曾柏云 辜鵬宇 蔣世民 賈欣燕 樊代和

(西南交通大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,成都 610031)

量子非局域關(guān)聯(lián)是量子理論最基礎(chǔ)的特征之一.“X”態(tài)作為實驗中常見的一種量子態(tài),因其在演化過程中仍保持“X”形的穩(wěn)定性,而被廣泛應(yīng)用于開放量子系統(tǒng)的研究中.利用Clauser-Horne-Shimony-Holt (CHSH)不等式,在Markov 環(huán)境這種典型的開放量子系統(tǒng)下,研究了兩種通過局部變換操作所關(guān)聯(lián)的“X”態(tài)在振幅阻尼環(huán)境和相位阻尼環(huán)境中量子非局域檢驗結(jié)果隨時間的演化情況.研究結(jié)果表明,在相位阻尼環(huán)境中,隨著演化時間的增加,兩種“X”態(tài)具有相同的CHSH 不等式檢驗結(jié)果.在振幅阻尼環(huán)境中,利用局部變換操作得到的“X”態(tài),可獲得較長的成功進(jìn)行量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗的演化時間.最后,詳細(xì)給出了兩種類型“X”態(tài)在相位阻尼環(huán)境和振幅阻尼環(huán)境中成功進(jìn)行量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗的保真度范圍.

1 引言

量子非局域關(guān)聯(lián)最早由Einstein-Podolsky-Rosen(EPR)佯謬[1]引入,揭示了量子理論與經(jīng)典局域?qū)嵲谡撝g的矛盾.由于量子非局域關(guān)聯(lián)是量子理論最基本的特性之一,其也成為了量子信息學(xué)發(fā)展的關(guān)鍵基礎(chǔ)[2].近年來,量子非局域性關(guān)聯(lián)在量子通信[3]、量子計算[4]和量子密碼學(xué)[5]等中均發(fā)揮了重要的應(yīng)用價值.

1964 年,Bell[6]提出了著名的Bell 不等式,可用于對量子非局域關(guān)聯(lián)進(jìn)行檢驗.而對于兩比特量子糾纏態(tài),利用Clauser 等[7]提出的Clauser-Horne-Shimony-Holt (CHSH)不等式,可更加方便地進(jìn)行量子非局域關(guān)聯(lián)的實驗檢驗研究.在CHSH不等式檢驗方案中,經(jīng)典局域論預(yù)言CHSH 不等式的檢驗上限為Sc-max=2,而量子理論可以使該上限值進(jìn)一步達(dá)到因此,在量子非局域關(guān)聯(lián)的檢驗研究中,只需要通過判斷CHSH不等式檢驗值S ＞2 是否成立,即可證明量子非局域關(guān)聯(lián)的存在.

然而,量子非局域關(guān)聯(lián)在量子信息領(lǐng)域的實際應(yīng)用中,由于量子態(tài)不可避免地將與環(huán)境(如開放量子系統(tǒng))相互作用,進(jìn)而導(dǎo)致量子態(tài)發(fā)生退相干現(xiàn)象,這將導(dǎo)致雖然實驗制備出的量子態(tài)具有量子非局域關(guān)聯(lián)特性,但與環(huán)境發(fā)生相互作用后,其量子非局域關(guān)聯(lián)特性將會消失,甚至還會出現(xiàn)所謂的“糾纏突然死亡”的現(xiàn)象[8].因此,研究量子態(tài)在開放量子系統(tǒng)中隨時間演化后,是否還存在量子非局域關(guān)聯(lián)特性,具有一定的必要性.通常,量子態(tài)在開放量子系統(tǒng)演化時,有兩種典型的演化環(huán)境模型,即相位阻尼環(huán)境和振幅阻尼環(huán)境.例如,相位阻尼環(huán)境可以用來描述量子態(tài)通過波導(dǎo)時的隨機散射過程,而振幅阻尼環(huán)境可以描述自發(fā)輻射過程中量子態(tài)的動力學(xué)演化過程[9].

2007 年,Yu 等[10]提出了一種典型的量子態(tài),即“X”態(tài)(其密度矩陣可寫為如(1)式所示的“X”形狀),并研究了該量子態(tài)在開放量子系統(tǒng)中并發(fā)度(concurrence)C隨保真度F和時間t的變化情況:

目前,“X”態(tài)作為一個重要的量子資源,其在開放量子系統(tǒng)動力學(xué)的研究仍然是量子理論中的研究熱點之一.例如,2022 年,Guo 等[12]研究了一類兩比特“X”態(tài)的相干和混合的幾何圖像,并展示了在相干與混合之間相協(xié)調(diào)的新的圖像和結(jié)構(gòu).Kelleher 等[13]指出了“X”態(tài)的一些性質(zhì),如糾纏性與二階辛極空間的一類特殊的超幾何平面有關(guān).Namitha 等[14]利用“X”態(tài)研究了初始的相干對具有偶極相互作用的一個公共真空庫中空間分離的兩個量子比特系統(tǒng)的糾纏動力學(xué)影響.Zhao 等[15]研究了量子相干性和量子糾纏在Bell 對角態(tài)這種“X”態(tài)中的關(guān)系,并進(jìn)一步提出相干性和糾纏之間的關(guān)系.2021 年,我們課題組[16]提出了一種基于CHSH 不等式幾何解釋的“X”態(tài)量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗方案,這對任意“X”態(tài)的量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗研究提供了理論基礎(chǔ).雖然胡強等[17]也利用Hardytype 佯謬對振幅阻尼信道、相位阻尼信道和退極化信道等三種類型的退相干傳輸信道中的量子態(tài)進(jìn)行了量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗研究,但是,到目前為止,關(guān)于“X”態(tài)在開放量子系統(tǒng)中,特別是在Markov 環(huán)境這種典型環(huán)境中,基于CHSH 不等式的量子非局域性的研究還尚未有報道.

基于此,本文首先給出兩種由局部變換關(guān)系所關(guān)聯(lián)的“X”態(tài)的密度矩陣,結(jié)合Kraus 算符,闡述了在Markov 環(huán)境中,“X”態(tài)通過相位阻尼和振幅阻尼環(huán)境時,密度矩陣隨時間和保真度的演化情況.最后,基于CHSH 不等式,對兩種類型“X”態(tài)經(jīng)過相位阻尼和振幅阻尼環(huán)境演化后的量子非局域關(guān)聯(lián)特性進(jìn)行了檢驗研究,最終給出了這兩種“X”態(tài)在上述兩種環(huán)境中演化后,成功地進(jìn)行量子非局域關(guān)聯(lián)的條件和范圍.

2 Markov 環(huán)境下“X”態(tài)的演化及其基于CHSH 不等式的檢驗方案

圖1 量子系統(tǒng)示意圖,其中腔A 和腔B 中各有一個二能級原子,且其存在糾纏特性Fig.1.Schematic diagram of quantum system.Cavity A and cavity B have one two-level atom entanglement down respectively.

如(1)式所示的“X”態(tài),在Markov 環(huán)境下隨時間演化時,不失一般性地,演化后的密度矩陣可寫為

式中,各參數(shù)仍然滿足如(1)式所述的要求.

在給定密度矩陣的情形下,根據(jù)基于CHSH不等式的量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗方案[7,16,19],只需計算該量子態(tài)的關(guān)聯(lián)矩陣K=(kmn) (m,n=1,2,3),即可進(jìn)行量子非局域關(guān)聯(lián)的檢驗研究.其中關(guān)聯(lián)矩陣元k mn=tr(ρX(t)·σm ?σn) 表示關(guān)聯(lián)矩陣中處于第m行、第n列的矩陣元,σ m,n表示泡利算符.具體而言,將(3)式所示的密度矩陣,代入到關(guān)聯(lián)矩陣K的表達(dá)式中,即可得到關(guān)聯(lián)矩陣的具體表達(dá)式:

如假設(shè)x和y分別表示(4)式中3 個對角元絕對值的最大和次大值,則進(jìn)行量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗時,CHSH 不等式的最大值可寫為[19]

此時,如Sm＞2 能夠被滿足,即可證明該量子態(tài)可成功進(jìn)行量子非局域檢驗.

在明確了上述基于CHSH 不等式進(jìn)行的量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗的方案后,此時即需要得出“X”態(tài)在Markov 環(huán)境下,密度矩陣隨時間的動力學(xué)演化結(jié)果.實際上,圖1 所示的A 和B 組成的總系統(tǒng)的哈密頓量可寫為Htot=Hat+Hcav+Hint,其中Hat表示A 和B 系統(tǒng)中原子的哈密頓量之和,Hcav表示腔A 和腔B 中環(huán)境的哈密頓量與之和,Hint表示每個系統(tǒng)中原子與各自所處環(huán)境的相互作用哈密頓量之和[20].二能級原子與腔環(huán)境的相互作用后,將導(dǎo)致“X”態(tài)的糾纏特性逐漸出現(xiàn)解糾纏現(xiàn)象,并且不同類型的腔環(huán)境對量子態(tài)的糾纏特性影響不同.本文主要考慮Markov 環(huán)境下,“X”態(tài)在振幅阻尼和相位阻尼這兩種典型環(huán)境演化后,進(jìn)行的量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗情況.

將(3)式所示的“X”態(tài)和這個封閉系統(tǒng)的總哈密頓量Htot代入Liouville-Von Neumann 方程dρX(t)/dt=-i[Htot,ρX(t)]中,再利用旋波近似和Born-Markov 近似,以及Kraus 算符[9]進(jìn)行方程求解,即可得到在Markov 環(huán)境下,“X”態(tài)密度矩陣隨時間的演化結(jié)果:

民營企業(yè)是我國經(jīng)濟發(fā)展中最具活力的成分。企業(yè)家都是具有風(fēng)險創(chuàng)新精神的，注定了他們對所處創(chuàng)新環(huán)境是相當(dāng)敏感的。隨著創(chuàng)新激勵政策落到實處，以往的策略性創(chuàng)新行為已經(jīng)無法得到認(rèn)可，實質(zhì)性創(chuàng)新就成為企業(yè)獲得創(chuàng)新補貼的唯一手段。因此不同產(chǎn)權(quán)性質(zhì)的企業(yè)在創(chuàng)新驅(qū)動供給側(cè)改革的背景下，可能會呈現(xiàn)出不同的創(chuàng)新補貼特征與R&D研發(fā)投入產(chǎn)出趨勢。為了進(jìn)一步分析供給側(cè)改革下創(chuàng)新驅(qū)動政策的作用效果，本文將樣本按照企業(yè)產(chǎn)權(quán)性質(zhì)分成兩組進(jìn)行重復(fù)回歸。

在相位阻尼環(huán)境下,每個子系統(tǒng)的Kraus 算符可分別用

進(jìn)行表示[21],其中(Γ表示阻尼率).將上述Kraus 算符表達(dá)式代入(6)式,則可得到量子態(tài)在相位阻尼環(huán)境演化后,密度矩陣隨時間的演化結(jié)果為

在得到如(7)式、(8)式所示的量子態(tài)經(jīng)過Markov 環(huán)境演化后的密度矩陣后,即可計算得到如(4)式所示的關(guān)聯(lián)矩陣的具體表達(dá)式,結(jié)合基于CHSH 不等式的檢驗方案,進(jìn)而可進(jìn)行“X”態(tài)的量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗研究.

3 Markov 環(huán)境下“X”態(tài)的量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗結(jié)果

實際上,“X”態(tài)包含了若干類別的糾纏態(tài),本文主要研究對象為較為常見的Werner 態(tài)和將它進(jìn)行局部變換操作得到的量子態(tài).由文獻(xiàn)[10]可知,常見的Werner 態(tài),以及其進(jìn)行局部變換操作后量子態(tài)的密度矩陣可分別寫為

由并發(fā)度的計算表達(dá)式(如(2)式所示)和(9)式的具體表達(dá)式可知,這兩種“X”態(tài)的并發(fā)度可均表示為即該兩種類型的“X”態(tài)在未經(jīng)Markov 環(huán)境演化時,局部變換操作并不改變它們的并發(fā)度.

下面,首先研究“X”態(tài)在相位阻尼環(huán)境下的量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗情況.將(9a)式和(9b)式分別代入到(7)式中,可分別得到“X”態(tài)隨時間演化后的密度矩陣為

此時,將(10)式代入到(4)式,即可進(jìn)一步計算得到進(jìn)行量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗時的關(guān)聯(lián)矩陣元k mn值為

從(11)式中可以看出,兩種類型“X”態(tài)的關(guān)聯(lián)矩陣對角元的絕對值|kmm|相等,且|k33|＞|k22|=|k11|,因此該兩種類型“X”態(tài)具有相同的量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗結(jié)果,即

圖2 相位阻尼環(huán)境中, 和隨演化時間Γt和保真度F 的變化關(guān)系圖Fig.2.and versus evolution time Γ t and fidelity F in a phase damping environment.

將(9)式分別代入(8)式,用上述同樣的方法,可得到兩種類型“X”態(tài)的密度矩陣ρW和在振幅阻尼環(huán)境下隨時間變化的密度矩陣:

將(13)式分別代入(4)式中,即可得到在振幅阻尼環(huán)境中,兩種“X”態(tài)進(jìn)行量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗時的關(guān)聯(lián)矩陣分別為

從(14)式的關(guān)聯(lián)矩陣可以看出,在任一保真度F值的情況下,矩陣對角元|kmm|值的最大和次大值,將依賴于演化時間Γt,因此無法寫出進(jìn)行量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗時的通用表達(dá)式.但不論如何,在某一保真度下,隨著演化時間的不同,通過將(14)式中對角元|kmm|的值進(jìn)行降序排列,然后結(jié)合(5)式,即可得到在振幅阻尼環(huán)境的演化中,“X”態(tài)進(jìn)行量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗的結(jié)果,如圖3 所示.

圖3 振幅阻尼環(huán)境中,隨保真度F 和演化時間 Γ t 的變化關(guān)系圖 (a),(b) 保真度在 0 .25 ≤F ≤1 變化時的情況;(c),(d) F=0.78 和 F=1.00 時的情況Fig.3. versus evolution time Γ t in amplitude damping environment: (a),(b) The situation when the fidelity changes in 0 .25 ≤F ≤1 respectively;(c),(d) the situation when F=0.78 and F=1.00 respectively.

從圖3 中可以看出,在振幅阻尼環(huán)境下,當(dāng)保真度F≤0.78 時,不論演化時間為多少,兩種“X”態(tài)均不能成功進(jìn)行量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗(即Sm＜2).當(dāng)F ＞0.78 時,在初始時刻(即t=0),兩種“X”態(tài)的均可成功進(jìn)行量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗(即Sm＞2),且保真度越大,Sm越大.但是,隨著演化時間的增加,盡管兩種“X”態(tài)進(jìn)行量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗時,可獲得的最大值均將呈現(xiàn)先減小后增加的現(xiàn)象,但是,兩種“X”態(tài)的演化關(guān)系曲線不同.特別地,當(dāng)保真度F=1 時,對于密度矩陣為ρW的“X”態(tài),演化時間Γ t ＞0.22 后,則會得到Sm＜2的量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗結(jié)果,即此時該“X”態(tài)將不能進(jìn)行量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗.而對于密度矩陣為的“X”態(tài),演化時間Γ t ＞0.26 后,才得到Sm＜2的檢驗結(jié)果,這表明了在振幅阻尼環(huán)境下,密度矩陣為的“X”態(tài),進(jìn)行量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗?zāi)軌虮３指L的時間.

為了更清楚地顯示“X”態(tài)在相位阻尼和振幅阻尼環(huán)境下,能夠成功進(jìn)行量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗的范圍情況,圖4 給出了經(jīng)局部變化操作后的兩種“X”態(tài),能夠成功進(jìn)行量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗時的最小保真度Fmin與演化時間Γ t的變化關(guān)系曲線.

圖4 Fmin 與時間 Γ t 的 變化關(guān) 系圖.其 中藍(lán)色 點劃線 表示密度矩陣為 ρ W 的“X”態(tài)在振幅阻尼信道下的演化曲線;紅色虛線表示密度矩陣為 的“X”態(tài)在振幅阻尼信道下的演化曲線;黑色實線表示兩“X”態(tài)在相位阻尼信道下的演化曲線Fig.4.Fmin versus time Γ t .The blue dotted line represents the evolution curve of the “X” state with the density matrix ρW under the amplitude damping channel;the red dotted line represents the evolution curve of the “X” state with density matrix under the amplitude damping channel;the black solid line represents the evolution curve of two “X” states in a phase damped channel.

從圖4 中可以清晰地看出,在相同的演化時間下,使用密度矩陣為ρW和的“X”態(tài)進(jìn)行量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗時,在相位阻尼環(huán)境中所需的最小保真度遠(yuǎn)小于在振幅阻尼環(huán)境中所需的保真度.這也表明了在相位阻尼環(huán)境中,可成功進(jìn)行量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗的保真度范圍將更大.同時,從圖4 中還可以看出,在振幅阻尼環(huán)境以及相同的演化時間下,密度矩陣為的“X”態(tài)成功進(jìn)行量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗的保真度范圍大于密度矩陣為ρW的“X”態(tài),這也表明了對“X”態(tài)的密度矩陣進(jìn)行局部變換操作,有助于提高成功進(jìn)行量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗研究的量子態(tài)保真度范圍.特別地,對于密度矩陣為ρW的“X”態(tài),能夠成功進(jìn)行量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗的演化時間為Γ t=0.22,而對于密度矩陣為的“X”態(tài),該演化時間可達(dá)到Γ t=0.26 .

4 總結(jié)

本文研究了兩種由局部變換操作所聯(lián)系的“X”態(tài)在Markov 環(huán)境(相位阻尼和振幅阻尼環(huán)境)中隨時間演化后,基于CHSH 不等式進(jìn)行的量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗情況.結(jié)果表明,兩種類型“X”態(tài)在相位阻尼環(huán)境演化中,具有相同的量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗結(jié)果.隨著演化時間的增加,兩種“X”態(tài)的量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗最大值S m都將非線性減小,且僅當(dāng)F=1 時(“X”態(tài)約化為量子純態(tài)),兩者才能始終成功進(jìn)行量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗的研究(即Sm ＞2).當(dāng)保真度 0 .78＜F ＜1 時,兩種“X”態(tài)隨著演化時間的增加,進(jìn)行量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗時的最大值將由S m ＞2 逐步過渡到S m ＜2,進(jìn)而不能成功進(jìn)行量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗的研究.

兩種“X”態(tài)在振幅阻尼環(huán)境中隨時間演化后,基于CHSH 不等式的量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗將具有不同的結(jié)果.研究表明,當(dāng)F ＞0.78 時,隨著演化時間的增加,經(jīng)過局部變換操作后的“X”態(tài),較操作之前的“X”態(tài)量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗結(jié)果降低更加緩慢.特別地,當(dāng)F=1 時,密度矩陣為ρW的“X”態(tài)在演化時間Γ t ＞0.22 后,將不能成功進(jìn)行量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗.而對于密度矩陣為的“X”態(tài),其在演化時間Γ t ＞0.26 后,才不能進(jìn)行量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗.這表明經(jīng)過局部變換操作之后,更有利于“X”態(tài)進(jìn)行基于CHSH 不等式的量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗.

最后,給出了兩種“X”態(tài)在相位阻尼環(huán)境和振幅阻尼環(huán)境下能夠進(jìn)行量子非局域關(guān)聯(lián)時所滿足的最小保真度Fmin隨演化時間Γ t的變化關(guān)系.研究結(jié)果表明,在能夠成功進(jìn)行量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗的前提下,兩類型“X”態(tài)在相位阻尼環(huán)境中演化,可采用的保真度范圍較大.同時,在相同的演化時間下,密度矩陣為ρW的“X”態(tài)在經(jīng)過局部變換操作后有助于提高其在振幅阻尼環(huán)境中的量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗的保真度范圍.

實際上,本文的研究結(jié)果對基于“X”態(tài)在Markov 環(huán)境演化后進(jìn)行的量子非局域關(guān)聯(lián)實驗檢驗具有一定的指導(dǎo)意義.首先,從本文的研究結(jié)果可以看出,“X”態(tài)隨時間演化后,保真度對成功進(jìn)行量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗具有重要的影響.例如,當(dāng)初始時刻F ＜0.78 時,兩種“X”態(tài)在振幅阻尼和相位阻尼環(huán)境中演化后,均不能成功地進(jìn)行量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗研究.其次,本文的研究結(jié)果表明,盡管在相位阻尼環(huán)境演化后,兩種“X”態(tài)進(jìn)行量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗時,可得到相同的實驗檢驗結(jié)果,但相比振幅阻尼環(huán)境,兩種“X”態(tài)在相位阻尼環(huán)境演化時,更利于成功進(jìn)行量子非局關(guān)聯(lián)的實驗檢驗研究.并且,在振幅阻尼環(huán)境演化后,經(jīng)過局部變換操作之后的“X”態(tài),更有利于量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗的實驗檢驗.

本文的研究結(jié)果,為理論和實驗研究“X”態(tài)在Markov 環(huán)境下隨時間演化的量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗提供了思路.相信本文的研究,可為后續(xù)基于其他開放量子系統(tǒng)環(huán)境,甚至基于非Markov 環(huán)境的量子態(tài)量子非局域關(guān)聯(lián)檢驗研究提供參考.