湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)(410006)楊章遠(yuǎn)

1 試題呈現(xiàn)

題目(2022年高考天津卷第20 題)已知a,b ∈R,函數(shù).

(1)求函數(shù)y=f(x)在(0,f(0))處的切線方程;

(2)若y=f(x)和y=g(x)有公共點(diǎn),求:(i)當(dāng)a=0時(shí),求b的取值范圍;(ii)求證:a2+b2>e.

分析本題是2022年高考天津卷的最后一題,考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、存在性問題下參數(shù)取值范圍的求解和多元不等式的證明等內(nèi)容,對(duì)學(xué)生的綜合能力要求較高,不僅要求學(xué)生掌握分離參數(shù)與隱零點(diǎn)問題的處理方法,同時(shí)還需要熟悉常見多元不等式的處理,考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想,體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng).

2 解法探究

試題的第(1)問的目標(biāo)是求函數(shù)在某一點(diǎn)處的切線方程,起點(diǎn)較低,主要起到增強(qiáng)解題信心的作用,第(2)問的(i)小題也是常見的存在性問題,使用分離參數(shù)法即可轉(zhuǎn)化為一個(gè)無參函數(shù)的值域問題,最后得出b的取值范圍為下面從四個(gè)不同的視角探究第(2)問(ii)小題的解法.

解析由題意,有解,設(shè)解為x0,則,

視角1:從消元的角度——代入消元

評(píng)注該解法利用了a,b,x0三者之間的等量關(guān)系,消去變量b(消去a也可以),再將不等式整理為以a為主元的一元二次不等式,進(jìn)而利用判別式得到一個(gè)只有x0的單變量不等式,最后結(jié)合第(i)問的結(jié)論,順利解決問題.整個(gè)過程以減少變量為目的,思路清晰,目標(biāo)明確.

視角2:從換元的角度——三角換元

設(shè)a=rcosθ,b=rsinθ,代入方程可得:利用輔助角公式可得,即只需要證明e2x0-1>x0+sin2x0即可,后面的證明同上.

評(píng)注該解法的關(guān)鍵在于由目標(biāo)不等式的平方結(jié)構(gòu)聯(lián)系到三角換元,再借助輔助角公式和三角函數(shù)的有界性構(gòu)造不等式,過程相比視角1 更加簡(jiǎn)潔.

視角3:從主元的角度——更換主元

要證明a2+b2>e,只需要證明即證明原點(diǎn)到(a,b)的距離大于由等式可知,點(diǎn)(a,b)在直線上.所以的最小值為原點(diǎn)到直線的距離因此只需要證明即可,后面的證明同上.

評(píng)注該解法同樣是根據(jù)目標(biāo)不等式的平方結(jié)構(gòu)出發(fā),聯(lián)系到點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離公式,最后再利用點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化,與視角2 異曲同工,對(duì)學(xué)生思維能力要求較高.

視角4:從放縮的角度——借助柯西不等式證明

由結(jié)構(gòu)a2+b2,容易聯(lián)系到二維形式的柯西不等式:(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,于是有因此只需要證明:,后面的證明同上.

評(píng)注該解法的思路與解法2,3 類似,都是由目標(biāo)不等式的形式出發(fā)構(gòu)造,這也是平方結(jié)構(gòu)的常見的處理思路,而消元、換元、主元法都是解決多元函數(shù)問題的基本方法,解題時(shí)可以選擇一個(gè)切入點(diǎn)進(jìn)行合理的代數(shù)變形,快速轉(zhuǎn)化目標(biāo).

3 加強(qiáng)結(jié)論

對(duì)題目結(jié)論的進(jìn)一步探究、加強(qiáng)與推廣,深入挖掘類似題目中所隱藏的一般性規(guī)律,是落實(shí)深度學(xué)習(xí)的重要途徑之一.注意到第(ii)問目標(biāo)不等式的左邊為變量,右邊是一個(gè)常數(shù)e,一個(gè)很自然的想法是,e 是不是最佳下界? 結(jié)論是否可以進(jìn)一步加強(qiáng)? 結(jié)合原問題的解法,借助幾何畫板,容易得到如下加強(qiáng)命題.

加強(qiáng)1求證:a2+b2>3.

這個(gè)不等式的右邊為整數(shù),看似簡(jiǎn)單,其實(shí)證明難度要大很多,既不能利用第一問的結(jié)論來處理,又不能直接構(gòu)造函數(shù)來證明.經(jīng)過筆者的反復(fù)嘗試,發(fā)現(xiàn)可以通過借助泰勒公式的推論來幫助證明這個(gè)問題,同時(shí)對(duì)放縮的精確度要求很高.

由方程2xm=sin 2xm+cos 2xm可得:故結(jié)論得證.

本題結(jié)論的加強(qiáng)僅作拋磚引玉之用,a2+b2的最小值期待大家的進(jìn)一步探究.精選試題,然后深度剖析是教師提升專業(yè)素養(yǎng),增強(qiáng)教學(xué)能力,提高教學(xué)效率的必經(jīng)之路,也是實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)的重要途徑.教師在教學(xué)與備課的過程中,應(yīng)經(jīng)常分析高考試題的命題背景,試題結(jié)論是否可以加強(qiáng)與推廣,是否可以引申探究等,進(jìn)而提升教師專業(yè)能力與教學(xué)水平.