唐浩哲

(北京市十一學(xué)校 100039)

北大暑期學(xué)堂全稱為“北京大學(xué)優(yōu)秀中學(xué)生暑期學(xué)堂”，與之并列的還有北大的寒假學(xué)堂以及清華的暑期學(xué)校、寒假課堂，參加這些營(yíng)的營(yíng)員均為各省市重點(diǎn)高中校推薦.營(yíng)員們除了在輔導(dǎo)員和學(xué)長(zhǎng)的帶領(lǐng)下進(jìn)行學(xué)科前沿體驗(yàn)、校園文化巡禮外，還會(huì)參加一場(chǎng)綜合各學(xué)科的筆試測(cè)試，筆試成績(jī)優(yōu)異者將被評(píng)定為優(yōu)秀營(yíng)員，并影響后續(xù)強(qiáng)基A+政策的發(fā)放.另一方面，2022年北大暑期學(xué)堂因?yàn)橐咔樵蚋臑榫€上，數(shù)學(xué)試題也由以前的解答題改為單項(xiàng)選擇題，題型和題目難度與北大強(qiáng)基數(shù)學(xué)試題非常類似.因此，此套題對(duì)于準(zhǔn)備北大暑期學(xué)堂、寒假學(xué)堂和強(qiáng)基考試的讀者都具有重要的參考價(jià)值.

1.一些同學(xué)參加暑期學(xué)堂考試，每名同學(xué)得分均在60至100之間，若這些同學(xué)平均分為76分且恰有5人得100分，則參加考試人數(shù)的最小值為( ).

A.14 B.15 C.16 D.以上都錯(cuò)

解析設(shè)有n人參加考試，則76n≥100×5+60(n-5)，解得n≥12.5，即n≥13.當(dāng)n=13時(shí)，取5人得100分，1人得68分，7人得60分，平均分恰為76分.

所以參加考試人數(shù)最小值為13.

故選D.

2.設(shè)a,b,c是三邊長(zhǎng)，且滿足2a2+3(b2+c2)=21，則當(dāng)三角形面積最大時(shí)，a+b+c的值為( ).

解析由海倫公式，得

故選B.

3.設(shè)a>0，f(x)=a(x2+x)+1，t為一個(gè)給定實(shí)數(shù)，則2023個(gè)數(shù)f(t)，f(t+1)，f(t+2)，…，f(t+2022)中，正數(shù)的個(gè)數(shù)為( ).

A.最多1010個(gè) B.最多2021個(gè)

C.最少2022個(gè) D.以上都錯(cuò)

所以f(t)，f(t+1)，f(t+2)，…，f(t+2022)中至少有2022個(gè)正數(shù).

故選C.

4.凸四邊形ABCD中，E,F分別是其對(duì)角線AC和BD的中點(diǎn)，直線EF與AB,CD,分別交于G,H，若△ADH,△BCH,△ABH面積分別為2,4,5，則△CDG的面積為( ).

A.3 B.5.5 C.6 D.以上都錯(cuò)

圖1

解析如圖1所示，S△CDG=S△CEG+S△CEH+S△DFG+S△DFH.

因?yàn)镋,F是AC,BD中點(diǎn)，

所以S△CEG=S△AEG，

S△CEH=S△AEH，

S△DFG=S△BFG，

S△DFH=S△BFH.

所以S△CDG=S△AEG+S△AEH+S△BFG+S△BFH

=S△ABH=5.

故選D.

A.1 B.-1 C.-π D.以上都錯(cuò)

解析依題意，α+β=2p，αβ=-1，α2+β2=(α+β)2-2αβ=4p2+2，可由αn+2+βn+2=(an+1+βn+1)(α+β)-αβ(αn+βn)歸納證明αn+βn均為偶數(shù)(n∈N+).

故選C.

解析因?yàn)?5x4+4x3+3x2+2x+1)(5x4-4x3+3x2-2x+1)=25x8+14x6+3x4+2x2+1，

所以題目轉(zhuǎn)化為：

此方程整理為

13z4-62z3+114z2-86z+25=0.

故選A.

所以圓方程應(yīng)為

乘開后比對(duì)系數(shù)知

故選B.

8.滿足y2=x4+2x3+x2-11x+11的整數(shù)對(duì)(x,y)的個(gè)數(shù)為( ).

A.0 B.2 C.4 D.以上都錯(cuò)

解析顯然(1,±2),(2,±5)為方程的解，以下證明當(dāng)x≥3或x≤0時(shí)無其它解.

將原方程變形為

x2(x+1)2-y2=11(x-1).

①

即(x2+x+y)(x2+x-y)=11(x-1).

不妨設(shè)y≥0，當(dāng)x≥10時(shí)，|x2+x+y|-|11(x-1)|=x2-10x+11+y>0，矛盾；

當(dāng)x≤-13時(shí)，|x2+x+y|-|11(x-1)|=x2+12x-11+y>0，矛盾.

又若x為3的倍數(shù)，則y2≡2(mod3)，矛盾；

若x為4的倍數(shù)，則y2≡3(mod4)，矛盾.

所以只需再用①檢驗(yàn)x=-11,-10,-7,-5,-2,-1,0,5,7均不成立.

綜上，方程的解為(1,±2),(2,±5)，共4組.

故選C.

9.滿足n3除以1000余111且不超過2022的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)為( ).

A.0 B.1 C.2 D.以上都錯(cuò)

解析顯然n的個(gè)位只能是1.

則n3≡300a+300b2+30b+1(mod1000).

依題意，

300a+300b2+30b+1≡111(mod1000).

①

所以30b+1≡11(mod100)，解得b=7.

再代回①，得300a+911≡111(mod1000)

解得a=4.

所以滿足題意的n為471和1471.

故選C.

10.方程(2x+2)(5-2x)(4x2+8x+11)=10(2x+3)2的所有非實(shí)數(shù)根的平方和為( ).

解析設(shè)y=2x，則原方程整理得

y4+y3-y2-13y-20=0.

由待定系數(shù)法分解因式得

(y2-y-4)(y2+2y+5)=0.

顯然y2-y-4=0有兩個(gè)實(shí)根，設(shè)y1,y2為y2+2y+5=0的兩虛根，則所求為

故選A.

11.設(shè)ABC-A1B1C1是一個(gè)直三棱柱，且A1B=4，BC=5，A1C=6，則四面體C1A1BC體積的最大值為( ).

故選C.

12.設(shè)α,β滿足cos(α+β)=cosα+cosβ，則cosα的最大值與最小值的差為( ).

解析由條件整理得

(cosα-1)cosβ-sinαsinβ=cosα.

故選C.

13.設(shè)A是一個(gè)2022元集合，則滿足S與T的交非空的A的子集對(duì)(S,T)的個(gè)數(shù)為( ).

A.32022B.2022·22022C.22022D.以上都錯(cuò)

解析先求滿足S與T的交為空的情況數(shù)：

所以所求為42022-32022.

故選D.

14.設(shè)a,b為實(shí)數(shù)，直線ax-by=1與雙曲線x2-y2=1的兩支分別交于P,Q兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為(a,b)，則△APQ面積的最小值是( ).

因?yàn)榻挥趦芍?，所以b2>a2.

故選C.

15.有一個(gè)盒子裝有5個(gè)小球，每次試驗(yàn)從盒子中隨機(jī)取出1個(gè)小球，同時(shí)投擲硬幣，若硬幣為正面，則取出的小球留在外面，若硬幣為反面，則取出的小球放回盒子，重復(fù)試驗(yàn)至盒子中無小球時(shí)停止.設(shè)恰經(jīng)過n次試驗(yàn)后停止的概率為pn，則pn的最大值是( ).

所以p5p10>….

故選A.

故選B.

A.2022 B.-2022 C.1011 D.以上都錯(cuò)

解析因?yàn)?5-3x)2023+(4x)2023=0，

故選D.

A.1 B.2 C.2nD.以上都錯(cuò)

解析所給條件的n個(gè)式子相乘得

(x1x2…xn)n-2=n!，

結(jié)合x2x3…xn=x1，

注意到x1,x2,…,xn-1的符號(hào)可任取，但當(dāng)它們的符號(hào)確定后，xn的符號(hào)也隨之確定下來，因此滿足條件的(x1,x2,…,xn)的個(gè)數(shù)為2n-1.

故選D.

19.邊長(zhǎng)依次為4,6,7,8,9且有內(nèi)切圓的五邊形的個(gè)數(shù)為( ).

A.0 B.1 C.2 D.以上都錯(cuò)

圖2

解析因?yàn)橛赏稽c(diǎn)引圓的兩條切線段長(zhǎng)度相等，所以可列方程求得圖中各切線長(zhǎng)度.

設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，由幾何關(guān)系知

故選B.

故選D.