江蘇省淮陰中學(xué)教育集團(tuán)淮安市新淮高級中學(xué)(223001)王恩普

1 原題呈現(xiàn)

題目已知圓O:x2+y2=2,過點F(-1,0)的直線l交圓O于H.過原點O作直線l的垂線交直線x=-2 于點K,試探究:當(dāng)點H在圓O上運動時(H不在x軸上),直線HK與圓O是否保持相切? 若是,請證明;若不是,請說明理由.

2 解法探究

解法1設(shè)當(dāng)x0-1 且x00 時,則直線OK:即則

綜上有當(dāng)點H在圓O上運動時(不與M,N重合),直線HK與圓O保持相切.

評注解法1 主要是先設(shè)出H點的坐標(biāo),進(jìn)而表示出K點的坐標(biāo),然后通過kHK ·kOH=-1 來證明直線與圓的相切關(guān)系,但是既然用斜率,就應(yīng)該注意分類討論的情況,當(dāng)然本題也可以通過證明來解決.

解法2設(shè)則由OK⊥FH知可得:-2(x0+1)+my0=0,即-2x0+my0=2,而即KH⊥OH,則直線HK與圓O保持相切.

評注相比于解法1,本題更能夠體現(xiàn)解析幾何中設(shè)而不求的思想,通過設(shè)出K點的坐標(biāo)以及OK⊥FH得到的條件,通過整體運算來證明進(jìn)而判斷出相切關(guān)系,思路清晰,過程簡潔.

解法3記直線OK,FH的交點為M,直線x=-2 與x軸的交點為N,當(dāng)M與F重合時,K(-2,0),H(-1,±1),此時有kHK · kOH=-1,即HK⊥OH,當(dāng)M與F不重合時,顯然N,F,M,K四點共圓,則由切割線定理知:OM·OK=OF ·ON=1×2=2,亦即OM·OK=OH2,即則有ΔMOH∽ΔHOK,從而因此HK⊥OH.

綜上有則直線HK與圓O保持相切.

評注解法3 巧妙的從平面幾何的角度出發(fā),將題中的垂直條件轉(zhuǎn)化成四點共圓,借助于切割線定理得到OM·OK=2,進(jìn)而通過三角形相似證出HK⊥OH,充分體現(xiàn)了平面幾何在解析幾何中的運用.

3 探究與推廣

考慮到解析幾何的家族特性,這里把圓中的結(jié)論推廣到圓錐曲線中,首先把圓的方程改為橢圓方程,同時將條件中的點和直線更一般化,則有了下面的結(jié)論:

易知直線HK與橢圓C相切.

綜上有直線HK與橢圓C相切.

將橢圓改為雙曲線和拋物線,又出現(xiàn)了下面的結(jié)論:

結(jié)論2已知雙曲線C:過定點D(t,0)(t0)的直線l與雙曲線C交于H,A兩點.過原點O與線段HA中點M的直線交定直線于點K,則當(dāng)點H在雙曲線C上運動時(H不在x軸上),直線HK與雙曲線C始終相切.

結(jié)論3已知拋物線C:y2=2px(p >0),過定點D(t,0)(t0)的直線l與拋物線C交于H,A兩點.過線段HA中點M且與y軸垂直的直線交直線x=-t于點K,則當(dāng)點H在拋物線C上運動時(H不在x軸上),直線HK與拋物線C始終相切.

結(jié)論2 和結(jié)論3 的證明過程同結(jié)論1,這里不再贅述,同時,將上述結(jié)論中的條件和結(jié)論稍作調(diào)整,又會得到下面的幾個結(jié)論:

結(jié)論4已知橢圓C:過定點D(t,0)(t0)作斜率為k的直線l與橢圓C交于H,A兩點(H不在x軸上).過H作橢圓的切線交定直線于點K,則.

結(jié)論5已知雙曲線C:過定點D(t,0)(t0)作斜率為k的直線l與雙曲線C交于H,A兩點(H不在x軸上).過H作雙曲線的切線交定直線于點K,則.

結(jié)論6已知拋物線C:y2=2px(p >0),過定點D(t,0)(t0)的直線l與拋物線C交于H,A兩點.線段HA的中點為M,過點H且與拋物線相切的直線交直線x=-t于點K,則直線MK與y軸垂直.

證明當(dāng)直線l與x軸垂直時,設(shè)H(t,y1),M(t,0),拋物線C:y2=2px(p >0)在H(t,y1)處的切線方程為y1y=p(t+x),令x=-t,得即K(-t,0),因此有直線MK與y軸垂直.當(dāng)直線l與x軸不垂直時,設(shè)H(x1,y1),A(x2,y2),直線l:x=my+t,與拋物線聯(lián)立可得:y2-2pmy-2pt=0,則有y1+y2=2pm,則M的縱坐標(biāo)為pm,又拋物線C:y2=2px在H(x1,y1)處的切線方程為y1y=p(x1+x),令x=-t得即k(-t,pm),則有直線MK與y軸垂直.

綜上有直線MK與y軸垂直.

解析幾何中,圓、橢圓、雙曲線、拋物線因為其特殊的家族特性,往往具有高度相似的性質(zhì),可以嘗試從其中的一種曲線得出的結(jié)論類比到另外兩種曲線的相應(yīng)結(jié)論,而在類比時也要注意曲線之間的區(qū)別,就像結(jié)論3、6 一樣,適當(dāng)?shù)膶l件進(jìn)行調(diào)整,從而使得推廣能夠成立.