方德龍

南京工程學(xué)院數(shù)理學(xué)院 江蘇南京 211167

在大學(xué)物理教學(xué)內(nèi)容中，氣體動理論第一次將研究對象的數(shù)量拓展到無法窮盡的地步。雖然每一個粒子的運(yùn)動幾乎隨機(jī)而不可預(yù)測，但是龐大的粒子體系卻呈現(xiàn)出明顯的統(tǒng)計規(guī)律性。合理地利用統(tǒng)計規(guī)律是掌握氣體動理論的關(guān)鍵。理想氣體壓強(qiáng)公式是氣體動理論的一個基本方程[1-4]，它建立了宏觀量和微觀量之間的連接。其推導(dǎo)過程是一次牛頓力學(xué)與統(tǒng)計規(guī)律的結(jié)合，通過壓強(qiáng)公式的推導(dǎo)可以加強(qiáng)統(tǒng)計概念、統(tǒng)計規(guī)律的學(xué)習(xí)，深入認(rèn)識壓強(qiáng)的實質(zhì)，并有利于同學(xué)們從機(jī)械世界觀過渡到概率的世界觀。

理想氣體壓強(qiáng)公式的推導(dǎo)并不是一個新鮮的問題，很多學(xué)者都做了研究和拓展。有的把長方體容器拓展到其他形狀[5]，有的考慮了氣體分子的速率分布律[6-7]，有的通過添加假設(shè)做了簡化推導(dǎo)[1，8-10]。筆者在工科物理教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)，即便是對于教材中常規(guī)的推導(dǎo)方法，很多同學(xué)掌握起來也有困難。眾所周知，理想氣體壓強(qiáng)公式的推導(dǎo)過程中涉及的算式并不多，之所以還需要作簡化推導(dǎo)，是因為文字描述比較多，很容易缺乏邏輯連貫性以及產(chǎn)生理解上的偏差。因此筆者通過吸取同學(xué)們反饋的意見，針對同學(xué)們的理解困難點(diǎn)，重新梳理并優(yōu)化了教材中的推導(dǎo)方法，以及提出圖解法，以期能夠讓同學(xué)們更容易掌握理想氣體壓強(qiáng)公式的推導(dǎo)方法，并更直觀地感受大量粒子的統(tǒng)計規(guī)律。

1 問題描述和難點(diǎn)分析

假設(shè)有一邊長分別為lx、ly和lz的長方形容器，其中含有N個同類理想氣體分子，每個分子的質(zhì)量均為m。以器壁A1為例，求在平衡狀態(tài)時，氣體對A1面的壓強(qiáng)。

圖1 理想氣體壓強(qiáng)公式的推導(dǎo)

以任意一個氣體分子i為研究對象，其x軸方向上的速度分量為vix，在與A1壁的一次完全彈性碰撞前后，其動量改變了2mvix，則根據(jù)動量定理有：

(1)

以上內(nèi)容是同學(xué)們易于理解的，但接下來伴隨著沖量和平均作用力的引入，很多同學(xué)產(chǎn)生了理解上的困惑。為此，文章首先重溫一遍沖量和平均作用力的概念。

2 沖量和平均作用力

(2)

這是很多教材引入平均作用力的方式，其中Δt一般取為碰撞前后的時間差，此時對應(yīng)的平均沖力同學(xué)們很容易理解其物理意義。但是一旦把Δt拓寬到碰撞時間以外，同學(xué)們就會困惑：兩個物體都沒有接觸，這樣求出來的平均作用力有什么物理意義？憑什么還可以依照這個公式求？為此，作者認(rèn)為有必要重新回顧一下平均作用力的概念。數(shù)學(xué)上，函數(shù)f在區(qū)間(a，b)的平均值被定義為：

(3)

應(yīng)用到力F在時間區(qū)間(t1，t2)上的平均值即為：

(4)

3 通過平均作用力求解

在理想氣體模型中，單個分子與容器壁的碰撞可以認(rèn)為是周期性的。我們要求的應(yīng)是長期的平均作用力，因此平均區(qū)間就應(yīng)該選取周期的整數(shù)倍，最簡單地，選擇一個周期：

(5)

(6)

聯(lián)立(5)、(6)式得出：

(7)

以上是以一個周期為研究對象，而周期不僅僅是微觀上的一個時間段，還是描述整個事件的一個系統(tǒng)參數(shù)，與之對應(yīng)的另一個系統(tǒng)參數(shù)是頻率，它描述單位時間碰撞的次數(shù)。因此我們還可以以單位時間為研究對象，此時(5)式變?yōu)椋?/p>

(8)

也就是說單位時間內(nèi)的沖量大小就等于平均作用力，那么應(yīng)該選擇哪一段單位時間為研究對象呢？微觀上，室溫下的氣體分子的平均運(yùn)動速率約為每秒幾百米，在一個長一米的容器內(nèi)，理想氣體分子一秒鐘其實已經(jīng)與容器壁碰撞了上百次。所以任意選取一段單位時間，其碰撞次數(shù)是差別不大的。但是僅認(rèn)識到這一點(diǎn)還不夠，更應(yīng)該認(rèn)識到我們要求的是長期的平均作用力。因此單位時間的碰撞次數(shù)不應(yīng)該是任意選取的，而應(yīng)該是長期的統(tǒng)計平均值，實際上就是整個事件的頻率。一次碰撞產(chǎn)生的沖量為2mvix，所以平均作用力為：

(9)

兩種方法求出的平均作用力顯然是一樣的，所有氣體分子的總平均作用力為：

(10)

由于A1壁的面積為lylz，所以氣體的壓強(qiáng)為：

(11)

對大量氣體分子而言，熱運(yùn)動在每個方向上是均一的，因此有

(12)

所以

(13)

這就是理想氣體壓強(qiáng)公式，它是氣體動理論的基本公式之一。壓強(qiáng)公式把壓強(qiáng)這個宏觀量與分子運(yùn)動速率這個微觀量聯(lián)系起來，從而揭示了壓強(qiáng)的微觀本質(zhì)和統(tǒng)計意義。

4 通過圖解法求解

圖2 圖解法求解壓強(qiáng)

下面我們繼續(xù)從圖2出發(fā)求解合力F。合力F也就是把所有的Fi-t曲線與橫軸包圍的面積求和后再鋪滿橫軸得到的縱軸值，為此我們可以先把每一個Fi-t曲線與橫軸包圍的面積鋪滿橫軸，再將對應(yīng)的縱軸值相加。對于任意一個Fi-t曲線與橫軸包圍的面積我們可以如圖3所示鋪滿橫軸，單次碰撞過程的Fi-t曲線與橫軸包圍的面積剛好就是一次碰撞所產(chǎn)生的沖量。由此可見每次碰撞的F-t曲線形狀并不重要，在動量定理的約束之下，它與橫軸包圍的面積不會變，那么對結(jié)果就沒有影響。將該部分面積平鋪在一個周期里對應(yīng)的縱軸值顯然為：

(14)

圖3 Fi-t曲線與橫軸包圍的面積鋪滿橫軸

結(jié)語

兩種方法各有優(yōu)劣，圖解法較為直觀，但思路不夠簡潔；常規(guī)方法中以一個周期為研究對象較以單位時間為研究對象更直觀一些，它們都較大程度地依賴于同學(xué)們對動量定理中平均作用力以及長期平均作用力的理解。筆者在工科教學(xué)實踐中發(fā)現(xiàn)，如果直接介紹以單位時間為研究對象的常規(guī)方法，很多同學(xué)難以接受。如果在介紹常規(guī)方法之前，先重溫一遍沖量和平均作用力的概念，必要時輔以圖解法，效果會好很多。最后要說明的是，圖解法雖然沒有提及平均作用力，但其求解過程其實已經(jīng)反映了平均作用力的思想。對于物理相關(guān)專業(yè)學(xué)生來說，掌握更抽象、更凝練的常規(guī)方法還是有必要的，圖解法可以作為理解長期平均作用力和大量粒子統(tǒng)計規(guī)律的輔助工具。