖形方式.要想保證構(gòu)造的多邊形是切實有效的，必須要結(jié)合題目中所給出的各種已知條件或者結(jié)論等內(nèi)容.一般情況下，涉及到三角形的幾何題，需要利用三角形的某些特性來構(gòu)造三角形.如果題目中已知的條件或者結(jié)論涉及到正方形或者平行四邊形，則可以采取構(gòu)造相應的正方形或者平行四邊形的方式.

圖4

證明(采取構(gòu)造法，將△CFG構(gòu)造出來)

(1)因為AD⊥CD，所以△ADC與△ADF都是直角三角形.

又因為∠CAD=∠FAD，AD為公共邊，

所以△ADC≌△ADF.所以CD=FD.

即D為CF的中點.

同理可得E是CG的中點

即DE=FG，故DE∥AB.

(2)由 △ADC≌△ADF，得出AC=AF.

由△BEC≌△BEG，得出BC=BG.

5 構(gòu)造輔助圓來解決幾何問題

通過添加輔助圓，充分考慮圓的性質(zhì)，尋求解決幾何問題的已知條件和隱含條件.這種借助構(gòu)造圓解決問題的方式叫做構(gòu)造輔助圓.采取這種方式可以將平面幾何中關(guān)于角度和線段相等等方面的問題得到解決.同時，還要考慮平面幾何中的計算題和極值等問題，以此來構(gòu)造輔助圓.

例5在平面直角坐標系內(nèi)存在三點，即A,B,C，其中點A的坐標為(4，0),點B的坐標為(-6，0)，點C在y軸上，并且是一個動點.當∠BCA=45°的時候，點C的坐標可以表示為____.

圖5

解析設(shè)點E為線段AB的中點，AB=10，點E可以表示為(-1，0)，由于點C的位置存在兩種可能，即在y軸正半軸或者y軸負半軸，所以要分情況討論.

其一：假設(shè)點C在y軸的正半軸，如圖5所示.

此時以點P為圓心，PA當作半徑，

過點P作垂直于y軸的點F，則OF=PE=5.

根據(jù)勾股定理，在Rt△PFC中，可得CF=7.

由此OC的長度為5+7=12，即C(0，12).

其二：假設(shè)點C在y軸負半軸，則類比第一種解法，可得點C的坐標為(0，-12).

綜上，點C的坐標為 (0，12)和(0，-12).

綜上所述，采取了具體的高中數(shù)學解題案例的方式，利用數(shù)學構(gòu)造法，并且將其應用在高中數(shù)學解題當中.教師應當盡可能引導學生發(fā)現(xiàn)其中的隱藏條件，盡可能降低構(gòu)造法的具體應用意識.同時，高中數(shù)學教師在培養(yǎng)學生數(shù)學學習和教學思維能力的過程中，并未完全融入構(gòu)造法的技巧和能力，還受到了一定的研究因素和條件限制.為此，對構(gòu)造法在高中數(shù)學解題當中的應用還需要更進一步的探究，從而保證學生形成正確合理的構(gòu)造法幾何解題策略.