南京市棲霞中學(210046)劉建國

南京市棲霞區(qū)教師發(fā)展中心(210000)謝弦

圓錐曲線中的定點定值問題命制往往依據(jù)一定的背景,在此背景以特定的圓錐曲線為載體(如文獻[1])考察學生學科關(guān)鍵能力,培育數(shù)學運算,邏輯推理等核心素養(yǎng).此類題型常以高考壓軸題的姿態(tài)呈現(xiàn),筆者通過對江蘇省G4(蘇州中學、揚州中學、鹽城中學、常州中學)的聯(lián)考中的一道定值問題試題進行溯源,并在“源”的基礎(chǔ)上拓展,在深度與廣度上呈現(xiàn)由“源”到“流”的探究思路與過程.

1.2 觀察指標 通過院內(nèi)病案查詢系統(tǒng)采集患者的臨床資料：(1)臨床基本情況，包括年齡、性別、從DM/PM確診到出現(xiàn)ARDS的病程、ARDS誘因、預后；(2)癥狀和體征，包括肺內(nèi)(咳嗽、咳痰、呼吸困難)及肺外(發(fā)熱、關(guān)節(jié)肌肉痛、特征性皮疹)表現(xiàn)；(3)輔助檢查結(jié)果，包括血常規(guī)、血沉、血生化、抗體、血氣分析，影像學，肌電圖，肌肉活檢，支氣管鏡肺活檢結(jié)果等；(4)DM/PM治療及針對ARDS的激素使用情況。

(一)工資、薪金所得，是指個人因任職或者受雇而取得的工資、薪金、獎金、年終加薪、勞動分紅、津貼、補貼以及與任職或者受雇有關(guān)的其他所得。

一、原題呈現(xiàn)

題目(2021-2022 學年江蘇省G4 高三上學期12 月聯(lián)考)在平面直角坐標系xOy中,橢圓C:0)的離心率為,且過點(2,3).

2.在物防上，針對不法分子交通和通訊工具日益現(xiàn)代化的實際，各油區(qū)巡邏隊也要配備巡邏車、各種先進器具等。同時，對重點油井的井口加蓋鐵皮房；還要對部分油井的套管安裝密碼防盜閘門和“三鍵式”防盜套管閘門。對變壓器、節(jié)能箱、電機等易被盜的設(shè)施采取“全包式”加焊防盜欄、防盜鎖、固定螺絲焊死等措施；對電纜線、單井管線等實行深埋80cm；對集輸泵站、庫房及其它要害部位進行重點巡邏，使被盜系數(shù)減少到零。

(1)求橢圓C的方程;

交通運輸部近日印發(fā)了《農(nóng)村公路建設(shè)質(zhì)量管理辦法》（以下簡稱《辦法》）。《辦法》聚焦當前農(nóng)村公路建設(shè)質(zhì)量管理中的突出問題，進一步明確了地方政府農(nóng)村公路建設(shè)質(zhì)量監(jiān)管責任和施工企業(yè)質(zhì)量主體責任，強化了農(nóng)村公路質(zhì)量關(guān)鍵環(huán)節(jié)管控。

注如圖3所示,kPMkPN為定值的本質(zhì)直線AD和直線AE的斜率之積為定值,由此可以推斷結(jié)論2 至結(jié)論6 在雙曲線中也有類似的結(jié)論.

二、源——追根溯源

所以

證明設(shè)D(x1,y1),E(x2,y2),直線l的方程為x=my+t,與橢圓C聯(lián)立可得:(b2m2+a2)y2+ 2mtb2y+b2(t2-a2)=0,由韋達定理可知

(2)設(shè)A為橢圓C的左頂點,過點R(3,0)作與x軸不重合的直線l交橢圓C于P,Q兩點,連接AP,AQ分別交直線于M,N兩點,若直線MR,NR的斜率分別為k1,k2,試問k1k2是否為定值? 若是,求出該定值;若不是,請說明理由.

結(jié)論1已知橢圓C:A為橢圓C的左頂點,點P(t,0)為長軸上任意一點(不與橢圓C的頂點重合),過點P的直線l交橢圓C于D,E兩點,直線AD和直線AE分別交直線于M,N兩點,則.

I為恒等算子,而參數(shù)λ與α,β,γ和δ密切相關(guān),并且確保算子O5為正定算子。為了確切地確定λ,可將算子O1,O2,O3,O4和O5可以表示成如下矩陣形式:

結(jié)論3已知橢圓C:A為橢圓C的左頂點,點P(t,0)為長軸上一點(不與橢圓C的頂點重合),過點P的直線l交橢圓C于D,E兩點,直線AD和直線AE分別交直線于M,N兩點,則M,N的縱坐標之積為定值,即.

將①代入可得

注如圖1所示,上述結(jié)論可知kPMkPN為定值的本質(zhì)在于為定值,即kADkAE為定值,基于這樣的背景,將kADkAE的定值作為探究對象,可以進一步對上述問題進行深度挖掘.

圖1

圖2

三、流——淵思寂慮

因為

證明由結(jié)論1 的證明可知,

注以線段MN為直徑的圓所過定點與yMyN有關(guān),由結(jié)論2 可知,yMyN為定值本質(zhì)上是kADkAE為定值.

《結(jié)婚十年》是蘇青最具代表性的一部帶有自傳體性質(zhì)的長篇小說。書中主要描寫了女主人公蘇懷青與丈夫徐崇賢十年以來的平淡而又辛酸的婚姻生活，揭示了一個渴望追求新生活的都市女性，在新舊思想交替的戰(zhàn)爭年代與男權(quán)壓抑之下的漫長而又曲折的心路歷程。

注此定值由yMyN決定,本質(zhì)上由kADkAE決定.

四、流——淵遠流長

通過對橢圓的探究得到了上述有關(guān)結(jié)論,其背景都是直線AD與直線AE的斜率之積為定值,若以雙曲線或拋物線為載體,則也有類似的結(jié)論,于是可以將結(jié)論1 在廣度上進行推廣,如下所示.

結(jié)論7已知雙曲線C:,A為雙曲線C的右頂點,點P(t,0)為x軸上的任意一點(不與雙曲線C的頂點重合),過點P的直線l交雙曲線C于D,E兩點,直線AD和直線AE分別交直線于M,N兩點,則.

注此題以橢圓為載體,考察直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合運用,結(jié)論以定值形式呈現(xiàn),主要考察學生的必備知識、關(guān)鍵能力以及學科素養(yǎng),強化基礎(chǔ)性、綜合性、應用性和創(chuàng)新性.筆者對條件進行梳理,不難發(fā)現(xiàn):點R的橫坐標與直線的滿足:MR,NR的斜率之積k1k2為定值,因為R為定點,k1k2與點M,N有關(guān)(M,N的橫坐標是定值),而點M,N是由AP,AQ生成(A為橢圓C的左頂點),且點P,Q由直線l生成,直線l過定點R,則k1k2的定值一定與定點R有關(guān).若將其置于一般的橢圓中,是否與橢圓的a,b,c、點R、點A以及直線有關(guān),基于這樣的梳理,筆者經(jīng)過探究得到此題的命題背景.

圖3

結(jié)論8已知拋物線C:y2=2px(p >0),點P(t,0)為x軸上的任意一點(不與拋物線C的頂點重合),過點P的直線l交拋物線C于D,E兩點,直線OD和直線OE分別交直線x=-t于N,M兩點,則.

證明如圖4所示,設(shè)D(x1,y1),E(x2,y2),直線l的方程為x=my+t,與拋物線C聯(lián)立可得y2-2pmy-2pt=0,由韋達定理可知

圖4

直線OD的方程為所以同理可得根據(jù)點M,N,P的坐標可得則

圖3（a）為完整模型前屈和后伸在力矩作用下，頸椎旋轉(zhuǎn)角度（活動度）與文獻[11-12]活動度對比圖，圖3（b）為完整模型側(cè)彎和軸向旋轉(zhuǎn)在力矩作用下，頸椎旋轉(zhuǎn)角度與文獻[13]活動度對比圖.可知所建立的完整模型后伸運動時活動度與文獻基本相同，前屈、側(cè)彎和軸向旋轉(zhuǎn)運動時雖然存在差異，但處于人體正常運動范圍，因此認為所建模型符合人體頸椎的運動條件，可以作為本文的研究模型.

注類似于雙曲線與橢圓,結(jié)論3 至結(jié)論6 在拋物線中也有類似的結(jié)論成立.

電氣性能是儀表電纜測試時的重要內(nèi)容，主要包括直流電阻、絕緣電阻和沖擊電壓試驗等[18]，在文獻[1-4]中均有詳細的規(guī)定。結(jié)構(gòu)尺寸、機械性能、物理性能等也需滿足儀表電纜所執(zhí)行的標準中規(guī)定的要求。對于阻燃、耐火、耐油、耐紫外線等特殊要求，相關(guān)的國內(nèi)外測試標準見表2所列。

五、高考連接

基于上述問題的背景,在以往高考中多有體現(xiàn),這體現(xiàn)了高考“?？汲Ｐ隆钡奶攸c,只有對問題進行深度與廣度的探究,把握問題背景,了解問題命題思路,在高三復習過程中,往往可以達到事半功倍的復習效果,筆者羅列了兩道有關(guān)上述問題背景的高考試題.

1.(2019年高考北京卷理科第18 題)已知拋物線C:x2=-2py經(jīng)過點(2,-1).

(1)求拋物線C的方程及其準線方程;

(2)設(shè)O為原點,過拋物線C的焦點作斜率不為0 的直線l交拋物線C于兩點M,N,直線y=-1 分別交直線OM,ON于點A和點B,求證:以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個定點.

2.(2010年高考四川卷理科第20 題)已知定點A(-1,0),F(2,0),定直線l:不在x軸上的動點P與點F的距離是它到直線l的距離的2 倍,設(shè)點P的軌跡為E,過點F的直線交E于B,C兩點,直線AB,AC分別交l于M,N點.

鐵坑礦區(qū)巖漿巖為花崗閃長斑巖、花崗斑巖，呈小巖株產(chǎn)出，侵入受構(gòu)造、F1、F5控制。據(jù)新余鐵山見有同巖性之脈巖侵入侏羅紀地層中，侵入時代屬燕山期。

(1)求E的方程;

(2)試判斷以線段MN為直徑的圓是否過定點,并說明理由.

六、結(jié)束語

從上述的一系列結(jié)論可以看出,橢圓、雙曲線以及拋物線均有類似的定值問題的結(jié)論,若將上述系列結(jié)論中條件進行賦值,即可由“源”到“流”進行命題,所命制的題目在于同一個背景下以不同的載體(向量,圓,以及坐標)呈現(xiàn)豐富多彩的問題.因此只有對問題進行深入探究,追根溯源,才能了解問題的背景,并在此基礎(chǔ)上進行命題與編題(如文[3]).在解題中探究問題的背景,在背景下進行命題,這種“源”與“流”的思路在平時的試題中多有體現(xiàn),因此在高三復習過程中,教師只有跳入題海,深入的研究問題,才能真正意義上幫助學生避免題海戰(zhàn)術(shù),提升學生的學科關(guān)鍵能力,增效減負的同時培育學生的核心素養(yǎng).