凌云

［摘 要］初中數(shù)學中，三角形作為幾何知識的基本元素，對學生“圖形與幾何”領(lǐng)域的學習具有十分重要的意義。文章結(jié)合教學實際，總結(jié)了三角形基本性質(zhì)相關(guān)問題、翻折問題、全等三角形問題、相似三角形問題、直角三角形問題及綜合類問題等幾類問題，旨在為學生的學習提出指導，以期提高學生的解題能力。

［關(guān)鍵詞］三角形；常見問題；解答策略

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻標識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2023）35-0027-04

三角形是初中階段學生接觸最多的幾何圖形之一，由此衍生出各類考點，相關(guān)問題也成為學生的學習難點。中考中，三角形相關(guān)問題的分值占比較大，且三角形的題型多樣，不利于學生掌握。因此，本文結(jié)合教學實際，總結(jié)初中三角形常見問題，以促進學生對相關(guān)知識的掌握。

一、基本性質(zhì)相關(guān)問題

三角形具有多種性質(zhì)，如三角形的中位線平行于三角形的第三邊且等于第三邊的一半；特殊三角形如等腰三角形、等邊三角形、直角三角形等，則有著更多、更特殊的性質(zhì)，如等邊三角形具有角平分線、邊上中線、邊上高重合的“三線合一”性質(zhì)；等腰三角形頂角平分線、底邊上中線、底邊上高重合；等等。這些都是三角形的基本性質(zhì)，也是常見的考點。因此，學生只有堅實掌握，才能在解題中靈活運用。

［例1］如圖1，在[△ABC]中，[AD]為[BC]邊上的中線，點[F]為[AC]邊上一點，[AF=13AC]，連接[BF]交[AD]于點[E]，[EF=5 cm]，求[BF]的長。

解析：如圖2，取[CF]的中點[M]，連接[DM]，

因為點[D]為[BC]的中點，

所以[DM]是[△BCF]的中位線，

所以[DM]∥[BF]，[DM=12BF]，即[2DM=BF]。

因為[AF=13AC]，

所以[AF=12FC]，

又因為[FM=12FC]，

所以[AF=FM]，即點[F]為[AM]的中點，

又因為[EF]∥[DM]，

所以點[E]為[AD]的中點，

所以[EF]是[△ADM]的中位線，

所以[EF=12DM]，

所以[BF=2DM=2×2EF=4EF]，

因為[EF=5 cm]，

所以[BF=20 cm]。

本題是對三角形中位線相關(guān)性質(zhì)的考查，如三角形的中位線與第三邊互相平行且長度為其一半。基于此，取[CF]的中點[M]，連接[DM]，得到[△BCF]的中位線；而后證明[EF]是[△ADM]的中位線，進而根據(jù)其中的關(guān)系，得到[BF]的長。

二、翻折問題

翻折問題也是三角形中的一個常見問題，在解答這類問題時，學生一定要厘清翻折前后的對應邊、對應角相等的關(guān)系，而后借助翻折前后的對稱性及三角形的三邊關(guān)系解答相關(guān)問題。

［例2］如圖3，矩形[ABCD]中，[AB=3]，[AD=4]，[E]、[F]分別為邊[BC]、[CD]上一點，[EF⊥AE]，將[△ECF]沿[EF]翻折得[△EC'F]，連接[AC']，當[BE=]? ? ? ? 時，[△AEC']是以[AE]為腰的等腰三角形。

解析：①當[AE=EC']時，設[BE=x]，則[EC=4-x]。

因為[△ECF]沿[EF]翻折得[△EC'F]，

所以[EC'=EC=4-x]。

在[Rt△ABE]中，由勾股定理得[AE2=BE2+AB2]，

即[（4-x）2=x2+32]，

解得[x=78]。

②當[AE=AC']時，如圖4，過點[A]作[AH⊥EC']于點[H]。

因為[AH⊥EC']，[AE=AC']，

所以[HE=HC']。

因為[EF⊥AE]，

所以[∠C'EF+∠AEC'=90°]，[∠BEA+∠FEC=90°]，

因為[△ECF]沿[EF]翻折得[△EC'F]，

所以[∠C'EF=∠FEC]，

所以[∠AEB=∠AEH]。

在[△ABE]和[△AHE]中，

[∠B=∠AHE∠AEB=∠AEHAE=AE]

所以[△ABE ]≌[△AHE]（AAS），

所以[BE=HE=HC']，

所以[BE=12EC']，

因為[EC'=EC]，

所以[BE=12EC]，

所以[BE=13BC=43]。

綜上所述，[BE=78]或[43]。

在本題中，需要對等腰三角形[AEC']以[AE]為腰的情況進行分類討論，當[AE=EC']時，根據(jù)翻折前后對應邊相等，并結(jié)合三邊的幾何關(guān)系進行列式計算，便可得到結(jié)果；當[AE=AC']時，則首先要根據(jù)翻折特點，證明[△ABE ]≌[△AHE]，得到[BE=HE]，最后根據(jù)相應關(guān)系得到[BE=13BC=43]。

三、全等三角形問題

全等三角形的證明，是一個中考必考的問題，不僅會出現(xiàn)單獨的考題，還會作為中間過程出現(xiàn)在其他證明問題中。因此，學生需要準確掌握證明三角形全等的幾種方法及常見的三角形全等模型。如常見的全等三角形模型有角平分線模型和三垂直模型，角平分線模型即過角平分線上 一點向角的兩邊作垂線段，所構(gòu)成的三角形全等；或過角的一邊作角平分線的垂線段的延長線，交角的另一邊，所構(gòu)成的三角形全等。在實際解題中，所給出的條件可能較為隱蔽，需要學生結(jié)合實際問題進行思考。

［例3］如圖5，已知[AB⊥BD]，[ED⊥BD]，[AB=CD]，[BC=DE]。

（1）求證：[AC⊥CE]。

（2）若將[△CDE]沿[CB]方向平移得到圖6的情景，并且[AB=C1D]，試判斷[AC⊥C1E]是否恒成立。

? ? ? ? ?

圖6

解析：（1）因為[AB⊥BD，ED⊥BD]，

所以[∠B=∠D=90°]，

在[△ABC]和[△CDE]中，[AB=CD，∠B=∠D，BC=DE，]

所以[△ABC ]≌[△CDE]（SAS），

所以[∠1=∠E]，

所以[∠1+∠2=∠E+∠2=90°]，

所以[∠ACE=90°]，

即[AC⊥CE]。

（2）[AC⊥C1E]恒成立，證明如下：

因為[AB⊥BD，ED⊥BD]，

所以[∠ABC=∠C1DE=90°]，

在[△ABC]和[△C1DE]中，[AB=C1D，∠ABC=∠C1DEBC=DE，]，

所以[△ABC ]≌[△C1DE]（SAS），

所以[∠ACB=∠C1ED]，

因為[∠C1ED+∠DC1E=90°]，

所以[∠ACB+∠DC1E=90°]，

所以[AC⊥C1E]。

本題較為簡單，屬于常見的三垂直模型，題（1）中由[AB⊥BD，ED⊥BD]，以及相應的線段關(guān)系，可得[△ABC ]≌[△CDE]，進而得出[AC⊥CE]；題（2）中由[△ABC ]≌[△C1DE]，可得[AC⊥C1E]。

四、相似三角形問題

相似三角形是數(shù)學中考中出現(xiàn)頻率非常高的一類問題。在解答這類問題時，需要學生熟練掌握相似三角形的常見證明方法，而后結(jié)合實際問題去分析可用的證明方法，進而得到證明結(jié)果。相似三角形有諸多常見的模型，如平行“A”字模型、“反射”模型和“沙漏”模型。學生應當熟練掌握以上各種模型，以便在解題中遇到相關(guān)模型時，能夠快速想到解題思路，進而提高解題效率。

［例4］如圖7，在矩形[ABCD]上，有一小球[P]的運動路徑為P→Q→R→S→P，已知反射角與入射角相等，[AB=9]，[BC=12]，[BR=4]，求小球的運動路徑長度。

解析：由題意可知，[∠PQA=∠BQR]，[∠QRB=∠SRC]，

因為四邊形[ABCD]為矩形，

所以[∠A=∠B=∠C=90°]，

因為[∠QRB=∠SRC]，[∠B=∠C=90°]，

所以[△SRC ]∽[△QRB]，

因為[BC=12]，[BR=4]，

所以[CR=BC-BR=8]，

所以[BRCR=BQCS=QRSR=12]，

易知[∠QRS+∠RSP=180°]，[∠SPQ+∠RSP=180°]，

所以[RQ]∥[SP]，[RS]∥[QP]，所以四邊形[SPQR]是平行四邊形，[RS=QP]，

可得[△PQA ]≌[△RSC]（SSA），

所以[BRAP=BQAQ=QRQP=12]，

因為[AB=9]，所以[BQ=3]，

在Rt[△RBQ]中，[QR=BQ2+BR2=5]，

則[SR=PQ=2QR=10]，

所以[PQ+QR+RS+SP=30]，

故小球的運動路徑長度為[30]。

在解答本題時，主要運用到了相似三角形的相關(guān)定理，由[△SRC ]∽[△QRB]，得到[BRAP=BQAQ=QRQP=12]，[BQ=3]，由勾股定理得[QR=5]，進而得到小球的運動路徑長度。

五、直角三角形問題

直角三角形作為一類特殊的三角形，會出現(xiàn)在各類幾何知識的考查中，主要考查直角三角形的基本性質(zhì)。解題時，則需要找到直角三角形與所求問題之間的聯(lián)系，而后借助勾股定理進行解答。

［例5］如圖8，民房后有一個山坡[AB]，為防止山體滑坡，需對坡面進行改造。經(jīng)過勘測得[AB=26 m]，[BC]∥[AD]，[BE⊥AD]，斜面[AB]的坡比為12∶5，當坡角不超過[50°]時，不易發(fā)生滑坡，若坡角[A]不動，則坡頂[B]至少向左移多少米？（[tan50°=1.2]）

解析：設[B]沿[BC]向左移動至點[H]時，

恰好坡角[∠HAE=50°]，

過點[H]作[HF⊥AD]于點[F]，因為斜坡[AB]的坡比為12∶5，

設[BE=12a m（a>0）]，[AE=5a] m，

在Rt[△AEB]中，[AE2+BE2=AB2]，

即[（5a）2+（12a）2=262]，

解得[a=2]，

所以[BE=24] m，[AE=10] m，[HF=BE=24] m，

所以，在[Rt△AFH]中，

[tan∠HAF=tan50°=HFAF=24AF=1.2]，

解得[AF=20] m，[BH=EF=AF-AE=20-10=10] m，

故坡頂[B]至少向左移[10]米，才能保證山體不易發(fā)生滑坡。

本題為直角三角形的實際運用問題，解題的關(guān)鍵為找到[Rt△AFH]和[Rt△ABE]的聯(lián)系，即[HF=BE]，結(jié)合這一關(guān)系，而后根據(jù)不同三角形的表達式進行計算，進而便可得到最終結(jié)果。

六、綜合類問題

這類問題是對三角形相關(guān)知識的綜合考查，不僅涉及三角形的基本性質(zhì)，還涉及全等三角形、相似三角形的證明。因此，在解答這類問題時，學生要先明確解答目標，而后厘清題目信息，挖掘隱藏信息，進而搭建已知條件與解答目標之間的橋梁，厘清解題思路，最后進行求解。

［例6］如圖9，已知等邊[△ABC]的邊長為[10]，點[D]為[AC]邊上一點，[CD=6]，延長底邊[BC]至點[E]，使得[CE]的長也為[6]，現(xiàn)有點[F]、[G]分別為[AB]、[DE]的中點，求[FG]的長。

解析：如圖10所示，連接[DB]，取線段[DB]的中點[H]，連接[FH]，[GH]，再過點[F]作[FP⊥GH]于點[P]，

由題意知，[BE=BC+CE=16]，[AD=AC-CD=4]，

因為在[△BDE]中，[GH]為邊[BE]的中位線，

所以[GH=12BE=8]，

又因為在[△ABD]中，[FH]為邊[AD]的中位線，

所以[FH=12AD=2]，

因為[GH]∥[BE]，

所以[∠DHG=∠DBC]，

又[FH]∥[AD]，

所以[∠FHD=∠BDC]，

因為[△ABC]為等邊三角形，即[∠DCB=60°]，

所以[∠DHG+∠FHD=∠BDC+∠DBC=120°]，

即[∠FHP=60°]，

因為[FH=2]，

根據(jù)勾股定理有[PH=1]，[PF=3]，

所以[PG=GH+PH=9]，

在Rt[△FPG]中，[FG=PG2+PF2=81+3=221]。

在解答本題時，需要添加輔助線，運用中位線定理、勾股定理等相關(guān)知識。首先根據(jù)題意做合適的輔助線，即連接[DB]，取線段[DB]的中點[H]，連接[FH]、[GH]，再過點[F]作[FP⊥GH]于點[P]，根據(jù)中位線定理得[FH=12AD=2]，而后進一步由[∠DCB=60°]計算出[∠FHP=60°]，最后借助勾股定理完成解答。

綜上所述，本文總結(jié)了初中階段關(guān)于三角形的常見問題，包括基本性質(zhì)相關(guān)問題、翻折問題、全等三角形問題、相似三角形問題、直角三角形問題及綜合類問題。因此，在日常的學習中，學生要重視對各類問題解答思路的總結(jié)與歸納，從而提升自身的綜合素養(yǎng)。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?］

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［3］? 顏妮.中位線定理在解三角形問題中的應用［J］.數(shù)理天地（初中版），2023（13）：8-9.

［4］? 陳燕.旋轉(zhuǎn)特殊角度，構(gòu)造特殊三角形［J］.現(xiàn)代中學生（初中版），2023（12）：17-18.

（責任編輯 羅 艷）